2 schwingungen gleicher frequenz

Spannungen unterschiedlicher Amplitude und Phasenlage, aber die Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz f0: zeigt ein solches Beispiel mit der Grundfrequenz (50 Hz), der dreifachen (150 Hz) und der fünffachen Frequenz (250 Hz). Man spricht auch von der Grundschwingung (1. Harmonische) und den Oberschwingungen (3. Harmonische und 5. Harmonische):

Durch punktweises Addieren kann man die Summe der drei Spannungen erhalten.

zeigt den zeitlichen Verlauf von u (t) = u1 (t) + u2 (t) + u3 (t).

Man erkennt deutlich, dass die Periodendauer der zusammengesetzten Schwingung der Periodendauer der Grundschwingung entspricht.

Der resultierende zeitliche Verlauf von u (t) wird durch die Oberschwingungen hervorgerufen. Man kann sich anschaulich leicht klar machen, dass anders zusammengesetzte Oberschwingungen eine andere Kurvenform erzeugen.

Die Umkehrung gilt auch: Zu jedem beliebigen periodischen Verlauf gehört eine Reihe von Sinusschwingungen, die aus der Grundschwingung und den Oberschwingungen bestehen. Die Bestimmung der Oberschwingungen bei einem gegebenen periodischen Verlauf ist die Aufgabe der Fourieranalyse. Diese wird an anderer Stelle im Studium ausführlich behandelt.

Bild 2.10: Schwingung aus einer Grundschwingung und mehreren Oberschwingungen zusammengesetzt.

♦

Lassen Sie den Punkt gleichzeitig an zwei harmonischen Schwingungen derselben Periode teilnehmen, die entlang einer geraden Linie gerichtet sind.

Die Addition der Schwingungen erfolgt nach der Methode der Vektordiagramme (Abb. 2.2). Die Schwingungen seien durch die Gleichungen gegeben

und

(2.2.1)

Von dem Punkt beiseite legen Ö einen Vektor unter einem Winkel φ 1 zur Referenzlinie und einen Vektor unter einem Winkel φ 2 . Beide Vektoren rotieren mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ω gegen den Uhrzeigersinn, ihre Phasendifferenz ist also zeitunabhängig (). Solche Schwingungen nennt man kohärent.

Wir wissen, dass die Gesamtprojektion eines Vektors gleich der Summe der Projektionen auf dieselbe Achse ist. Daher kann die resultierende Schwingung durch einen um den Punkt rotierenden Amplitudenvektor dargestellt werden Ö mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ω wie , und . Die resultierende Schwingung muss ebenfalls harmonisch mit der Frequenz ω sein:

Nach der Regel der Vektoraddition finden wir die Gesamtamplitude:

Die resultierende Amplitude wird durch die Formel gefunden

Somit führt der Körper, der an zwei harmonischen Schwingungen gleicher Richtung und gleicher Frequenz beteiligt ist, auch eine harmonische Schwingung in gleicher Richtung und mit gleicher Frequenz wie die summierten Schwingungen aus.

Aus (2.2.2) folgt, dass die Amplitude SONDERN die resultierende Schwingung hängt von der Differenz der Anfangsphasen ab. Mögliche Werte SONDERN im Bereich liegen (die Amplitude kann nicht negativ sein).

Betrachten wir einige einfache Fälle.

1. Die Phasendifferenz ist Null oder eine gerade Zahlπ, das heißt, wo . Dann und

seit , d. h. resultierende Schwingungsamplitude SONDERN gleich der Summe der Amplituden der addierten Schwingungen (Oszillationen gleichphasig) (Abb. 2.3).

2. Die Phasendifferenz ist eine ungerade Zahlπ , also

Auf Abb. 2.4 zeigt die Amplitude der resultierenden Schwingung SONDERN, gleich der Differenz der Amplituden der addierten Schwingungen (Schwingungen in außer Phase).

3. Die Phasendifferenz ändert sich zeitlich willkürlich:

(2.2.6)

Aus Gleichung (2.2.6) folgt und ändert sich entsprechend dem Wert von . Daher macht es keinen Sinn, beim Hinzufügen von inkohärenten Schwingungen über das Hinzufügen von Amplituden zu sprechen, aber in einigen Fällen werden ganz bestimmte Muster beobachtet. Für die Praxis besonders interessant ist der Fall, wenn sich zwei addierte Schwingungen gleicher Richtung in der Frequenz wenig unterscheiden. Durch Addition dieser Schwingungen erhält man Schwingungen mit sich periodisch ändernder Amplitude.

