Mathematik > Geometrie Show
Inhaltsverzeichnis: In diesem Lerntext erklären wir dir, mit welchen Tricks du Winkel berechnen kannst. Dazu werden wir in einem Dreieck Winkel berechnen und auch ein einem Viereck. Winkelberechnung: Innenwinkelsumme berechnenDie Innenwinkelsumme beschreibt, wie groß alle Winkel innerhalb einer geometrischen Figur zusammengerechnet sind. Gut zu wissenHinweisHier klicken zum Ausklappen Man benötigt zwei Winkelangaben in einem Dreieck und drei Winkelangaben in einem Viereck, um jeweils den fehlenden Winkel zu berechnen. Innenwinkelsumme DreieckInnenwinkelsumme Dreieck Wir können alle Winkel in diesem Dreieck zusammenrechnen und erhalten: $73^\circ+77^\circ+30^\circ = 180^\circ$. Das war auch schon die "Formel" mit der du Winkel im Dreieck zusammenrechnest. MerkeMerkeHier klicken zum Ausklappen In jedem Dreieck ergeben die Winkel zusammen immer $180^\circ$. Innenwinkelsumme ViereckInnenwinkelsumme Viereck Wir können auch hier alle Winkel dieses Vierecks zusammenrechnen. $95^\circ+108^\circ+97^\circ+60^\circ = 360^\circ$. Wir sehen, dass alle Winkel zusammen $360^\circ$ ergeben. Dieses Ergebnis würden wir bei jedem beliebigen Viereck erhalten. MerkeMerkeHier klicken zum Ausklappen In jedem Viereck ergeben die Winkel zusammen immer $360^\circ$. Beispielaufgabe: Berechnen eines Winkels mit Hilfe der InnenwinkelsummeDreieck, Winkel $\alpha$ gefragt Wir haben dieses Dreieck gegeben und sollen den fehlenden Winkel $\alpha$ berechnen. Wir wissen, dass alle Winkel zusammen $180^\circ$ groß sein müssen. Wenn wir nun die beiden angegebenen Winkel von $180^\circ$ abziehen, erhalten wir die Größe des gesuchten Winkels $\alpha$. $180^\circ = \alpha +\beta +\gamma$ Der Winkel $\alpha$ ist $27^\circ$ groß. Formeln zu Sinus, Kosinus und TangensDie Größe eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck kann mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und
Tangens berechnet werden. Dabei sind nicht die anderen Winkelgrößen angegeben, sondern die Längen der Seiten des Dreiecks. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt gegenüber von dem größten Winkel des rechtwinkligen Dreiecks, dem rechten Winkel. Die Gegen- und Ankathete beziehen sich beide auf einen der beiden spitzen Winkel. Hier ist dieser $\beta$. Die Gegenkathete ist gegenüber von dem gegebenen Winkel (hier $\beta$) und die Ankathete liegt direkt an dem Winkel dran (hier $\beta$). Wenn nun zwei Seitenlängen gegeben sind können wir mit Sinus, Kosinus oder Tangens die dazugehörige Winkelgröße berechnen. Schauen wir uns hier die drei Formeln an: MerkeMerkeHier klicken zum Ausklappen $Sinus (\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ $Kosinus (\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ $Tangens (\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ Winkelberechnung mit Sinus, Kosinus und TangensMethodeMethodeHier klicken zum Ausklappen
Schauen wir uns eine Beispielaufgabe zur Berechnung eines Winkels im Dreieck an: BeispielBeispielHier klicken zum Ausklappen WinkelUm die Größe des Winkels α zu berechnen, musst du zuerst das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse bestimmen. Also wird die Gegenkathete durch die Hypotenuse geteilt und das Ergebnis wird in die Umkehrfunktion von Sinus, also in $\sin^{−1}$, eingesetzt. Beispiel $\alpha=~?$, Hypotenuse $=6cm$, Gegenkathete $=3cm$ $\sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ $\sin(\alpha)=\frac{3cm}{6cm}=0,5$ $\alpha=\sin^{−1}(0,5)=30^\circ$ Damit beträgt der Winkel $\alpha$ in dem Dreieck $30 ^\circ $. Du weißt jetzt, wie du Winkel mithilfe der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen berechnen kannst. Du hast auch gelernt, dass es eine Innenwinkelsumme von Dreiecken und Vierecken gibt. Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun in unseren Übungsaufgaben zu Winkeln und Winkelsummen im Dreieck und Viereck überprüfen. Viel Erfolg dabei! Wann sind zwei Winkel gleich groß?Winkel an einander schneidenden Geraden
Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Schneiden einander zwei Geraden, so heißen immer zwei nebeneinanderliegende Winkel Nebenwinkel.
Wann sind zwei Winkel gleich?An geschnittenen Parallelen sind die an den beiden Kreuzungen einander entsprechenden Winkel (Stufenwinkel, F-Winkel) gleich groß.
Kann man mit 2 Winkeln eine Seite berechnen?Mit dem Sinussatz kannst du aus zwei Winkeln und der Länge einer der beiden gegenüberliegenden Seiten (sww) die Länge der anderen gegenüberliegenden Seite berechnen.
Was ist die Weite bei einem Winkel?Die Größe des Winkels wird mit einem Winkelmaß angegeben. Die Winkelweite kann auch als Maß einer ebenen Drehung definiert werden. Zur Unterscheidung vom Raumwinkel wird der hier definierte Winkel auch als ebener Winkel bezeichnet.
|