Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens zwei Personen die gleiche Zahl ziehen?

Das Geburtstagsproblem ist ein bekanntes Beispiel dafür, wie man sich beim Schätzen von Wahrscheinlichkeiten irren kann. Das Geburtstagsproblem fragt,  wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass von k zufällig ausgewählten Menschen, mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben.

Klassisches Beispiel: Wie viele Menschen...

Wie viele zufällig ausgewählte Person muss man zusammenbringen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben bei 50% liegt.

Diese Frage wird gerne von Lehrern zur Einleitung einer Unterrichtsstunde genommen. Intuitiv könnte man meinen, die Zahl müsste bei über hundert Menschen liegen. Wie man aber mit der Formel berechnen kann (und auch am Diagramm eingezeichnet sieht), liegt dieser Wert mit 23 Menschen weit darunter.

Erklärung

Wenn P(A) die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens zwei Personen aus einer Gruppe am gleichen Tag geboren wurden, ist einfacher mit  P(A) zu berechnen: der Gegenwahrscheinlichkeit, nämlich dass alle Personen in dem Raum an einem anderen Tag geboren wurden. Es gilt: P(A) = 1 - P(A).

Wie bereits erwähnt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einer Gruppe von 23 Personen mindestens zwei am selben Tag geboren wurden rund 50%. Dies werden wir als Grundlage für unser Beispiel nehmen.

Wenn Ereignisse stochastisch unabhängig voneinander sind, wie dies hier der Fall ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ereignisse eintreffen, gleich des Produkts jedes einzelnen Ereignisses. Daher kann P(A) als 23 von einander unabhängige Ereignisse gedeutet werden. P(A) könnte also mit P(1) · P(2) · P(3) · ... · P(23) berechnet werden.

Die 23 unabhängigen Ereignisse entsprechen 23 Menschen. Wir nehmen bei jedem Ereignis an, dass die befragte Person die einzige ist, die an diesem Tag Geburtstag hat, und dass  keine der ausgewählten Personen am selben Tag Geburtstag hat. Da bei P(1) die Person die einzige ist, ist die Wahrscheinlichkeit 100% oder 365/365, da keine anderen Personen vorhanden sind.

Die zweite Person, P(2), hat weniger Möglichkeiten: Sie muss an einem der anderen 364 (365-1) Tagen geboren worden sein. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für P(2) = 364/365. Dieses Muster wird auch für P(3) und die restlichen Personen fortgeführt. Daraus ergibt sich:

P(A) = 365/365 · 364/365 · 363/365 · 362/365 · ... · 343/365 = 0,492703

Da dies aber die Gegenwahrscheinlichkeit ist und wir uns eigentlich für P(A) interessieren, müssen wir diesen Wert von 100% oder 1 abziehen:

P(A) = 1 − 0,492703 = 0,507297 (50,7297%)

Definition

Allgemein lässt sich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit P ist, dass in einer Gruppe aus k Menschen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben:

Wobei n! die Fakultät von n ist.

An einen bestimmten Tag Geburtstag

Nun, da wir wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei zufällig ausgesuchte Personen aus einer Gruppe am selben Tag Geburtstag haben, wie hoch ist die Wahrscheinlich, dass aus einer – wieder zufällig zusammengestellten Gruppe – eine der Personen an einem bestimmten, von uns ausgewählten Tag, Geburtstag hat? Die Formel um dies zu berechnen lautet:

Interessanterweise ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einer Gruppe aus n Personen eine Person an einem bestimmten Tag Geburtstag hat wesentlich geringer ist, als die Wahrscheinlichkeit, die wir zuvor berechnet haben. Vorher war die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Gruppe aus 23 Person zwei befinden, die am selben Tag Geburtstag feiern, rund 50%. Setzen wir die Zahl 23 in die Funktion q oben ein, so erhalten wir nur noch eine Wahrscheinlichkeit von 6,1%. Das bedeutet, wenn wir den Tag vorgeben, beträgt die Wahrscheinlichkeit lediglich 6,1%, dass in einer Gruppe aus 23 zufällig ausgesuchten Menschen, sich eine einzige Person befindet, die an dem gesuchten Tag Geburtstag hat. Damit die Zahl wieder bei rund 50% liegen würde, müssten wir 253 Menschen zufällig auswählen. Wie kann das aber sein?

Die vorige Aufgabe fragt nur nach mindestens zwei Personen die am selben Tag Geburtstag haben. Das bedeutet, dass es egal ist an welchem Tag die beiden Personen Geburtstag haben, Hauptsache es ist der selbe Tag. Was auffällig an der Zahl 253 ist, ist das sie mehr als die Hälfte eines Jahres ist. Intuitiv könnte man meinen, das die Gruppengröße für rund 50% bei 365÷2 ≈ 183 liegen müsste. Dies ist aber offensichtlich nicht der Fall. Das liegt daran, das wir davon aus gehen müssen, dass in der Gruppe, wiederum auch Menschen dabei sein müssen, die am selben Tag Geburtstag haben.

Wie wahrscheinlich ist es das 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 60 Menschen in einem Raum dass zwei am gleichen Tag Geburtstag haben?

Wie oft muss man mindestens würfeln um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine Sechs zu bekommen?