Was ist der Schwerpunkt einer Fläche?

Bestimmtes Integral - Schwertpunkt von Flächen

Das bestimmte Integral ermöglicht es, den Schwerpunkt von Flächen zu berechnen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder einer Koordinantenachse begrenzt werden.

Bestimmtes Integral - Schwerpunkt der Fläche zwischen Graph und x-Achse

Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen Graph und x-Achse einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, können mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.

\(\eqalign{ & {S_x} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot f\left( x \right)\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} }} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot y\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {y\,\,dx} }} \cr & {S_y} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} }} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\int\limits_a^b {{y^2}\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {y\,\,dx} }} \cr}\)

Zahl aZahl a: Integral von f im Intervall [4, 7] Zahl aZahl a: Integral von f im Intervall [4, 7] Funktion ff(x) = Wenn(0.5 < x < 9, 0x⁴ + 1) Punkt AA = (5.82, 1.21) Punkt AA = (5.82, 1.21) atext1 = “a” btext2 = “b” Atext3 = “A” fText1 = “f” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$”

Bestimmtes Integral - Schwerpunkt der Fläche zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] nicht schneiden

Die x- und y-Koordinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, können mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.

\(\eqalign{ & {S_x} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }} \cr & {S_y} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\int\limits_a^b {\left[ {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right]} \,\,dx}}{{\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }} \cr}\)

Zahl bZahl b: IntegralZwischen(f, g, 2, 8) Zahl bZahl b: IntegralZwischen(f, g, 2, 8) Funktion ff(x) = Wenn(0.5 < x < 9, -(0.15x - 1)² + 5) Funktion gg(x) = Wenn(0.5 < x < 9, (0.25x - 1)² + 2) Strecke hStrecke h: Strecke (2, 0), (2, 6) Strecke iStrecke i: Strecke (8, 0), (8, 6) Punkt AA = (4.91, 3.52) Punkt AA = (4.91, 3.52) atext1 = “a” btext2 = “b” Atext3 = “A” gtext5 = “g” ftext4 = “f” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$”

Die Integrationsgrenzen a, b selbst dürfen natürlich mit einem oder beiden Schnittpunkten der Funktionen f(x) und g(x) zusammenfallen.

Zahl aZahl a: IntegralZwischen(f, g, 0, 0.88) Zahl aZahl a: IntegralZwischen(f, g, 0, 0.88) Funktion ff(x) = sin(x) Funktion gg(x) = x² Gerade hGerade h: Gerade durch B senkrecht zu xAchse Punkt AA = (0.47, 0.34) Punkt AA = (0.47, 0.34) Punkt BPunkt B: Punkt auf f Punkt BPunkt B: Punkt auf f Punkt CPunkt C: Punkt auf g Punkt CPunkt C: Punkt auf g $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” f(x)Text2 = “f(x)” f(x)Text2 = “f(x)” f(x)Text2 = “f(x)” f(x)Text2 = “f(x)” g(x)Text3 = “g(x)” g(x)Text3 = “g(x)” g(x)Text3 = “g(x)” g(x)Text3 = “g(x)” aText4 = “a” bText5 = “b”

Die Gültigkeit obiger Formeln - dass sich die Funktionen im Intervall [a,b] nicht schneiden dürfen - hat folgenden Hintergrund:

• In die Berechnung vom Schwerpunkt geht die Berechnung der Fläche mit ein und für deren Berechnung gilt grundsätzlich "obere Funktion" minus "untere Funktion".
• Wenn die Funktionen f(x) und g(x) einander aber schneiden, dann kehrt sich "oben" und "unten" für jede der beiden Funktionen ab dem Schnittpunkt um. Es liegt keine "einteilige Fläche" mehr vor. Das müsste bei der Flächen- und folglich bei der Schwerpunktberechnung gesondert berücksichtigt werden. In diesem Zusammenhang sei auf den Satz von Steiner hingewiesen, mit dessen Hilfe man das Flächenträgheitsmoment von zusammengesetzten Flächen berechnen kann.

Wie wird der Schwerpunkt berechnet?

Was versteht man unter dem Schwerpunkt?

Was ist der Schwerpunkt einer Last?

Wie berechnet man den Schwerpunkt eines Dreiecks?