Wie viele Menschen haben durchschnittlich an einem Tag Geburtstag?

1. Geburtstagszwillinge

Nicht ganz unbekannt ist die folgende Frage: «Würden Sie wetten, dass unter 23 Fussballer*innen auf dem Feld (inklusive Schiedsrichter*in) mindestens zwei am gleichen Datum Geburtstag haben?» Und? Würden Sie wetten? Sie wetten nie? Trotzdem lässt sich mit Hilfe der Mathematik berechnen, ob die Gewinnchance bei der Wette mehr als 50% wäre. Sie ist es. Das mag überraschend sein – ein Jahr hat doch 365 Tage, wie sollten da von 23 Leuten zwei oder mehr am gleichen Tag Geburtstag haben? Was wir bei dieser intuitiven Betrachtung nicht berücksichtigen, ist die Tatsache, dass nicht ein bestimmter, sondern irgendeiner dieser 365 Tage der gemeinsame Geburtstag sein kann, und dass in einer Gruppe von 23 Personen 253 Paarungen, also potentielle «Geburtstagszwillinge» möglich sind.

Tatsächlich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter 23 Menschen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, 50,73 %, und die Wahrscheinlichkeit, dass ihre Geburtstage alle an unterschiedlichen Daten sind, 49,27 %. (Dabei berücksichtigen wir die Schaltjahre nicht und gehen von der Annahme aus, dass an jedem Tag im Jahr gleich viele Kinder geboren werden.) Könnten die 23 Menschen ihre Geburtstage wählen, aber nur so, dass nie zwei auf das gleiche Datum fallen, hätte die erste Person die Wahl unter 365 von 365 Tagen, die zweite unter den restlichen 364 von 365 Tagen ... und die dreiundzwanzigste noch unter 343 von 365 Tagen. Diese Brüche müssen multipliziert werden; für jede zusätzliche Person verringert sich so die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Geburtstage auf unterschiedliche Daten fallen.

An unserer Schule liegt die Anzahl Schülerinnen und Schüler pro Abteilung grösstenteils im Bereich von 20 bis 24 Personen – durchschnittlich bei 22,2. Demnach müssten doch in knapp jeder zweiten Klasse zwei oder mehr Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Das haben wir überprüft; echte Zwillinge haben wir dabei nicht in die Statistik aufgenommen.

Bilden wir den gewichteten Mittelwert der Wahrscheinlichkeiten von «Geburtstagszwillingen» über alle Abteilungsgrössen, würden wir in 24 Klassen «Geburtstagszwillinge» erwarten. Tatsächlich finden sich in 22 von insgesamt 50 Abteilungen jeweils mindestens zwei Schüler*innen, die den gleichen Geburtstag haben; das ist leicht weniger als erwartet (Stand: Februar 2019). Die Abweichung liegt bei der beschränkten Grösse der Stichprobe – 50 Abteilungen – aber durchaus im Rahmen. Eine summarische Betrachtung zeigt, dass eine solche Abweichung mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit auftritt.

In sechs Klassen von den 22 kommen zweimal «Geburtstagszwillinge» vor, in einer sogar «Geburtstagsdrillinge». Übrigens, die Monate mit der grössten Anzahl «Geburtstagszwillinge» sind April und November (je fünf).

Diagramm:
Anzahl Abteilungen einer bestimmten Klassengrösse (15 bis 26 Schüler*innen) und Häufigkeit von «Geburtstagszwillingen».
 

2. Welches Ergänzungsfach nimmst du? Ich auch!

Immer wieder fällt uns auf, dass die Anzahl Anmeldungen für Schwerpunkt-und Ergänzungsfächer von Jahr zu Jahr stark ändern kann. Die Schwankungen können viele Gründe haben. Wir vermuten, dass einer davon die Tendenz von Schüler*innen ist, das gleiche Schwerpunkt- oder Ergänzungsfach zu wählen wie ihre (Klassen-)Kamerad*innen («Buddy-Effekt»). Um diese Hypothese zu testen, verglichen wir die Zahlen der Anmeldungen von Schüler*innen aus verschiedenen Abteilungen in den einzelnen Ergänzungsfächern. Sollte die sogenannte Nullhypothese zutreffen («kein Buddy-Effekt»), müssten in jedem Ergänzungsfach ungefähr gleich viele Schüler*innen aus jeder Abteilung sein (alle diese Abteilungen sind fast gleich gross).

Für den Test wählten wir die Daten aus den Ergänzungsfächern, da wir vermuten, dass dort der Einfluss der gewählten Akzentfächer kleiner ist als bei der Wahl des Schwerpunktfachs. Die Akzentfächer sind über die Abteilungen nicht homogen verteilt; würden wir die Verteilung der Abteilungen in den Schwerpunktfächern untersuchen, müssten wir die Verteilung der Akzentfächer über die Abteilungen mitberücksichtigen.

Natürlich sind Schwankungen zu erwarten; um zu testen, ob sie im Rahmen des Zufälligen liegen oder wir es doch vielleicht mit dem «Buddy-Effekt» zu tun haben, wandten wir den so genannten Chi-Quadrat-Test an. Dieser Test eignet sich dazu zu überprüfen, ob die Verteilung realer Daten einer theoretischen Verteilung entspricht (in unserem Fall: gleich viele Schüler*innen aus jeder Abteilung in jedem Ergänzungsfach, gewichtet gemäss Abteilungsgrösse). Grob gesagt werden dabei die Unterschiede zwischen den realen und den theoretisch zu erwartenden Zahlen quadriert, gewichtet und addiert. Je grösser das Resultat, desto deutlicher die Abweichung zwischen Theorie und Realität.

Aus den Daten für das Schuljahr 2019/20, bei zehn Ergänzungsfachkursen und acht Abteilungen*, ergab sich ein Chi-Quadrat-Wert von 88,13 bei 63 Freiheitsgraden. 88,13 ist grösser als der kritische Wert 82,53. Daraus folgt, dass vermutlich ein «Buddy-Effekt» vorhanden ist. Genauer: Wenn wir auf einen «Buddy-Effekt» schliessen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass wir uns irren und die Ungleichverteilung tatsächlich auf einem Zufall beruht, weniger als 5 %. Die Gründe für die Tendenz der Schüler*innen, dasselbe Ergänzungsfach zu wählen wie andere in der Klasse, können wir allerdings nur vermuten.

* Die IB-Abteilung G4A kommt in der Statistik nicht vor, da im IB-Programm das Ergänzungsfach nicht frei wählbar ist.

Diagramm:
Verteilung der Abteilungen im 4. Schuljahr 2019/20 auf die verschiedenen Ergänzungsfächer.

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