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Wahrscheinlichkeit am Beispiel Würfel – MatheIm folgenden Text wird die Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines Würfels einfach erklärt. Zunächst lernst du, dass es sich beim Würfelwurf um einen Zufallsversuch, genauer gesagt um ein Laplace-Experiment, handelt, und anschließend siehst du einige Beispiele zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten beim Würfelwurf. Zufallsversuch – DefinitionBeim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch. Und was versteht man unter einem Zufallsversuch?
Laplace-Experiment – DefinitionDa alle Seiten eines Würfels gleich groß sind, sind alle möglichen Augenzahlen gleich wahrscheinlich. Daher sprechen wir bei einem Würfelwurf von einem Laplace-Experiment.
$P(E) = \frac{\text{ Anzahl aller günstigen Ergebnisse }}{\text{ Anzahl aller möglichen Ergebnisse }}$ Wahrscheinlichkeiten berechnen – BeispieleDie Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist bei einem sechsseitigen Würfel immer gleich $6$. In den folgenden Beispielen schauen wir uns an, was passiert, wenn wir die Bedingungen beim Würfelwurf etwas eingrenzen. Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfelnMöchten wir die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $3$ berechnen, gibt es nur ein günstiges Ergebnis – die $3$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine $3$ zu würfeln, berechnen wir mit: $P(3) = \frac{1}{6} = 16,67 \,\%$ Diese Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$ entspricht also $16,67 \,\%$. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis eine 3 würfeln ist somit nicht sehr hoch. Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfelnWie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Augenzahl zu würfeln? Schauen wir uns die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis mal etwas genauer an. Für das Ereignis eine gerade Zahl würfeln gibt es $3$ günstige Ergebnisse – die $2$, die $4$ und die $6$. $P(\text{gerade Augenzahl}) = P(2; 4; 6)$ Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beträgt bei diesem Versuch wieder $6$. Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit: $P(\text{gerade Augenzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\,\%$ Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis liegt also bei $50\,\%$. Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 4 zu würfelnNun schauen wir uns noch an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Augenzahl beim Wurf höher als $4$ sein wird. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine $5$ oder eine $6$ gewürfelt wird. $P(\text{Augenzahl höher als 4}) = P(5; 6)$ Es gibt also $2$ günstige Ergebnisse bei $6$ möglichen Ergebnissen. $P(\text{Augenzahl höher als 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = 33,33\,\%$ Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als $4$ zu würfeln, liegt also bei $33,33\,\%$. Wahrscheinlichkeit Würfel – ZusammenfassungIn den folgenden Stichpunkten ist noch einmal das Wichtigste zum Thema Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines Würfels zusammengefasst.
Hier auf dieser Seite findest du noch Übungen mit weiteren Beispielen und Arbeitsblätter zum Thema Wahrscheinlichkeiten am Beispiel des Würfels. Transkript Wahrscheinlichkeit – Beispiel WürfelnLisa ist das Ganze nicht geheuer. Egal was sie würfelt, der Zauberer „Magic Dice“ kann den Ausgang vorhersagen. Woher wusste er jetzt schon wieder, dass Lisa eine Sechs würfeln würde? Rät er einfach? Das ist doch total unwahrscheinlich. Am besten schauen wir uns die „Wahrscheinlichkeiten beim Würfelwurf“ nochmal genau an. Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch, da kann Lisa keiner was vormachen. Das heißt, alle möglichen Ausgänge - eins, zwei, drei, vier, fünf und sechs - sind uns bekannt. Der Würfelwurf kann beliebig oft wiederholt werden und das unter den gleichen Bedingungen. Außerdem ist der Ausgang eines Zufallsversuchs nicht vorhersehbar. Also wie zum Henker macht er das? Lisa wird ihm noch auf die Schliche kommen! Für den nächsten Wurf sagt „Magic Dice“ eine drei voraus. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis liegt bei einem Sechstel, das weiß sie. Da alle Seiten eines Würfels gleich groß sind, sind auch alle möglichen Augenzahlen gleich wahrscheinlich. Wir sprechen beim Würfelwurf daher von einem Laplace-Experiment. Bei einem Laplace-Experiment können wir die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses einfach berechnen: Wir teilen dafür die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist bei einem sechsseitigen Würfel immer gleich sechs. Möchten wir die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl drei berechnen, gibt es nur ein günstiges Ergebnis, eben die drei. Ein Sechstel entsprechen gerundet sechzehn Komma sechs sieben Prozent. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Eine drei werfen“ ist somit nicht sehr hoch. Und er hat trotzdem Recht behalten! Pures Glück, Lisa wird ein weiteres Mal würfeln. Dieses mal behauptet „Magic Dice“, dass eine gerade Augenzahl fallen wird. Bevor sie würfelt, schaut sich Lisa das Ganze nochmal in Ruhe an: Für das Ereignis „gerade Zahl werfen“ gibt es drei günstige Ergebnisse, nämlich zwei, vier und sechs. Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beträgt natürlich wieder sechs. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gerade Zahl werfen“ ist also gleich drei Sechstel. Durch Kürzen erhalten wir ein halb und das entspricht fünfzig Prozent. Alles klar, eine klassische „fifty-fifty“-Situation. Sie würfelt eine zwei. Okay, seine Glückssträhne hält an. Ein letzter Wurf. Die Ansage von „Magic Dice“ lautet diesmal: Die Augenzahl wird höher als vier sein. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine fünf oder sechs fällt. Wir haben zwei günstige bei sechs möglichen Ergebnissen. Zwei Sechstel ist gekürzt ein Drittel und das entspricht gerundet dreiunddreißig Komma drei drei Prozent. Sie würfelt und jetzt wird es Lisa zu bunt. Während sie sich überlegt, wie sie „Magic Dice“ endlich knacken kann, fassen wir nochmal kurz zusammen: Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch, genauer gesagt um ein Laplace-Experiment. Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Einzelereignis gleich groß. Beim Würfel sind das die sechs verschiedenen Augenzahlen. Die entsprechende Wahrscheinlichkeit beträgt jeweils ein Sechstel. Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu berechnen, teilen wir die Anzahl der dafür günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Beim einfachen Würfelwurf eines sechsseitigen Würfels ist die Anzahl aller möglichen Ergebnisse immer gleich sechs. So, diesmal hat Lisa den Würfel einfach heimlich weggenommen, Was „Magic Dice“ wohl jetzt voraussagen wird? Lisa gibt auf. Man kann wohl nicht alles mit Mathematik erklären. WEITERLESEN1 Kommentar1 Kommentar
Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln ÜbungDu möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln kannst du es wiederholen und üben.
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