Was ist 1 2 Wurzel 2?

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Was ist Wurzel 2 für eine Zahl?
Wie berechnet man eine doppelte Wurzel?
Wie berechnet man die Wurzeln?
Wie lauten die Wurzelgesetze?

Quadratwurzeln: ExkursKursübersicht ▾2Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 (1/2)

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Du kennst schon die rationalen Zahlen Q\mathbb{Q}Q. Allerdings gibt es einige Wurzelzahlen, die nicht rational, sondern irrational sind (z.B.:2,3,5,6,…\sqrt2, \sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,…2,3,5,6,…). Wir beweisen nun die Irrationalität der 2\sqrt{2}2:

Beweis

Wir nehmen an, dass 2\sqrt22 eine rationale Zahl ist. Das bedeutet, wir können sie darstellen als einen vollständig gekürzten Bruch. Dazu wählen wir zwei ganze Zahlen zzz und nnn. Für den Bruch mit Zähler zzz und Nenner nnn gilt:

zn=2\displaystyle \frac{z}n=\sqrt2nz=2

Quadriere beide Seiten.

(zn)2=(2)2\displaystyle (\frac{z}n)^2=(\sqrt2)^2(nz)2=(2)2

Löse weiter auf.

z2n2=2\displaystyle \frac{z^2}{n^2}=2n2z2=2

Stelle um nach z2z^2z2.

z2=2⋅n2\displaystyle z^2=2\cdot n^2z2=2⋅n2

2⋅n22\cdot n^22⋅n2 ist eine gerade Zahl, weil man sie durch 2 teilen kann. Wegen dem Gleicheitszeichen ist auch z2z^2z2 eine gerade Zahl.

Allgemein gilt: „Wenn a2a^2a2 gerade ist, dann ist auch aaa gerade ”

▸ Beweis

Wenn also z2z^2z2 gerade ist, dann ist auch zzz gerade und kann deswegen durch 222 geteilt werden.

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3 Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 (2/2)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0. → Was bedeutet das?

Was ist Wurzel 2 für eine Zahl?

Die Quadratwurzel aus 2 ist eine irrationale Zahl. Die Beweisführung erfolgt nach der Methode des Widerspruchsbeweises, das heißt, es wird gezeigt, dass die Annahme, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl, zu einem Widerspruch führt (lateinisch: reductio ad absurdum).

Wie berechnet man eine doppelte Wurzel?

Zwei Wurzeln werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.

Wie berechnet man die Wurzeln?

Die Wurzel einer Zahl ist die positive Zahl, welche mit sich selber multipliziert wieder genau diese Zahl ergibt. Die Wurzel der Zahl ist denn 2 ⋅ 2 = 2 2 = 4 .

Wie lauten die Wurzelgesetze?

Zwei Wurzeln werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert und anschließend aus diesem Quotienten die Wurzel zieht. Umgekehrt kann man die Wurzel eines Quotienten auch schreiben als den Quotienten zweier Wurzeln. Es muss jeweils b≠0 sein. Wende das entsprechende Wurzelgesetz an und fasse zusammen.