Periodische Änderungen der Schwingungsamplitude, die aus der Addition zweier harmonischer Schwingungen mit nahen Frequenzen entstehen, werden genannt schlägt. Streng genommen handelt es sich nicht mehr um harmonische Schwingungen.

Die Amplituden der addierten Schwingungen seien gleich SONDERN, und die Frequenzen sind gleich ω und , und . Wir wählen den Bezugspunkt so, dass die Anfangsphasen beider Schwingungen gleich Null sind:

Wir fügen diese Ausdrücke hinzu und vernachlässigen , da .

Das Wesen der Abhängigkeit (2.2.8) ist in Abb. 2.5, wo durchgezogene dicke Linien ein Diagramm der resultierenden Schwingung und ihre Hüllkurven - ein Diagramm mit sich langsam ändernder Amplitude gemäß Gleichung (2.2.7).

Die Bestimmung der Tonfrequenz (Schall einer bestimmten Höhe) von Schwebungen zwischen Referenz- und gemessener Schwingung ist die in der Praxis am weitesten verbreitete Methode, um den Messwert mit der Referenz zu vergleichen. Die Schlagmethode wird zum Stimmen von Musikinstrumenten, zur Höranalyse usw. verwendet.

Im Allgemeinen werden Schwingungen einer Art genannt moduliert. Spezialfälle: Amplitudenmodulation und Phasen- oder Frequenzmodulation. schlagen ist die einfachste Form modulierter Schwingungen.

Beliebige komplexe periodische Schwingungen lassen sich als Überlagerung gleichzeitig auftretender harmonischer Schwingungen mit unterschiedlichen Amplituden, Anfangsphasen und auch Frequenzen darstellen, die Vielfache der zyklischen Frequenz ω sind:

.

Die Darstellung einer periodischen Funktion in dieser Form ist mit dem Begriff verbunden harmonische Analyse einer komplexen periodischen Schwingung oder Fourier-Entwicklung(d. h. die Darstellung komplexer modulierter Schwingungen als eine Reihe (Summe) einfacher harmonischer Schwingungen). Die Terme der Fourier-Reihe, die harmonische Schwingungen mit Frequenzen ω, 2ω, 3ω, ... bestimmen, werden genannt Erste(oder Haupt), zweite, Dritter usw. Obertöne komplexe periodische Schwingung.

Neben Translations- und Rotationsbewegungen von Körpern in der Mechanik sind auch Schwingungsbewegungen von großem Interesse. Mechanische Schwingungen bezeichnet die Bewegungen von Körpern, die sich genau (oder ungefähr) in regelmäßigen Abständen wiederholen. Das Bewegungsgesetz eines schwingenden Körpers ist durch eine periodische Funktion der Zeit gegeben x = f (t). Die grafische Darstellung dieser Funktion gibt eine visuelle Darstellung des zeitlichen Verlaufs des Schwingungsvorgangs.

Beispiele für einfache schwingungsfähige Systeme sind die Belastung einer Feder oder eines mathematischen Pendels (Abb. 2.1.1).

Mechanische Schwingungen können, wie oszillierende Prozesse jeder anderen physikalischen Art, sein frei und gezwungen. Freie Schwingungen unter dem Einfluss gemacht werden interne Kräfte System, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Die Schwingungen eines Gewichts an einer Feder oder die Schwingungen eines Pendels sind freie Schwingungen. Vibrationen unter der Aktion extern periodisch wechselnde Kräfte werden aufgerufen gezwungen.

Die einfachste Art von Schwingungsprozessen sind einfach harmonische Schwingungen, die durch die Gleichung beschrieben werden

Hier x- Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage, x m - Schwingungsamplitude, d. H. Die maximale Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition, ω - zyklische oder kreisförmige Frequenz Zögern, t- Zeit. Der Wert unter dem Kosinuszeichen φ = ω t+ φ 0 aufgerufen wird Phase harmonischer Ablauf. Beim t= 0 φ = φ 0 , also heißt φ 0 Anfangsphase. Das minimale Zeitintervall, nach dem die Bewegung des Körpers wiederholt wird, wird genannt Periode der SchwingungT. Man nennt die physikalische Größe reziprok zur Schwingungsdauer Oszillationsfrequenz:

Oszillationsfrequenz f zeigt, wie viele Vibrationen in 1 s gemacht werden. Frequenzeinheit - Hertz(Hz). Oszillationsfrequenz f hängt mit der zyklischen Frequenz ω und der Schwingungsperiode zusammen T Verhältnisse:

Auf Abb. 2.1.2 zeigt die Positionen des Körpers in regelmäßigen Abständen mit harmonischen Schwingungen. Experimentell erhält man ein solches Bild, indem man einen schwingenden Körper mit kurzen periodischen Lichtblitzen beleuchtet ( Stroboskopische Beleuchtung). Die Pfeile repräsentieren die Geschwindigkeitsvektoren des Körpers zu verschiedenen Zeitpunkten.

