Lambacher schweizer 11 lösungen natürliche exponential- und logarithmusfunktion

1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln

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Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion

Die Exponentialfunktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\) heißt Natürliche Exponentialfunktion Dabei ist \(e\) die durch den Grenzwert \(e = \lim \limits_{n \, \to \, \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = 2{,}718281 \dots\) definierte Eulersche Zahl. Die Natürliche Exponentialfunktion wird auch als \(e\)-Funktion bezeichnet.

Die Logarithmusfunktion \(f \colon x \mapsto \ln x\) heißt Natürliche Logarithmusfunktion. Dabei bezeichnet \(\ln\) den Logarithmus zur Basis \(e\) (\(\ln x = \log_{e} x\)).

Eigenschaften der Natürlichen Exponential- und Logarithmusfunktion

Graph der Natürlichen Exponentialfunktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\)

Graph der Natürlichen Logarithmusfunktion \(f \colon x \mapsto \ln x\)

Die Natürliche Exponential- und die natürliche Logarithmusfunktion sind voneinander Umkehrfunktionen (vgl. 1.5.6 Umkehrfunktion).

Rechenregeln

Es gelten Folgende Rechenregeln:

\[\begin{align*}e^{0} &= 1 & & & \ln 1 &= 0 \\[0.8em] e^{1} &= e & & & \ln e &= 1 \\[0.8em] e^{\ln x} &= x & & & \ln{e^{x}} &= x \\[0.8em] \text{allg.:}\enspace a^{\log_{a}{x}} &= x & & & \log_{a}{a^{x}} &= x \quad (a > 0, \, a\neq 1) \end{align*}\]

Darüber hinaus finden die Rechenregeln für Potenzen und die Rechenregeln für Logarithmen Anwendung (vgl. Merkhilfe).

Rechenregeln für Potenzen

Für \(a, b \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und \(m, n \in \mathbb Z\) bzw. \(a, b \in \mathbb R^{+}\) und \(m, n \in \mathbb R\) gilt:

Außerdem gilt:

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\) für \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und \(n \in \mathbb N\)

\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}\) für \(a \in \mathbb R^{+}\) und \(m \in \mathbb Z, \, n \in \mathbb N\)

Rechenregeln für Logarithmen

Für \(a \in \mathbb R^{+}\) mit \(a \neq 1\) und \(b, c \in \mathbb R^{+}\) sowie \(n \in \mathbb R\) gilt:

Beispielaufgabe

Gegeben sei die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{e^{x} \cdot e^{x + 1}} \cdot \ln{(x + 3)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{f}\).

Bestimmen Sie \(D_{f}\) sowie die Nullstelle der Funktion \(f\). Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern ihres Definitionsbereichs \(D_{f}\)?Werbung

Maximale Definitionsmenge \(D_{f}\):

Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert und schränkt damit die Definitionsmenge der Funktion \(f\) ein.

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad x + 3 &> 0 & &| - 3 \\[0.8em] x &> -3 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \; ]-3;+\infty[\]

Nullstelle der Funktion \(f\):

\[\begin{align*} f(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{e^{x} \cdot e^{x + 1}} \cdot \ln{(x + 3)} &= 0 & &| \; a^{m} \cdot a^{n} = a^{m \cdot n} \\[0.8em] \frac{\ln{(x + 3)}}{e^{2x + 1}} &= 0 \end{align*}\]

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad \ln{(x + 3)} &= 0 & &| \; \ln 1 = 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad x + 3 &= 1 & &| - 3 \\[0.8em] x &= -2 \end{align*}\]

Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\):

\[D_{f} = \; ]-3;+\infty[\]

\[\begin{align*}\lim \limits_{x \, \to \, -3^{+}} f(x) &= \lim \limits_{x \, \to \, -3^{+}} \frac{1}{e^{x} \cdot e^{x + 1}} \cdot \ln{(x + 3)} & &| \; \frac{1}{a^{n}} = a^{-n} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x \, \to \, -3^{+}} \underbrace{e^{-(2x + 1)}}_{\to \, e^{5}} \cdot \underbrace{\ln{(x + 3)}}_{\to \, -\infty} \\[0.8em] &= -\infty \end{align*}\]

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \underbrace{\frac{1}{e^{2x + 1}}}_{\to \, 0} \cdot \underbrace{\ln{(x + 3)}}_{\to \, +\infty} = 0\]Werbung

Jede \(e\)-Funktion geht für \(x \to +\infty\) schneller gegen \(+\infty\) als jede (Natürliche) Logarithmusfunktion. Daher strebt der Term \(\dfrac{1}{e^{2x + 1}}\) schneller gegen Null als der Term \(\ln{(x + 3)}\) gegen \(+\infty\).

Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{e^{x} \cdot e^{x + 1}} \cdot \ln{(x + 3)}\)

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