185 H1 Rechtwinkliges Dreieck Sichtweite von Berggipfeln 1) Betrachte die Figur rechts! Ordne die Begriffe korrekt zu! R = ca. h = t = (entspricht der Länge der Tangentenstrecke) M R t T R h 2) Zeige, dass die Sichtweite t = √ _______ h 2 + 2hRist! 3) Begründe, dass selbst für den höchsten Berg der Erde gilt: h 2 ist viel kleiner als 2hR. Ordne die theoretische Sichtweite t von den angegebenen Berggipfeln zu! a) Schöpfl (≈ 890m) b) Birnhorn (≈ 2 600m) c) Dachstein (≈ 3 000m) d) Großglockner (≈ 3 800m) e) Mont Blanc (≈ 4 800m) t ≈ 220 km Zeige, dass sich die Näherungsformel für die Sichtweite zu t ≈ 3,6· √ __ hverändert, wenn man die Höhe h in Meter einsetzt (t inkm)! Gehe dazu wie in der Infobox vor! Verwende die Näherungsformel aus Aufgabe 792! a) Wie weit kann man vom Ufer des Meeres aus sehen, wenn man seine Augenhöhe 1) in 1 m, 2) in 1,7 m Höhe hat? b) In welcher Entfernung könnte der Kapitän eines Kreuzfahrtschiffes, das auf hoher (und ruhiger) See ist, frühestens ein auf dem Wasser treibendes Rettungsboot eines anderen Schiffes sehen? Die Kapitänsbrücke des Schiffs befindet sich 55m über dem Meeresspiegel. c) Wie weit ist der Horizont entfernt, wenn man im Wasser schwimmt (Augenhöhe ca. 30 cm)? Man sagt, dass man vom Gipfel des Großvenediger (3 674 m), einem Berg an der Grenze zwischen Salzburg und Osttirol, bei guter Sicht das rund 200 km (Luftlinie) entfernte Venedig sehen kann. Begründe, ob diese Aussage richtig ist oder ob es sich um „Bergsteigerlatein“ handelt! a) Wie weit könnte eine Astronautin von der internationalen Raumstation ISS aus (mittlere Entfernung von der Erde ca. 400 km) theoretisch bis zum Horizont der Erde sehen? Berechne das Ergebnis mit der exakten Formel und mit der Näherungsformel und begründe, warum sich hier ein großer Unterschied ergibt! b) Wie weit müsste man von der Erde entfernt sein, damit man die halbe Erdkugel überblicken kann? Weil für gewöhnlich die Höhe h viel kleiner als der Erdradius R ist, vereinfacht sich die Formel für die Sichtweite t = √ _______ h2 + 2hRdurch Vernachlässigen von h 2 zu t ≈ √ ____ 2hR. Da R ≈ 6 370 km ist, ergibt sich t ≈ √ ______ 12 740 h ≈ 113 √ __ h. Die Höhe h muss dabei in Kilometer angegeben werden; die Sichtweite t erhält man ebenfalls in Kilometer. Sichtweite 790 D A O I Sichtstrecke/Sichtweite Höhe eines Turmes oder eines Berggipfels (mittlerer) Erdradius 6 370 km 791 D A O I t ≈ 125 km t ≈ 196 km t ≈ 248 km t ≈ 107km t ≈ 182 km 792 D A O I 793 D A O I 794 D A O I 795 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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Bretagne-Tipp
mittendrin im Bretagne-Urlaub
- Der westlichste Punkt der Bretagne
- Der Horizont des Meeres
- Die Bretagne verschiebt den Tag
Was gibt's noch?
grau: Erde
h: Augenhöhe des Betrachters
x: Entfernung des Horizonts
r: Erdradius (6371 km)
Herleitung der Formel
Die Blicklinie x des Betrachters ist eine Linie, die den gezeichneten Kreis (am Horizont der Erde) berührt und dort senkrecht zum Erdradius steht. Das gezeichnete Dreieck ist also ein rechtwinkliges Dreieck, für welches der Satz des Pythagoras a² + b² = c² gilt. Auf die in der Skizze sichtbare Situation übertragen gilt:
x² + r² = (r + h)²
So kann man bereits x ausrechnen, wenn man (r + h)² - r² berechnet und daraus die Wurzel zieht. Man kann die Gleichung aber auch noch vereinfachen, vielleicht, um am Strand die Meereshorizont-Entfernung im Kopf zu berechnen. Dazu wird die binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² angewendet:
x² + r² = r² + 2rh + h²
Das r² tritt auf beiden Seiten auf und kann abgezogen werden:
x² = 2rh + h²
Da es mir nicht wichtig ist, die Entfernung zum Horizont auf den Meter genau zu kennen, lasse ich das h² auf der rechten Seite weg. Ich benutze also eine "Näherungsformel" (Hinweis). Es gibt sowieso "Ungenauigkeiten": Schließlich werden die Lichtstrahlen als absolut geradlinig angenommen und die Erde als exakte Kugel. Beispielsweise ist der verwendete Wert des Erdradius ein "mittlerer Erdradius" und nicht einmal auf den Kilometer genau. Und wer möchte, kann natürlich auch ohne Näherung rechnen.
x² = 2rh
Gesucht ist also die Strecke x, die mit sich selbst multipliziert den Wert 2rh ergibt. Dies ist die "Wurzel" aus 2rh:
Berechnung
Beispiel: Beim Aufenthalt am Strand ist h ungefähr 2 m = 0,002 km, also 2rh = 2 x 6371 x 0,002 = 25,484. Die gesuchte Zahl x ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 25,484 ergibt, man erhält x = 5,048...., also ungefähr 5 km (5 x 5 = 25). Weitere Werte, auf 100 m genau gerundet (Augenhöhe → Entfernung des Horizonts):
2 m → 5,0 km, 10 m → 11,3 km, 20 m → 16,0 km, 30 m → 19,6 km, 50 m → 25,2 km, 70 m → 29,9 km
Hinweis
Dass die Näherungsformel den verwendeten Zahlenwert nicht sehr verfälscht, wenn man nicht zu hoch über den Meeresspiegel hinauskommt (wenn also die Augenhöhe h viel kleiner als der Erdradius r ist), zeigt eine Beispielrechnung: Wenn man für die Blickhöhe h = 70 m = 0,07 km (immerhin stehen wir dann schon auf einer Klippe des Cap Fréhel an der Nordküste der Bretagne) die Entfernung zum Horizont berechnet, so erhält man auf den Zentimeter genau gerundet x = 29,86536 km in der Näherung und x = 29,86545 km mit der genauen Formel. Die Näherungsformel liefert also einen 9 cm zu niedrigen Wert - bei fast 30 km Entfernung eine nicht gerade schwerwiegende Abweichung.