Reis. 2.1.3 veranschaulicht die Änderungen, die auf dem Graphen eines harmonischen Prozesses auftreten, wenn sich entweder die Amplitude der Schwingungen ändert x m oder Punkt T(oder Frequenz f) oder die Anfangsphase φ 0 .

Wenn der Körper entlang einer geraden Linie schwingt (Achse OCHSE) ist der Geschwindigkeitsvektor immer entlang dieser Geraden gerichtet. Geschwindigkeit υ = υ x Körperbewegung wird durch den Ausdruck bestimmt

In der Mathematik das Verfahren zum Finden der Grenze des Verhältnisses bei Δ t→ 0 heißt die Berechnung der Ableitung der Funktion x (t) zum Zeitpunkt t und als oder als bezeichnet x"(t) oder schließlich als . Für das harmonische Bewegungsgesetz führt die Berechnung der Ableitung zu folgendem Ergebnis:

Das Erscheinen des Terms + π / 2 im Kosinusargument bedeutet eine Änderung der Anfangsphase. Maximale Modulo-Werte der Geschwindigkeit υ = ω x m werden in jenen Momenten erreicht, in denen der Körper die Gleichgewichtslagen durchläuft ( x= 0). Die Beschleunigung wird auf ähnliche Weise definiert a = ax Körper mit harmonischen Schwingungen:

daher die beschleunigung a gleich der Ableitung der Funktion υ ( t) zum Zeitpunkt t, oder die zweite Ableitung der Funktion x (t). Die Berechnungen ergeben:

Das Minuszeichen in diesem Ausdruck bedeutet, dass die Beschleunigung a (t) hat immer das entgegengesetzte Vorzeichen des Offsets x (t), und daher ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die Kraft, die den Körper zu harmonischen Schwingungen veranlaßt, immer auf die Gleichgewichtslage gerichtet ( x = 0).

a) Der Körper nimmt an zwei harmonischen Schwingungen mit gleichen Kreisfrequenzen teilw, aber mit unterschiedlichen Amplituden und Anfangsphasen.

Die Gleichung dieser Schwingungen wird wie folgt geschrieben:

x 1 \u003d a 1 cos (wt + j 1)

x 2 \u003d a 2 cos (wt + j 2),

wo x 1 und x 2- Offsets; eine 1 und eine 2- Amplituden; w- Kreisfrequenz beider Schwingungen; j1 und j2- Anfangsphasen von Schwingungen.

Lassen Sie uns diese Schwankungen mithilfe eines Vektordiagramms hinzufügen. Stellen wir beide Schwingungen als Amplitudenvektoren dar. Dazu von einem beliebigen auf der Achse liegenden Punkt O X, legen wir zwei Vektoren 1 bzw. 2 bei den Winkeln beiseite j1 und j2 zu dieser Achse (Abb. 2).

Die Projektionen dieser Vektoren auf die Achse X wird gleich den Verschiebungen sein x 1 und x 2 gemäß Ausdruck (2). Wenn sich beide Vektoren mit Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn drehen w Projektionen ihrer Enden auf die Achse X erzeugt harmonische Schwingungen. Da beide Vektoren mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit rotieren w, dann der Winkel zwischen ihnen j = j 1 - j 2 bleibt konstant. Addieren wir die beiden Vektoren 1 und 2 gemäß der Parallelogrammregel, erhalten wir den resultierenden Vektor . Wie aus Fig. 2 ersichtlich ist, erfolgt die Projektion dieses Vektors auf die Achse X gleich der Summe der Projektionen der Terme der Vektoren ist x \u003d x 1 + x 2. Andererseits: x \u003d ein cos (wt + j o).

