Die Ecke, auch der Eckpunkt, ist in der Geometrie ein besonders ausgezeichneter Punkt der Grenzlinie oder -fläche eines Gebietes.
Die Ecken von zweidimensionalen Polygonen (Vielecken) sind die Punkte, an denen die begrenzenden Linien, die Seiten, aufeinandertreffen. Im Falle der dreidimensionalen Polyeder (Vielflächner) bezeichnet man die Punkte, an denen (mindestens) drei der begrenzenden Flächen aufeinandertreffen, als Ecken. Die Ecken von Polyedern sind Endpunkte der Kanten, das heißt der Verbindungslinien zwischen jeweils zwei benachbarte Ecken.
Im Falle eines konvexen n-dimensionalen Polytopes ist eine Ecke dadurch charakterisiert, dass sie nicht als echte Konvexkombination zweier verschiedener Punkte des Polytopes dargestellt werden kann (Extremalpunkt).
Für dreidimensionale Polyeder gibt es eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen den Ecken, Kanten und Flächen eines beliebigen konvexen Polyeders beschreibt, den eulerschen Polyedersatz.
Ein regelmäßiges Fünfeck hat 5 Ecken und 5 Seiten.
Ein regelmäßiges Dodekaeder hat 12 Flächen (daher sein Name), 20 Ecken und 30 Kanten.
Ein nichtkonvexes Polyeder
Ein nichtkonvexes Polyeder mit 12 Ecken, 36 Kanten und 32 Flächen, für das der eulersche Polyedersatz nicht gilt
Ecken spielen eine wichtige Rolle in der linearen Optimierung, da sich zeigen lässt, dass der optimale Funktionswert immer in einer Ecke der Restriktionsmenge angenommen wird. Dies macht sich insbesondere der Simplex-Algorithmus zunutze, indem er systematisch von Ecke zu Ecke läuft, bis er den optimalen Funktionswert gefunden hat. Die zulässigen Basislösungen, die hierbei verwendet werden sind genau die Ecken des Polyeders.
Zur Unterscheidung von meist rechtwinkligen Ecken spricht man von Innen- und Außenecken. Bei einem konvexen Polygon sind die Winkel der Ecken von innen betrachtet immer kleiner als 180° und von außen betrachtet immer größer als 180°. Eine Ecke bezeichnet man als Innenecke, wenn ihr Winkel kleiner als 180° ist. Anderenfalls ist es eine Außenecke. Bei Räumen sind damit Ecken, in die man hineinschaut, Innenecken und Ecken, die hervorspringen, Außenecken. Die Betrachtung ist relativ, das heißt in Bezug zu dem Objekt. Der Fußboden eines Raumes liegt mit seinen Außenecken in den Innenecken des Raumes. Diese Innenecken liegen entsprechend an den Außenecken des Fußbodens.
Mathematiker nennen diese Gegenstände geometrische Körper. Körper heißt, dass die Gegenstände einen Raum einnehmen. Sie sind dreidimensional.
Natürlich haben sich Mathematiker für die Körper Namen ausgedacht. Und Formeln zum Rechnen gibt’s auch bald dazu.:-)
Aber erst mal die Namen …
Körper und ihre Namen
Das sind die wichtigsten Körper:
Würfel Quader
Zylinder Kegel Kugel
Quadratische Pyramide Dreiseitige Pyramide
Dreiseitiges Prisma Sechsseitiges Prisma
Flächen
Körper sind durch Flächen begrenzt. Diese Flächen können für die verschiedenen Körper unterschiedlich sein.
Beispiel: Dreiseitiges Prisma
Oben und unten hat das Prisma Dreiecke als Flächen.
An den Seiten hat das Prisma Rechtecke als Flächen.
Flächen kannst du fühlen, wenn du den Körper in die Hand nimmst:
Über eine Fläche kannst du streichen.
Kanten und Ecken
Viele Körper haben Ecken und Kanten.
Körperkanten entstehen, wenn Begrenzungsflächen aneinanderstoßen. Kanten treffen sich in einer Ecke.
Beispiel: Würfel
Es gibt auch gekrümmte Flächen und Kanten.
Beispiel: Zylinder
Spitzen
Etwas Besonderes ist die Spitze eines Kegels: sie wird nicht durch Kanten gebildet, die sich in ihr treffen.