Wie berechnet man das Volumen eines dreiseitigen Prisma?

Das Prisma ist ein geometrischer Körper. Wie auch bei anderen Körpern kannst das Volumen eines Prismas berechnet werden. Welche Formeln Du dafür benötigst, erfährst Du in diesem Artikel.

Wiederholung – Prisma

Ein Prisma entsteht, wenn ein n-Eck entlang einer geraden Linie verschoben wird.

Die Fläche, auf der das Prisma steht, wird Grundfläche genannt. Die Fläche, die das Prisma nach oben hin begrenzt, heißt Deckfläche. Unter dem Mantel eines Prismas versteht man die n Seitenflächen.

Manchmal werden Prismen auch so abgebildet, dass sie nicht auf ihrer Grundfläche stehen, sondern auf einer ihrer Seitenflächen.

Die Seiten der Grundfläche und der Deckfläche werdenGrundkanten genannt. Die Strecken, die jeweils zwei zusammen gehörige Eckpunkte von Grund- und Deckfläche verbinden, werden Mantellinien genannt. Alle Mantellinien sind gleich lang und parallel zueinander.

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.

• Die Grundfläche und die Deckfläche bestehen aus Vielecken, die kongruent und parallel zueinander sind.
• Der Mantel besteht aus Parallelogrammen.

Formel zur Volumenberechnung eines Prismas

Diese allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas gilt für gerade, schiefe, regelmäßige und nicht regelmäßige Prismen.

Das Volumen eines Prismas wird berechnet, indem die Grundfläche G mit der Höhe h multipliziert wird:

VPrisma= G·h.

Die Grundfläche G kann bei einem Prisma unterschiedliche Formen annehmen, wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck. Deswegen musst Du immer darauf achten, die richtige Grundflächenformel einzusetzen.

Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand zwischen Grund- und die Deckfläche bezeichnet.

Dies trifft auf gerade Prismen zu (links in Abbildung 2). Die Höhe h entspricht gleichzeitig der Mantellänge.

Bei einem schiefen Prisma (rechts in Abbildung 2) hingegen entspricht die Höhe des Prismas dem Abstand der Deckfläche zur Ebene der Grundfläche.

Die beiden Prismen in Abbildung 2 haben das gleiche Volumen. Dies kann mit dem Prinzip von Cavalieri begründet werden.

Das Prinzip von Cavalieribesagt, dass zwei Körper mit gleicher Höhe das gleiche Volumen haben, wenn jede zur Grundebene parallel verlaufende Ebene beide Körper in gleich großen Flächen schneidet.

Das Volumen von zwei Prismen ist also gleich, wenn ihre Grundflächen gleich groß sind und wenn sie gleich hoch sind.

Beispielaufgaben zur Volumenberechnung eines Prismas

In diesem Abschnitt findest Du verschiedene Beispielaufgaben, in denen das Volumen unterschiedlicher Prismen berechnet wird.

Volumen eines dreiseitigen Prismas

Im ersten Beispiel wird das Volumen eines Prismas berechnet, das ein Dreieck als Grundfläche hat.

Aufgabe

Gegeben ist ein gerades Prisma mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und der Höhe h=7cm. Das Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a=3cm, b=4cmund c=5cm.

Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche das rechtwinklige Dreieck ABC.

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ist:

ADre ieck=(12·a·b)=(12·3cm·4cm)=6cm2

Bei einem nicht rechtwinkligen Dreieck musst Du die Formel ADreieck=12·g·h verwenden.

Damit ergibt sich das Volumen des Prismas:

VPrisma=G·h=ADreieck ·h=6cm2·7cm=42cm3

Das Volumen des Prismas beträgt 42 cm3.

Volumen eines vierseitigen Prismas

Vierseitige Prismen können zum Beispiel ein Parallelogramm, ein Rechteck oder ein Quadrat als Grundfläche haben. Im nächsten Beispiel hat das Prisma ein Parallelogrammals Grundfläche.