Folglich dreht sich der Vektor mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie die Vektoren 1 und 2 und führt eine harmonische Schwingung aus, die entlang derselben geraden Linie wie die Terme der Schwingungen auftritt, und mit einer Frequenz, die gleich der Frequenz der ursprünglichen Schwingungen ist. Hier j o - die Anfangsphase der resultierenden Schwingung.

Wie aus Abb. 2 ersichtlich, kann zur Bestimmung der Amplitude der resultierenden Schwingung der Kosinussatz verwendet werden, wonach gilt:

a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a \u003d a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos (j 2 - j 1)(3)

Aus Ausdruck (3) ist ersichtlich, dass die Amplitude der resultierenden Schwingung von der Differenz der Anfangsphasen ( j 2 - j 1) Schwingungsterme. Wenn die Anfangsphasen gleich sind ( j2 = j1), dann zeigt Formel (3), dass die Amplitude a ist gleich der Summe eine 1 und eine 2. Wenn die Phasendifferenz ( j 2 - j 1) gleich ±180° ist (d.h. beide Schwingungen sind gegenphasig), dann ist die Amplitude der resultierenden Schwingung gleich dem Absolutwert der Differenz der Amplituden der Schwingungsterme : a = |a 1 - a 2 |.

b) Der Körper nimmt an zwei Schwingungen mit gleichen Amplituden, Anfangsphasen gleich Null und unterschiedlichen Frequenzen teil.

Die Gleichungen für diese Schwingungen sehen folgendermaßen aus:

x 1 \u003d eine Sündew 1 t,

x 2 \u003d eine Sünde 2 t.

Dabei wird davon ausgegangen w 1 etwas anders in der Größe von w 2. Wenn wir diese Ausdrücke hinzufügen, erhalten wir:

x \u003d x 1 + x 2 \u003d 2a cos[(w1-w2)/2]t+sünde[(w 1 + w 2)/2]t=

=2a cos[(w1-w2)/2]keine Sünde wt (4)

Die resultierende Bewegung wird als komplexe Schwingung bezeichnet schlägt(Abb. 3) Da der Wert w1-w2 klein im Vergleich zur Größe w1+w2, dann kann diese Bewegung als harmonische Schwingung mit einer Frequenz gleich der Hälfte der Summe der Frequenzen der addierten Schwingungen betrachtet werden w=(w1+w2)/2, und variabler Amplitude.

Aus (4) folgt, dass sich die Amplitude der resultierenden Schwingung nach dem periodischen Kosinusgesetz ändert. Ein vollständiger Zyklus zum Ändern der Werte der Kosinusfunktion tritt auf, wenn sich das Argument um 360 0 ändert, während die Funktion Werte von +1 bis -1 übergibt. Der Zustand des Systems, das zu den Zeitpunkten schlägt, die den angegebenen Werten der Kosinusfunktion in Formel (4) entsprechen, unterscheidet sich in keiner Weise. Mit anderen Worten treten Schwebungszyklen mit einer Frequenz auf, die einer Änderung des Kosinusarguments in Formel (4) um 180 0 entspricht. Also die Periode T ein Amplitudenänderungen während Schlägen (Schlagperiode) wird aus der Bedingung bestimmt:

T a \u003d 2p / (w 1 - w 2).

Angesichts dessen w=2pn, wir bekommen:

T a \u003d 2 p / 2 p (n 1 - n 2) \u003d 1 / (n 1 - n 2). (5)

Die Änderungsfrequenz der Amplitude der resultierenden Schwingung ist gleich der Differenz der Frequenzen der hinzugefügten Schwingungen:

n = 1/T a = n 1 – n 2 .

schlägt

Stellen Sie sich ein Schwingungssystem mit einem Freiheitsgrad vor, dessen Zustand durch die Abhängigkeit einer Größe von der Zeit bestimmt wird. Die Schwingung in diesem System sei die Summe zweier harmonischer Schwingungen mit gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Anfangsphase, d.h.

Auf diese Weise, Wenn zwei harmonische Schwingungen derselben Richtung mit denselben Frequenzen addiert werden, wird eine harmonische Schwingung derselben Frequenz erhalten, deren Amplitude und Anfangsphase durch die Ausdrücke bestimmt werden(6.2), (6.3).

Man nennt zwei harmonische Schwingungen, die bei gleicher Frequenz auftreten und eine konstante Phasendifferenz haben kohärent. Folglich wird bei der Addition kohärenter Schwingungen eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz erhalten, deren Amplitude und Anfangsphase durch die Amplituden und Anfangsphasen der addierten Schwingungen bestimmt werden.

