2 schwingungen mit gleicher frequenz

Q: Wie ist die Frequenz bei Schwingungen definiert?

Die Frequenz (von lateinisch frequentia ‚Häufigkeit; auch Schwingungszahl genannt) ist in Physik und Technik ein Maß dafür, wie schnell bei einem periodischen Vorgang die Wiederholungen aufeinander folgen, z. B. bei einer fortdauernden Schwingung. Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer.

Im betrachteten Fall eilt die Spannung u2 (t) der Spannung u1 (t) voraus. Die Summe der Spannung stellt sich jetzt folgendermaßen dar:

Inhaltsverzeichnis Show

Beobachtung:
Animation: Darstellung der Überlagerung mit Zeigern
Schwingungen mit fast gleicher Frequenz (Schwebung)
Schwingungen mit gleicher Frequenz
Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz
Was ist die 2 harmonische?
Wie ist die Frequenz bei Schwingungen definiert?
Wie berechnet man die Anzahl der Schwingungen?
Wann kommt es zur Schwebung?

(2.31)

Aus der Mathematik wissen wir, dass aus einer Addition zweier gleichfrequenter Sinusfunktionen wieder eine Sinusfunktion gleicher Frequenz entsteht. Deshalb gilt für die Gesamtspannung u(t):

(2.32)

wobei û und

zu bestimmen sind.

Die Differenz der beiden Nullphasenwinkel nennt man Phasenverschiebung:

(2.33)

Die Spannung u2 (t) eilt hier also der Spannung u1 (t) um den Winkel φ21 vor.

Merkregel:

Zur Addition der beiden Spannungen u1 (t) und u2 (t) nach Formel (2.31) verwenden wir das bekannte Additionstheorem

(2.34)

Damit lässt sich (2.31) umformen:

(2.35)

Wir sortieren nach sin(ω∙t) und cos(ω∙t):

(2.36)

Den Ausdruck in der eckigen Klammer ersetzen wir durch die Abkürzungen:

(2.37)

(2.38)

und erhalten damit aus :

(2.39)

Dieses Ergebnis muss zur besseren Übersicht noch etwas umgeformt werden. Deshalb wird das bereits verwendete Additionstheorem (2.34) auf Gleichung (2.32) angewandt. Man erhält:

(2.40)

Vergleicht man die Gleichungen (2.40) und (2.35) erkennt man, dass

(2.41)

(2.42)

sein muss.

Zur Berechnung der Amplitude und des Nullphasenwinkels werden (2.41) und (2.42) beide quadriert und addiert. Damit erhält man:

(2.43)

Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist gleich 1 und man erhält, aufgelöst nach û:

(2.44)

So lässt sich der Scheitelwert der Summenspannung berechnen. Der Phasenwinkel φu berechnet man, indem die beiden Gleichungen (2.41) und (2.42) durcheinander dividiert werden, dh. (2.41)/(2.42). Man erhält:

(2.45)

Mit den Lösungen zu den Gleichungen (2.44) und (2.45) lässt sich nun das Ergebnis der Addition für die gleichfrequenten Sinusspannungen in (2.32) angeben.

Die Summe zweier gleichfrequenter Sinusschwingungen unterscheidet sich im Scheitelwert und im Nullphasenwinkel. Zur Berechnung werden die Zwischengrößen ux und uy gemäß (2.37) und (2.38) berechnet. Über sie bestimmt sich sowohl der Scheitelwert als auch der Nullphasenwinkel.

Um den Klang von Tönen physikalisch zu untersuchen müssen wir sie Messen. Dazu wurde ein Mikrofon an ein Speicher-Oszilloskop angeschlossen, das die entsprechende graphische Darstellung der Töne liefert. Die Speicherung gestattet es die Anzeige festzuhalten und in Ruhe zu betrachten.

1) Wir haben Töne erzeugt, wie z.B. gesungene Vokale oder eine Stimmgabel angeschlagen.

2) Wir haben mit Hilfe zweier Stimmgabeln gleichzeitig einen hohen (2000Hz) und einen tiefen Ton (440Hz) erzeugt.

3) Wir haben zwei Stimmgabeln (440Hz) gleichzeitig angeschlagen, wobei an dem Zinken einer Stimmgabel in unterschiedlichen Höhen ein Reiter befestigt war.

