Die folgende reizvolle Aufgabe zeigt, wie schnell und zielsicher die Formeln der Kombinatorik bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten genutzt werden können: Das Geburtstagsproblem: Show Um diese Frage entscheiden zu können, muss die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest zwei SchülerInnen am selben Tag des Jahres Geburtstag feiern, berechnet werden. Der Einfachheit halber können zwei Idealisierungen gemacht werden:
Wir führen die Berechnung etwas allgemeiner durch: Das Jahr besteht aus n Tagen, und es sind k SchülerInnen anwesend. Das Problem entspricht einem Zufallsexperiment, in dem die Namen der k SchülerInnen zufällig und unabhängig voneinander in einen Jahreskalender eingetragen werden. Ein Versuchsausgang ist ein vollständig mit den Namen aller SchülerInnen ausgefüllter Kalender. Alle Versuchsausgänge, die dabei auftreten können, sind gleich wahrscheinlich. Daher handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten seiner Ereignisse kann die Formel (4) weiter oben in diesem Kapitel genutzt werden.Wir berechnen zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit, d.h. die Wahrscheinlichkeit w, dass keinerlei gemeinsame Geburtstage auftreten. Die "Zahl der möglichen Fälle" ist die Zahl der Möglichkeiten, k Objekte (die Namen der SchülerInnen) auf n Plätze (Tage) zu verteilen, wobei die k Objekte unterscheidbar sind und jeder Platz mehrere Objekte zugewiesen bekommen darf. In der Sprache dieses Kapitels ist das die Zahl der Möglichkeiten, n Elementen k Schleifen umzubinden, wobei die Schleifen unterscheidbar sind und jedes Element mehrere Schleife bekommen darf. Es handelt sich um eine Variation mit Wiederholung. Daher gilt:
Die "Zahl der günstigen Fälle" ist die Zahl der Möglichkeiten, die Verteilung der SchülerInnen-Namen auf die Tage des Jahres so vorzunehmen, dass an jedem Tag höchstens ein Name verzeichnet ist. In der Sprache dieses Kapitels ist das die Zahl der Möglichkeiten, n Elementen k Schleifen umzubinden, wobei die Schleifen unterscheidbar sind und jedes Element höchstens eine Schleife bekommen darf. Es handelt sich um eine Variation ohne Wiederholung. Daher gilt:
Die Wahrscheinlichkeit w ist der Quotient "Zahl der günstigen Fälle/Zahl der möglichen Fälle", daher Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei SchülerInnen am selben Tag Geburtstag feiern, ist daher gleich Setzen wir n = 365 und k = 25 ein, so ergibt sich als Lösung des Geburtstagsproblems mit 25 SchülerInnen (gerundet) Mit anderen Worten: Die Lehrperson hat die bessere Chance, die Wette zu gewinnen als die SchülerInnen! Nachbemerkung:
Bereits ab einer SchülerInnenzahl von 23 hat die Lehrperson die bessere Chance, die Wette zu gewinnen! Eine bequemere Übersicht über das schnelle Ansteigen der Wahrscheinlichkeit für gemeinsame Geburtstage gibt eine grafische Darstellung (  Werden die Schalttage berücksichtigt, so ändern sich die Zahlen nur geringfügig. Insbesondere bleibt die SchülerInnenzahl, ab der die Wahrscheinlichkeit für gemeinsame Geburtstage größer als 1/2 ist, bei 23. Wie kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen?Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis lässt sich bestimmen, indem du die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das gesuchte Ereignis auftritt, durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 60 Menschen in einem Raum?Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß von 60 Personen in einem Raum zwei exakt am selben Tag Geburtstag haben? Quizduell sagt 99%.
Hat an jedem Tag ein Mensch Geburtstag?Mathematisch gesehen liegt bei 50 Personen die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen an demselben Tag Geburtstag haben, bei rund 90 Prozent. Bei 23 Leuten liegt sie immerhin bei gut 50 Prozent.
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Wahrscheinlichkeit 2 Personen im gleichen Monat Geburtstag
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