Wenn die addierten Schwingungen unterschiedliche Frequenzen und haben, aber die gleichen Amplituden

Aus dem resultierenden Ausdruck ist ersichtlich, dass die resultierende Oszillation ist nicht harmonisch.

Lassen Sie die Frequenzen der hinzugefügten Schwingungen nahe beieinander liegen, so dass und . Dieser Fall heißt zwei Frequenzen schlagen.

Bezeichnung

Aus Ausdruck (6.5) folgt, dass die resultierende Schwingung als harmonische Schwingung mit einer bestimmten mittleren Frequenz dargestellt werden kann, deren Amplitude sich langsam (mit einer Frequenz ) mit der Zeit ändert. Zeit

Da die Schwingungen bei unterschiedlichen Frequenzen auftreten, ändert sich die Phasendifferenz der hinzugefügten Schwingungen mit der Zeit, daher sind die Schwingungen nicht kohärent. Die zeitliche Änderung der Amplitude der resultierenden Schwingungen ist eine charakteristische Folge der Inkohärenz der addierten Schwingungen.

Die Addition von Schwingungen wird sehr oft in elektrischen Schaltungen und insbesondere in Funkkommunikationsgeräten beobachtet. In einigen Fällen geschieht dies gezielt, um ein Signal mit bestimmten Parametern zu erhalten. So wird beispielsweise in einem Überlagerungsempfänger das empfangene Signal mit dem Lokaloszillatorsignal addiert (gemischt), um durch nachfolgende Verarbeitung eine Zwischenfrequenzschwingung zu erhalten. In anderen Fällen tritt das Hinzufügen von Schwingungen spontan auf, wenn zusätzlich zum Nutzsignal eine Art von Störung am Eingang des Geräts empfangen wird. Tatsächlich ist die ganze Vielfalt der Form elektrischer Signale das Ergebnis der Addition von zwei oder mehr harmonischen Schwingungen.

Derselbe Körper kann gleichzeitig an zwei oder mehr Bewegungen teilnehmen. Ein einfaches Beispiel ist die Bewegung eines schräg zur Horizontalen geworfenen Balles. Wir können davon ausgehen, dass der Ball an zwei unabhängigen, zueinander senkrechten Bewegungen teilnimmt: gleichmäßig horizontal und gleichermaßen variabel vertikal. Ein und derselbe Körper (materieller Punkt) kann an zwei (oder mehr) Bewegungen oszillierenden Typs teilnehmen.

Unter Vibrationen hinzufügen die Definition des Gesetzes der resultierenden Schwingung verstehen, wenn das schwingungsfähige System gleichzeitig an mehreren Schwingungsvorgängen teilnimmt. Es gibt zwei Grenzfälle - die Addition von Schwingungen einer Richtung und die Addition von zueinander senkrechten Schwingungen.

2.1. Addition harmonischer Schwingungen einer Richtung

1. Addition zweier Schwingungen gleicher Richtung(Gleichsinnige Schwingungen)

kann mit der Vektordiagrammmethode (Abbildung 9) erfolgen, anstatt die beiden Gleichungen zu addieren.

Abbildung 2.1 zeigt die Amplitudenvektoren SONDERN 1(t) und SONDERN 2 (t) summierte Schwingungen zu einem beliebigen Zeitpunkt t, wenn die Phasen dieser Schwingungen jeweils gleich sind

Die resultierende Schwingung

Abbildung 2.1 - Addition gleichgerichteter Schwingungen.

Vektorgröße SONDERN(t) kann mit dem Kosinussatz gefunden werden:

Die Phase der resultierenden Schwingung ergibt sich aus der Formel:

Wenn die Frequenzen der addierten Schwingungen ω 1 und ω 2 nicht gleich sind, dann sowohl die Phase φ(t) als auch die Amplitude SONDERN(t) Die resultierende Schwankung wird sich im Laufe der Zeit ändern. Zusätzliche Schwingungen werden aufgerufen inkohärent in diesem Fall.

2. Zwei harmonische Schwingungen x 1 und x 2 werden aufgerufen kohärent, wenn ihre Phasendifferenz nicht von der Zeit abhängt:

Da aber, um die Bedingung der Kohärenz dieser beiden Schwingungen zu erfüllen, ihre zyklischen Frequenzen gleich sein müssen.

