Zentrische Streckung - verkleinern und vergrößernAuf der Abbildung siehst du ein Beispiel für zwei zentrische Streckungen. Du glaubst es nicht? Dann schau genau hin. Show
Bei der ersten zentrischen Streckung wird das Quadrat $$ABCD$$ mit $$Z$$ als Zentrum und dem Streckungsfaktor $$k = 3$$ auf das Quadrat $$A’B’C’D’$$ abgebildet. Bei der zweiten zentrischen Streckung wird das Quadrat $$A’B’C’D’$$ mit $$Z$$ als Zentrum und dem Streckungsfaktor $$k = frac{1}{3}$$ auf das Quadrat $$ABCD$$ abgebildet. Der erste Fall ist ein Vergrößerung und der zweite Fall eine Verkleinerung. Wird eine Figur durch eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor Eigenschaften der zentrischen StreckungHier hast du nochmal die Eigenschaften der zentrischen Streckung auf einen Blick:
Anwendung 1: FotokopiererNa, maulen deine Lehrer auch manchmal über die Kopierer an eurer Schule?:-) Dabei kannst du auch beim Kopieren Mathe betreiben: Durch die Größenveränderung einer Figur wird eine zentrische Streckung simuliert. Das Streckzentrum $$Z$$ bleibt unberücksichtigt, lediglich der Streckfaktor $$k$$ wird durch den Prozentsatz beschrieben. GrößeneinstellungEin Prozentsatz von größer 100% bedeutet, dass eine Figur mit dem Streckfaktor $$k gt 1$$ vergrößert wird.150 % bedeutet $$k = 1,5$$. Ein Prozentsatz von kleiner 100 % bedeutet, dass eine Figur mit dem Streckfaktor $$0 lt k lt 1$$ verkleinert wird. 50 % bedeutet $$k = 0,5$$. Beträgt der Prozentsatz 100 %, so bedeutet dies, dass die Größe der Figur erhalten bleibt. 100 % bedeutet $$k = 1$$. Beispiel: Soll die Seitenlänge der Bildfigur 6,4 cm betragen, so ist wegen $$0,4 * 16$$ $$cm = 6,4$$ $$cm$$, also $$k = 0,4$$, der Zoomfaktor 40 %. Bild: fotolia.com (Melisback)Noch nicht kapiert?kapiert.dekann mehr:
Anwendung 2: DIN-FormateDas Papier, das in die Kopierer kommt, hat ja DIN-Formate wie A4 oder A3. Und was haben DIN-Formate mit der zentrischen Streckung zu tun? DIN-Formate und zentrische StreckungDie Fläche eines A0-Blattes beträgt Faltest du ein A0-Blatt entlang seiner Breite, entstehen zwei A1-Blätter mit dem Flächeninhalt von je 0,5 m². Faltest du ein A1-Blatt wieder entlang seiner Breite, entstehen zwei A2-Blätter mit dem Flächeninhalt von je 0,25 m² usw. Legst du die Blätter so übereinander, siehst du die zentrische Streckung: Die Rechtecke sind zueinander ähnlich. Für Mathe-Freaks:Das Seitenverhältnis $$a : b$$ eines beliebigen DIN-A-Blattes mit a als langer und b als kurzer Seite ist $$a : b = sqrt(2) : 1$$. Mit dieser Angabe und der Fläche für ein A0-Blatt lassen sich a und b eines beliebigen DIN-A-Blattes berechnen. Überprüfe dies für ein DIN-A5-Blatt. Vergleiche dein Ergebnis mit diesen Werten für ein DIN-A5-Blatt: Die DIN (Deutsche Industrie-Norm) ist ein Standard, um Gegenstände zu vereinheitlichen. Negative Streckfaktoren: $$k lt 0$$Bisher hatte der Streckfaktor Werte $$k gt 0$$. Aber es gibt auch negative Streckfaktoren! Für $$k lt 0$$ gilt, dass der Bildpunkt, z.B. $$P’$$, auf der Verlängerung der Strecke $$bar(ZP)$$ über $$Z$$ hinaus liegt. Hier siehst du Beispiele für $$k = - frac{1}{3}$$ und $$k = - 2$$ Aus der Abbildung kannst du auch entnehmen, dass für Streckfaktoren $$k$$ mit $$|k| gt 1$$ stets eine Vergrößerung erfolgt, mit $$|k| lt 1$$ dagegen stets eine Verkleinerung. Beispiel: $$k = -frac{1}{2} , |k| lt 1$$ Der Storchschnabel oder PantographDer Pantograph ist ein Zeichengerät, mit dem vor der Digitalisierung maßstabsgerechte Verkleinerungen bzw. Vergrößerungen durchgeführt wurden. Heute machen sowas Grafikprogramme. Bild: Torsten Warmuth Konstruktion eines PantographenEs muss gelten: Hier siehst du den Aufbau und die Eigenschaften eines Pantographen. Nach diesem Bild kannst du dir selbst so ein Gerät bauen. Wähle Streben aus starker Pappe, Holz oder am besten Elementen eines Stabilbaukastens. Halte den Pantographen am $$O$$ fest. Fahre mit einem Stift in $$A$$ die Umrisse der Figur ab. Hier ist die Figur ein großes E. Dann zeichnet ein Stift in $$B$$ die verkleinerte Bildfigur. Viel Spaß beim Ausprobieren! Noch nicht kapiert?kapiert.dekann mehr:
Was ist der Ähnlichkeitsfaktor?Ähnliche Figuren
Figuren heißen ähnlich, wenn sie in allen Winkeln übereinstimmen und die Seitenlängen alle mit demselben Faktor k verändert worden. k heißt auch Ähnlichkeitsfaktor. Wenn die ähnlichen Figuren dieselbe Größe haben, heißen sie kongruent.
Was ist der Streckungsfaktor?Streckzentrum und Streckfaktor bestimmen
Bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckfaktork ist jede Bildstrecke k-mal so lang ist wie die entsprechende Originalstrecke. Du kannst den Streckfaktor also als Verhätnis von Bild- zu Originalstrecke bestimmen.
Wie berechnet man den Ähnlichkeitsfaktor aus?So berechnen Sie den Ähnlichkeitsfaktor
Wenn Ihnen von einem beliebigen Vieleck mindestens eine Seitenlänge und die entsprechende Seitenlänge des ähnlichen Vieleckes gegeben sind, berechnen Sie den Ähnlichkeitsfaktor k, indem Sie die Seitenlänge der ähnlichen Figur durch die Seitenlänge der Ausgangsfigur teilen.
Wie bekomme ich den Streckfaktor raus?Lösung. Konstruiere durch die einander zugeordneten Punkte A,A', B,B' und C,C' Geraden. Schneiden sich die Geraden in einem Punkt, so ist dieser Punkt das Streckzentrum Z. Aus dem Längenverhältnis einander zugeordneten Strecke kannst du den Streckfaktor k bestimmen.
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