Oberfläche einer KugelDie Oberfläche einer Kugel ist nicht so einfach zu berechnen, wie die Oberfläche von rechteckigen Figuren. Das liegt vor allem daran, dass sich die Oberfläche der Kugel nicht in mehrere Teile zerlegen lässt, wie die des Zylinders oder die der Pyramide. Die Gleichung zur Berechnung der Kugeloberfläche lautet: Show
MerkeMerkeHier klicken zum Ausklappen Oberfläche Kugel $O= 4\cdot \pi \cdot r^2 $ BeispielBeispielHier klicken zum Ausklappen Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel mit dem Durchmesser $10~cm$? $d = 2\cdot r \leftrightarrow r = \frac{d}{2} \leftrightarrow r = 5~cm$ $O = 4\cdot \pi \cdot r^2 = 4 \cdot \pi \cdot (5~cm)^2 \approx 314,2~cm^2$ Volumen einer KugelAuch für die Berechnung des Kugelvolumens benötigst du lediglich den Radius $r$. Mit folgender Formel kannst du das Volumen einer Kugel berechnen. Möchtest du das Volumen einer Halbkugel berechnen, teile das Ergebnis einfach durch zwei. MerkeMerkeHier klicken zum Ausklappen Volumen Kugel $V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ BeispielBeispielHier klicken zum Ausklappen Wie groß ist das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r=3~cm$? $V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (3~cm)^3 \approx 113,1~cm^3$ Kreisausschnitt einer KugelDer Mittelpunkt der Kugel ist gleichzeitig auch der Mittelpunkt des Kreisausschnittes. Dieser Kreisausschnitt halbiert die Kugel. Die Berechnungen des Kreisausschnittes sind dieselben, wie die des Kreises. MerkeMerkeHier klicken zum Ausklappen Berechnungen des Kreisausschnittes $U= 2 \cdot \pi \ r$ $A = \pi \cdot r^2$ Nun kannst du den Umfang, den Oberflächeninhalt und das Kugelvolumen berechnen. Das sind alle notwendigen Formeln, die du zur Kugelberechnung benötigst. Du kannst dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei! Pyramide mit rechteckiger Grundfläche:Hier erhältst du einen Überblick über die Pyramide mit rechteckiger Grundfläche: Formeln, Skizze, Eigenschaften, Pythagoras, Beispiel. Formeln:Oberfläche: O = Gf + M Volumen: V = Gf • h : 3 Mantel: M = a • ha + b • hb Grundfläche: Gf = a • b (Rechteck) Skizze:
Bezeichnungen: a = Länge der Grundfläche b = Breite der Grundfläche h = Körperhöhe h ha = Seitenflächenhöhe ha hb = Seitenflächenhöhe hb s = Außenkante s Eigenschaften:Eine rechteckige Pyramide ist ein Körper mit ganz besonderen Eigenschaften. Sie hat eine rechteckige Grundfläche und eine Spitze oben. Die Höhe der Pyramide ist die Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Grundfläche und der Spitze. Die Grundfläche ist ein Rechteck, die Mantelfläche besteht jeweils aus 4 Dreiecken von denen jeweils 2 deckungsgleich (kongruent) sind. Eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche hat 5 Ecken. Eine rechteckige Pyramide hat 8 Kanten (4 Grundkanten und 4 Seitenkanten). Eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche besteht aus 5 Flächen (1 Grundfläche + 4 Seitenflächen). Die Summe der Grundfläche und der Mantelfläche ergibt die Oberfläche. Das Produkt der Grundfläche mit der Körperhöhe geteilt durch 3 ergibt das Volumen. Pythagoras:Körperhöhe h: h² = ha² - (b/2)² h² = hb² - (a/2)² h² = s² - (d/2)² wobei d = √(a² + b²) Seitenflächenhöhe ha: ha² = h² + (b/2)² ha² = s² - (a/2)² Seitenflächenhöhe hb: hb² = h² + (a/2)² hb² = s² - (b/2)² Außenkante s: s² = ha² + (a/2)² s² = hb² + (b/2)² s² = h² + (d/2)² wobei d = √(a² + b²) Formeln Umkehraufgaben:Oberfläche: O = Gf + M ⇒ M = O - Gf ⇒ Gf = O - M Volumen: V = Gf • h : 3 ⇒ Gf = 3 • V : h ⇒ h = 3 • V : Gf Mantel: M = a • ha + b • hb ⇒ a = (M - b • hb) : ha ⇒ ha = (M - b • hb) : a ⇒ b = (M - a • ha) : hb ⇒ hb = (M - a • ha) : b Grundfläche: Gf = a • b ⇒ a = Gf : b Beispiel:gegeben: rechteckige Pyramide mit a = 3,4 dm, b = 2,8 dm und h = 4,5 dm gesucht: a) Flächenhöhe ha b) Flächenhöhe hb c) Mantel a) Flächenhöhe ha ha = √ [h² + (b/2)²] ha = √ (4,5² + 1,4²) ha = 4,7 dm b) Flächenhöhe hb hb = √ [h² + (a/2)²] hb = √ (4,5² + 1,7²) hb = 4,8 dm c) Mantel M = a • ha + b • hb M = 3,4 • 4,7 + 2,8 • 4,8 M = 29,42 dm² A: Die Mantelfläche beträgt 29,42 dm² Tests:Eigenschaften Test Formeln Test Pythagoras Test Übungsblätter:Aufgaben Übungsblatt Eigenschaften Übungsblatt Formeln Übungsblatt Umkehraufgaben Übungsblatt Rechteckige Pyramide Merkblatt Ist Oberfläche das gleiche wie Mantelfläche?Als Mantelfläche oder kurz Mantel bezeichnet man in der Geometrie einen Teil der Oberfläche bestimmter Körper.
Was zählt zur Oberfläche?Die Oberfläche eines Körpers besteht aus allen äußeren Flächen. Sie heißt auch „Oberflächeninhalt“. Die äußeren Flächen sind die Flächen, die du berühren kannst, wenn du den Körper in der Hand hältst.
Was versteht man unter dem Mantel eines Körpers?Der Mantel ist die Fläche, die nicht Grund- oder Deckfläche ist, in der Regel alle Seitenflächen. Je nach Körper kann dies nur eine Fläche sein oder auch mehrere Flächen zusammen. Die eingefärbten Flächen stellen jeweils den Mantel dar: Der Mantel sind in der Regel alle Seitenflächen.
Was gibt die Mantelfläche an?Die Mantelfläche eines Zylinders ist ein Rechteck, dessen Länge dem Umfang der Grund- bzw. Deckfläche und dessen Breite der Höhe des Zylinders entspricht.
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Was ist der unterschied zwischen oberfläche und mantel
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