Beobachtung:

1) Verschiedene TöneBeim Singen von Vokalen z.B. konnte man feststellen, dass jeder Vokal eine charakteristische Kurve hat. Je reiner der Ton klingt, desto deutlicher kann man eine Sinuskurve erkennen.2) Zwei StimmgabelnMan hört eben beide Töne gleichzeitig. Die am Oszilloskop angezeigte Kurve sieht aus wie eine Überlagerung beider einzelnen Kurven.3) Zwei ähnliche StimmgabelnBei den zwei Stimmgabeln hörte man einen wabernden Ton, der periodisch lauter und leiser wurde. (Waa-Waa-Waa) Wenn der Reiter unten befestigt ist, wechselte Laut und Leise sich nur langsam ab. Ist der Reiter am oberen Ende des Zinkens, so wechselt Laut und Leise sehr schnell und der Ton hört sich sehr schief an. Auf dem Monitor wird eine Schwingung mit sich regelmäßig ändernden Amplituden angezeigt.

Erklärung

Zwei Sachen sind dabei bemerkenswert. Das Trommelfell schwingt offensichtlich auch mit mehreren Frequenzen gleichzeitig, kann aber doch nur eine Bewegung machen! Wir hören aber kein Gemisch von zwei Tönen, sondern zwei klar getrennte! Die Luftschwingungen überlagern sich zunächst um dann vom Ohr und dem Gehirn wieder in zwei Töne getrennt zu werden. Hier wird zunächst nur die Überlagerung besprochen. Die Trennung in verschiedene Frequenzen nennt man Fourieranalyse.

Die Stimmgabeln schwingen und versetzen die Luft in Schwingungen. (Der Kasten an den Stimmgabeln hilft durch die große Oberfläche die Energie an die Luft abzugeben.) Beim Singen oder Sprechen regen wir die in unserer Lunge und im Mundraum vorhandene Luft zu einer selbsterregten Schwingung an. Das heißt, die Luft wird periodisch zusammengedrückt und auseinandergezogen. Diese Verschiebungen der Luftmoleküle führen zu Druckveränderungen und setzen sich durch die Luft bis an unser Trommelfell oder an das Mikrophon fort. [1] Das Trommelfell wird durch die Schwingung der Luft [2] ebenfalls in Schwingungen versetzt. Das Mikrophon übersetzt die Lageveränderungen der Luftmoleküle in Spannungsveränderungen, welche am Oszilloskop angezeigt werden. Die x-Achse der Darstellung ist die Zeit, die y-Achse die Spannung, also die Auslenkung der Luftmoleküle.

1) Verschiedene Töne2) Zwei StimmgabelnDurch beide Stimmgabeln wird die Luft periodisch verschoben. Die Luftverschiebungen an unserem Trommelfell überlagern sich und somit auch die Bewegung des Trommelfells.Mathematisch bedeutet die Überlagerung einfach eine Addition der Auslenkungen [math]y(t)=y_1(t)+y_2(t)[/math]. Man muß also die Sinuskurven der Auslenkungen addieren. Das kann man durch die Addition von zwei Funktionen an jeder Stelle machen. Einfacher ist es aber, die Zeiger der beiden Schwingungen zu addieren [math]z(t)=z_1(t)+z_2(t)[/math]. Die Überlagerung ergibt sich im Zeigerdiagramm aus einem schnell drehenden und einem langsam drehenden Zeiger.3) Zwei ähnliche StimmgabelnMit Hilfe eines Reiters auf der Stimmgabel kann man die Frequenz verändern. Es gab zwei Thesen, die eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung der Frequenz vermuteten:Einmal könnte der Reiter die Länge des schwingenden Zinkens verkürzen. Dadurch verkleinert sich die Masse und die Frequenz steigt an. Andererseits könnte die Länge des Zinkens unverändert bleiben und der Reiter die Masse des schwingenden Zinkens vergrößern. Dadurch verkleinert sich die Frequenz.Nun, wir haben zwei Experimente zur Entscheidung gemacht: Der Ton mit Reiter hört sich tiefer an. Außerdem führte eine Berührung des Reiters zu einer Dämpfung. Der Reiter schwingt also mit und verkürzt nicht die Länge des schwingenden Zinkens.Die beiden Schwingungen überlagern sich zu einer Schwingung, deren Amplitude sich ändert. Im Zeigerdiagramm rotieren zwei Zeiger mit leicht unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit.Hat sich der Phasenunterschied auf [math]\pi[/math] vergrößert, so sind die Schwingungen gegenphasig und die Amplitude wird klein oder sogar Null. Sind die Schwingungen wieder in Phase und die Zeiger parallel, so wird die Amplitude maximal.Der Zeiger der Summe hat keine konstante Winkelgeschwindigkeit mehr, er dreht sich mal schneller und mal langsamer. Außerdem ändert sich ständig die Zeigerlänge und so kann man der Überlagerung nicht sinnvoll eine Amplitude zuordnen. Die Überlagerung ist also keine harmonische Schwingung mehr.

