Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffindenDie Differenzierbarkeit einer Funktion y=f(x) an einer Stelle x0 bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt. Eine Funktion f(x) heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn der Grenzwert gemäß nachfolgender Gleichung vorhanden ist. Diesen Grenzwert nennt man die 1. Ableitung. Show \(f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\) Funktion ff(x) = Wenn[-0.5 < x < 4, 0.25x² + 2] Funktion gg(x) = Wenn[0 < x < 4.5, 1.25 + x] Funktion hh(x) = Wenn[0 < x < 5, 0.5 (x - 1) + 2.25] Strecke iStrecke i: Strecke [B, C] Strecke jStrecke j: Strecke [B, E] Strecke kStrecke k: Strecke [D, A] Strecke lStrecke l: Strecke [A, F] Strecke mStrecke m: Strecke [C, G] Strecke nStrecke n: Strecke [A, C] Vektor uVektor u: Vektor[H, I] Vektor uVektor u: Vektor[H, I] Vektor vVektor v: Vektor[J, K] Vektor vVektor v: Vektor[J, K] Vektor wVektor w: Vektor[L, M] Vektor wVektor w: Vektor[L, M] x_0 dxtext1 = "x_0 dx" x_0 dxtext1 = "x_0 dx" x_0 dxtext1 = "x_0 dx" x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x" x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x" x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x" x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x" x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x" x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x" x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x" x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x" f(x_0) dytext6 = "f(x_0) dy" f(x_0) dytext6 = "f(x_0) dy" f(x_0) dytext6 = "f(x_0) dy" f(x_0) dytext6 = "f(x_0) dy" f(x_1)text7 = "f(x_1)" f(x_1)text7 = "f(x_1)" f(x_1)text7 = "f(x_1)" Sekantetext9 = "Sekante" Tangentetext8 = "Tangente" ΔxText2 = "Δx" Δx geht gegen NullText3 = "Δx geht gegen Null" ΔyText1 = "Δy" DifferentialDas Differential bezeichnet den linearer Anteil des Zuwachses der abhängigen Variablen y, bei einer Veränderung der unabhängigen Variablen x. \(\dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = f'\left( x \right) = \dfrac{{dy}}{{dx}} = y'\) Intervallweise differenzierbare FunktionEine Funktion f(x) ist in einem Intervall I genau dann differenzierbar, wenn sie für jedes x im Intervall I differenzierbar ist. \(f'({x_1}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_1}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_1} + \Delta x) - f({x_1})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\) Man spricht von einer Knickstelle, wenn die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden sind. Zur Ableitung von lediglich intervallweise differenzierbaren Funktionen bildet man daher Intervalle, welche die nicht differenzierbaren Stellen ausschließen. Man ersetzt dabei die Funktionsgleichung durch zwei oder mehrere geeignete abschnittweise definierte Teilfunktionen. Stetigkeit einer FunktionEine Funktion ist an der Stelle x0 dann stetig, wenn an dieser Stelle der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt. Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) Der Graph einer stetigen Funktion ist eine „durchgängige“ Linie, die durchaus Knicks aber keine Sprünge enthalten darf, die sich also „ohne mit dem Bleistift abzusetzen“ zeichnen lässt.