Aufgabe

Gegeben ist ein schiefes Prisma mit dem Parallelogramm ABCD als Grundfläche und der Höhe h=6cm. Alle weiteren Daten, die Du brauchst, kannst Du aus der Zeichnung ablesen. Ein Kästchen steht jeweils für einen Zentimeter.

Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Parallelogramm.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist:

A Parallelogramm=g·hParallelogramm=4cm·3cm =12cm2

Damit ergibt sich das Volumen des Prismas:

VPrisma=G·h =AParallelogramm·h=12cm2·6cm=72cm3

Das Volumen des Prismas beträgt 72 cm3.

In der nächsten Aufgabe wird das Volumen eines Prismas berechnet, dessen Grundfläche ein Rechteckist.

Aufgabe

Gegeben ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. Die Höhe des Prismas beträgt h=8cm.

Die Seitenlängen des Rechtecks sind a=4cm und b=3cm.

Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Rechteck.

Dies ist ein Sonderfall, da es sich bei diesem Prisma um einen Quader handelt. Das Volumen dieses Prismas kann daher auch mit der Volumenformel des Quaders berechnet werden:

V Quader=a·b·c.

In diesem Fall wird die Seitenlänge c des Quaders als Höhe h des Prismas bezeichnet. Damit ergibt sich Folgendes für das Volumen des Prismas:

VPrisma=VQu ader=a·b·h=4cm·3cm·8cm=96cm3

Das Volumen des Prismas beträgt 96 cm3.

Das nächste vierseitige Prisma hat ein Quadratals Grundfläche.

Aufgabe

Gegeben ist ein quadratisches Prisma. Die Seitenlänge des Quadrats ist a=3cm. Die Höhe des Prismas ist h=6cm.

Berechne das Volumen des quadratischen Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Quadrat.

Auch hier handelt es sich wieder um einen Spezialfall, da es sich bei diesem Prisma um einen Quader handelt. Das Volumen dieses speziellen Prismas kann also auch mit der Volumenformel des Quaders berechnet werden.

Für das Volumen des Prismas ergibt sich Folgendes:

VQuader=V Prisma=a·a·h=3cm·3cm·6cm=54cm3

Das Volumen des Prismas beträgt 54 cm3.

Ein weiterer Spezialfall wäre es, wenn die Höhe eines quadratischen Prismas den Seitenlängen des Quadrats entspricht a=hPrisma.

Dann ist das Prisma ein Würfel:

Volumen eines sechsseitigen Prismas (Sechseck)

Im letzten Beispiel wird ein sechsseitiges reguläres Prisma betrachtet.

Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, das ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche hat.

Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck, bei dem alle Seitenlängen gleich lang sind und alle Innenwinkel gleich groß.

Aufgabe

Gegeben ist ein sechsseitiges reguläres Prisma. Die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks beträgt a=2cm. Die Höhe des Prismas ist h=10cm.

Berechne das Volumen des sechseckigen Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck.

Der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks berechnet sich durch:

ASechseck=3·32·a2=3·32·(2cm)2 =63≈10,4cm2

Daraus ergibt sich das Volumen des Prismas:

VPrisma= G·h=ASechseck·h=10,4cm2·10cm=104c m3

Das Volumen des Prismas beträgt ca. 104 cm3.

Volumen von Prismen — Das Wichtigste

• Definition eines Prismas: Ein Prismaist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.
  • Die Grundfläche und die Deckfläche bestehen aus Vielecken, die kongruent und parallel zueinander sind.
  • Der Mantel besteht aus Parallelogrammen.
• Formel für die Volumenberechnung: VPrisma=G·h
  • Die Grundfläche G kann bei einem Prisma sehr unterschiedliche Formen annehmen, wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck.
  • Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand der beiden Ebenen bezeichnet, in denen die Grund- und die Deckfläche liegen.

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