Animation: Darstellung der Überlagerung mit Zeigern

Ergebnisse

Schwingungen mit fast gleicher Frequenz (Schwebung)

Diese Schwebung ist nicht so ausgeprägt, weil die Amplituden unterschiedlich sind:

Für die Frequenz der Schwebung gilt: [math]f_s = |f_2-f_1|[/math]

Das kann man folgendermaßen begründen: In der Zeit t drehen sich die Zeiger um die Winkel [math]\alpha_1=\omega_1 \,t[/math], bzw um [math]\alpha_2=\omega_2 \, t[/math]. Der Winkel zwischen den Zeigern beträgt [math]\alpha_s = \omega_2 \, t - \omega_1 \, t = (\omega_2-\omega_1)\,t[/math]. Der "Zwischenwinkel" vergrößert oder verkleinert sich also mit der Differenz-Geschwindigkeit [math]\omega_s = \omega_2-\omega_1[/math].

Für die Frequenz der Überlagerung gilt: [math]f \approx \frac{f_1 + f_2}{2}[/math]

Da die Überlagerung keine harmonische Schwingung ist, ist diese Angabe streng genommen nicht korrekt, denn die Winkelgeschwindigkeit und somit die Frequenz ist nur konstant, wenn die Frequenzen der sich überlagernden Schwingungen gleichgroß sind. Bei unterschiedlichen Frequenzen wird die "Frequenz" der Überlagerung durch die Schwingung mit der größeren Amplitude dominiert.

Schwingungen mit gleicher Frequenz

Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen vergrößern sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit größerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.

Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, gegenphasig mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen schwächen sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit kleinerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.

Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz und mit Phasenverschiebung. Wiederum addieren sich die Zeiger, diesmal mit Hilfe eines Vektorparallelogramms. Auch hier drehen sich alle Zeiger gleichschnell.

Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz, so entsteht eine harmonische Schwingung derselben Frequenz.

Die Amplitude erhält man durch Zeigeraddition, sie hängt von der Phasenverschiebung ab.

Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz

Überlagerung zweier Schwingungen mit dem Frequenzverhältnis von 1:2, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude.

Bei der Überlagerung von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz entstehen keine harmonischen Schwingungen.

Was ist die 2 harmonische?

Bei Verwendung der Begriffe Oberschwingung, Oberwelle und Oberton entspricht die Frequenz dem n+1-fachen. Der erste Oberton ist also die zweite Harmonische und hat die doppelte Frequenz der Grundschwingung.

Wie ist die Frequenz bei Schwingungen definiert?

Die Frequenz (von lateinisch frequentia ‚Häufigkeit'; auch Schwingungszahl genannt) ist in Physik und Technik ein Maß dafür, wie schnell bei einem periodischen Vorgang die Wiederholungen aufeinander folgen, z. B. bei einer fortdauernden Schwingung. Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer.

Wie berechnet man die Anzahl der Schwingungen?

Harmonische Schwingungen können mit der allgemeinen Sinusfunktion y ( t ) = y ^ ⋅ sin ⁡ ( ω ⋅ t + φ 0 ) oder der allgemeinen Cosinusfunktion y ( t ) = y ^ ⋅ cos ⁡ ( ω ⋅ t + φ 0 ) beschrieben werden. Dabei ist y ^ die Amplitude und ω die Kreisfrequenz der Schwingung.

Wann kommt es zur Schwebung?

Von Musikinstrumenten und Stimmgabeln kennt man die Erscheinung der "Schwebung". Diese tritt immer dann auf, wenn zwei Schallquellen nicht genau dieselbe Frequenz, sondern (leicht) unterschiedliche Frequenzen erzeugen.