Die Amplitude der resultierenden Schwingung, die durch Addition gleichgerichteter Schwingungen mit gleichen Frequenzen (kohärente Schwingungen) erhalten wird, ist gleich:

Die Anfangsphase der resultierenden Schwingung kann leicht durch Projektion der Vektoren gefunden werden SONDERN 1 und SONDERN 2 auf den Koordinatenachsen OX und OY (siehe Abbildung 9):

So, die resultierende Schwingung, die durch Addieren von zwei gleichgerichteten harmonischen Schwingungen mit gleichen Frequenzen erhalten wird, ist ebenfalls eine harmonische Schwingung.

3. Wir untersuchen die Abhängigkeit der resultierenden Schwingungsamplitude von der Differenz der Anfangsphasen der addierten Schwingungen.

If , wobei n eine beliebige nicht negative ganze Zahl ist

(n = 0, 1, 2…), dann

Wenn ein

4. Addition gleichgerichteter Schwingungen mit ungleichen, aber nahen Frequenzen.

Die Frequenzen der addierten Schwingungen sind nicht gleich, sondern die Frequenzdifferenz

Ein Beispiel für die Addition von gleichgerichteten Schwingungen mit nahen Frequenzen ist die Bewegung eines horizontalen Federpendels, dessen Federsteifigkeit geringfügig von k 1 und k 2 abweicht.

Die Amplituden der addierten Schwingungen seien gleich

Die resultierende Schwingung wird durch die Gleichung beschrieben:

Die resultierende Schwingungsgleichung hängt vom Produkt zweier harmonischer Funktionen ab: eine mit einer Frequenz

Der Absolutwert des Kosinus wird genommen, weil die Amplitude ein positiver Wert ist. Die Art der Abhängigkeit x res. für Beats ist in Abbildung 2.2 dargestellt.

Abbildung 2.2 - Die Abhängigkeit der Verschiebung von der Zeit während der Schläge.

Die Schwebungsamplitude ändert sich langsam mit der Frequenz. Der Absolutwert des Kosinus wiederholt sich, wenn sich sein Argument um π ändert, dann wiederholt sich der Wert der resultierenden Amplitude nach einem Zeitintervall τ b, genannt Beat-Periode(Siehe Abbildung 12). Der Wert der Schwebungsperiode kann aus der folgenden Beziehung bestimmt werden:

Der Wert ist die Schlagperiode.

Wert

2.2. Addition senkrecht aufeinander stehender Schwingungen

1. Ein Modell, das die Addition von zueinander senkrechten Schwingungen demonstrieren kann, ist in Abbildung 2.3 dargestellt. Ein Pendel (materieller Massenpunkt m) kann unter der Wirkung zweier senkrecht zueinander gerichteter elastischer Kräfte entlang der Achsen OX und OY schwingen.

Abbildung 2.3

Die summierten Schwingungen haben die Form:

Schwingungsfrequenzen sind definiert als , , wobei , Federsteifigkeitskoeffizienten sind.

2. Betrachten Sie den Fall der Addition von zwei zueinander rechtwinklige Schwingungen mit gleichen Frequenzen

Wenn ein Punkt gleichzeitig an zwei Bewegungen teilnimmt, kann seine Flugbahn unterschiedlich und ziemlich komplex sein. Die Gleichung für die Bahn der resultierenden Schwingungen auf der OXY-Ebene, wenn zwei zueinander senkrechte mit gleicher Frequenz addiert werden, kann bestimmt werden, indem man die Zeit t aus den Anfangsgleichungen für x und y herausnimmt:

Die Art der Flugbahn wird durch die Differenz der Anfangsphasen der hinzugefügten Schwingungen bestimmt, die von den Anfangsbedingungen abhängen (siehe § 1.1.2). Betrachten Sie die möglichen Optionen.

und wenn

(Abbildung 2.3a).

Abbildung 2.3.a	Abbildung 2.3b

b) Wenn

(Abbildung 2.3b).

In beiden Fällen (a, b) oszilliert die resultierende Bewegung des Punktes entlang einer geraden Linie, die durch den Punkt O verläuft. Die Frequenz der resultierenden Oszillation ist gleich der Frequenz der addierten Oszillationen ω 0 , die Amplitude wird bestimmt durch das Verhältnis.

Wie hängen schwingungsdauer und Frequenz zusammen?

Wie ist die Frequenz bei Schwingungen definiert?

Was ist der Unterschied zwischen Frequenz und Schwingung?

Was haben alle Schwingungen gemeinsam?