Funktion ff(x) = Wenn(-π < x < 3π, sin(0.5x + π / 2) + 2) Strecke gStrecke g: Strecke A, B Punkt BPunkt B: (2, f(2)) Punkt BPunkt B: (2, f(2)) x_0 stetig, glatttext1 = “x_0 stetig, glatt” x_0 stetig, glatttext1 = “x_0 stetig, glatt” x_0 stetig, glatttext1 = “x_0 stetig, glatt” Funktion ff(x) = Wenn[0.5 < x < 1, (2x - 2)² + 1] Funktion gg(x) = Wenn[1 < x < 2, ln(3x) - ln(3) + 1] Strecke hStrecke h: Strecke [A, B] Punkt AA = (1, 1) Punkt AA = (1, 1) x_0 stetig, Knicktext1 = "x_0 stetig, Knick" x_0 stetig, Knicktext1 = "x_0 stetig, Knick" x_0 stetig, Knicktext1 = "x_0 stetig, Knick" Funktion ff(x) = Wenn(1.08 < x < 1.5, 1 - (0.7x - 0.7)²) Funktion hh(x) = Wenn(0.3 < x < 0.92, 1 - (0.7x - 0.7)²) Strecke gStrecke g: Strecke A, B Punkt AA = (1, 1) x_0 nicht stetig, Lücketext2 = “x_0 nicht stetig, Lücke” x_0 nicht stetig, Lücketext2 = “x_0 nicht stetig, Lücke” x_0 nicht stetig, Lücketext2 = “x_0 nicht stetig, Lücke” Definition der AbleitungExistiert von einer reellen Funktion f(x) an jeder Stelle x0 ihrer Definitionsmenge Df ein Differentialquotient, so ist die Funktion f(x) differenzierbar. Die nachfolgende Funktion ist zwar stetig, aber an 2 Stellen (x=+/-4) nicht differenzierbar. Funktion ff(x) = abs(16 - x²) Weierstraß FunktionDie Weierstraß-Funktion ist auf Grund der unendlich vielen Summanden zwar überall konvergent und stetig, aber da man keine Tangente konstruieren kann, ist sie nicht differenzierbar: \(f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\dfrac{{{2^k} \cdot \sin \left( {{2^k}x} \right)}}{{{3^k}}}} \) Funktion fFunktion f: Summe[Folge[a^k sin(b^k x), k, 1, 10], 10] Funktion fFunktion f: Summe[Folge[a^k sin(b^k x), k, 1, 10], 10] Erste Ableitung einer FunktionDie Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 1. Ableitung der Funktion bestimmt. \(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \alpha \) Wir unterscheiden dabei 3 Fälle:
Zweite Ableitung einer FunktionDas Krümmungsverhalten vom Graph der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 2. Ableitung der Funktion bestimmt. \(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\) Links gekrümmter Graph, lokales MinimumIst \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so ist der Funktionsgraph ist an der Stelle x0linksgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt zu. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach links lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Minimum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss. Funktion ff(x) = Wenn[0 < x < 10, 0.1x²] Funktion gFunktion g: g(x) = Wenn[1.5 < x < 9, f(3) + 0.6 (x - 3)] Funktion hFunktion h: h(x) = Wenn[3.5 < x < 10, f(7) + 1.4 (x - 7)] Punkt APunkt A: (3, f(3)) Punkt APunkt A: (3, f(3)) Punkt BPunkt B: (7, f(7)) Punkt BPunkt B: (7, f(7)) f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmttext3 = "f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmt" f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmttext3 = "f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmt" f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmttext3 = "f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmt" Tangente_1Text1 = "Tangente_1" Tangente_1Text1 = "Tangente_1" Tangente_2Text2 = "Tangente_2" Tangente_2Text2 = "Tangente_2" Rechtsgekrümmter Graph, lokales MaximumIst \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) so ist der Funktionsgraph an der Stelle x0rechtsgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt ab. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach rechts lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Maximum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss. Funktion ff(x) = Wenn[0 < x < 10, -1 / 50 (x + 1) (x - 20)] Funktion gFunktion g: g(x) = Wenn[0 < x < 9, f(2) + f'(2) (x - 2)] Funktion hFunktion h: h(x) = Wenn[0 < x < 10, f(7) + f'(7) (x - 7)] Punkt BPunkt B: (7, f(7)) Punkt BPunkt B: (7, f(7)) Punkt APunkt A: (2, f(2)) Punkt APunkt A: (2, f(2)) f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmttext3 = "f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmt" f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmttext3 = "f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmt" f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmttext3 = "f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmt" Tangente_1Text1 = "Tangente_1" Tangente_1Text1 = "Tangente_1" Tangente_2Text2 = "Tangente_2" Tangente_2Text2 = "Tangente_2" Dritte Ableitung einer FunktionDer Wechsel des Krümmungsverhaltens vom Graph einer Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 3. Ableitung der Funktion bestimmt. \(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\) Wir unterscheiden dabei 2 Fälle: Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve. Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) < 0\): so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve. Höhere AbleitungenWenn die n-te Ableitung einer Funktion f(x) wiederum eine Funktion in x oder eine Konstante ist, so kann man auch diese n-te Ableitung erneut ableiten und erhält so die (n+1)-te Ableitung usw. Man spricht allgemein von "höheren Ableitungen". \(y = f\left( x \right)\) \(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right)\) \(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\) \(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\) |
Warum funktion gleich wenn alle vorzeichen umgekehrt
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