Eine besondere Eigenschaft linearer Funktionen hast du bereits kennen gelernt:
Die Steigung (der Anstieg) k ist konstant.
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Das Steigungsdreieck
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Berechnung der Steigung
Kennst du zwei Punkte einer Geraden, so kannst du zwischen den beiden Punkten ein Steigungsdreieck einzeichnen.
Die Steigung k kann für zwei Punkte Q(x1 | y1) und P(x2 | y2) auf folgende Weise berechnet werden.
Beispiel: Ermittle die Gleichung der Geraden durch die Punkte Q(1/3) und P(3/6). (1) Bestimme die Steigung k. (2) Setze k in die allgemeine Geradengleichung ein. (3) Setze die Koordinaten eines der beiden
Punkte ein. (4) Berechne den Achsenabschnitt d. |
Die Bestimmung der Geradengleichung ist in dieser Aufgabe gleichbedeutend mit der Bestimmung der Steigung $m$.
In manchen Teilaufgaben ist ein $y$-Wert zu einem $x$-Wert gesucht, wobei das Paar von $x$- und $y$-Koordinaten die Geradengleichung erfüllt. Das heißt, dass $y=f(x)=m\cdot x$ zu berechnen ist.
Du kannst Vermutungen zu Ergebnissen gut an einer kleinen Skizze nachvollziehen. In den Teilaufgaben, bei denen eine Koordinate eines zweiten Punktes auf der Gerade gesucht ist, gilt: Für eine korrekte Wahl der gesuchten Koordinate des Punktes müssen sämtliche Steigungsdreiecke ähnlich zueinander sein und zur selben Steigung $m$ führen.
Das ist eine Beispielrechnung zu dem Typ von Aufgaben, in denen eine $y$-Koordinate zu einem vorgebenen $x$-Wert gesucht ist, z. B. $x=\frac{1}{3}$.
Bei diesen Aufgaben ist die Steigung $m$ gegeben, z. B $m=99$. In der Vorbemerkung wurde erwähnt, dass alle hier auftauchenden Geradengleichungen die Form $f(x)=mx$ haben. Wir setzen den $x$-Wert aus dem Lückentext ein und erhalten $y=f(x)=99 \cdot \frac{1}{3}=33$.
1. Beispiel
Wir suchen die Steigung der Geraden durch die Punkte $A(2|2)$ und $B(3|3)$, das bedeutet für die einzelnen Koordinaten $x_1=2$ und $y_1=2$ sowie $x_2=3$ und $y_2=3$. Diese setzen wir wie folgt in die Beziehung für die Steigung ein:
$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{3-2}{3-2}=1$
Somit erhalten wir die Steigung $m=1$ und die Funktionsgleichung $f(x)=1x$.
2. Beispiel
Wir suchen die Steigung der Geraden durch die Punkte $A(1 000|2 000)$ und $B(1 001|2 002)$. Also sind die einzelnen Koordinaten $x_1=1 000$ und $y_1=2 000$ sowie $x_2=1 001$ und $y_2=2 002$. Wir setzen wiederum in den Bruch für die Steigung $m$ ein:
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2 002-2 000}{1 001-1 000}=\frac{2}{1}=2$
Eine zusätzliche Information aus dem Kopfteil der Aufgabe ist, dass die Gleichung der Geraden die Form $f(x)=mx$ hat. Somit ist die Geradengleichung $f(x)=2x$.
3. Beispiel
Nun ist die Steigung $m=\frac{1}{4}$ und ein Punkt $(0|0)$ gegeben.
In der Vorbemerkung zu den Lückentexten wurde erwähnt, dass alle auftauchenden Geradengleichungen die Form $f(x)=mx$ haben. Damit kann man direkt aus der gegebenen Steigung $m=\frac{1}{4}$ die Geradengleichung $f(x)=\frac{1}{4}x$ schlussfolgern. Wir setzen den $x$-Wert $x=4$ aus dem Lückentext ein und erhalten $y=\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}4=1$.
Ein längerer Lösungsweg führt zu dem gleichen Ergebnis, selbst wenn wir nicht die Information über die Form der Geradengleichung $f(x)=mx$ hätten und von der allgemeinen Form der Geradengleichung $f(x)=mx+b$ ausgehen müssten. Wir bezeichnen den gegebenen Punkt als den ersten mit Koordinaten $x_1=0$ und $y_1=0$. Für jede Gerade muss für alle Punkte $(x_2|y_2)$ gelten, dass die Steigungsformel wieder dieselbe Steigung liefert, also:
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Nach Multiplikation mit $x_2-x_1$ wird daraus:
$(x_2-x_1)m=y_2-y_1$
Speziell im Fall dieser Aufgabe, bei der $x_1=0$ und $y_1=0$ ist, bedeutet das:
$y_2=y_2-y_1=(x_2-x_1)m=x_2\cdot\frac{1}{4}$
Das heißt, dass die allgemeine Formel für einen beliebigen weiteren Punkt $y=\frac{1}{4}x$ ist. In diese Geradengleichung können wir den $x$-Wert $x=4$ aus dem Lückentext einfügen und erhalten $y=\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}4=1$. Dieser Ansatz, über die Formel für die Steigung $m$ und das Wissen, dass $m$ sich nicht verändert, egal welches Punktepaar wir einsetzen, ist allgemein gültig, insbesondere auch für Geraden der Form $f(x)=mx+b$.
4. Beispiel
Hier sind die zwei Punkte $(-5|-1)$ und $(5|1)$ gegeben. Wir nennen den ersten Punkt $A(-5|-1)$, den zweiten $B(5|1)$ und erhalten so die $y$-Koordinaten $y_1=-5$ und $y_2=5$ sowie die $x$-Koordinaten $x_1=-1$ und $x_2=1$. Wir setzen in den Bruch für die Steigung $m$ ein:
$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1-(-1)}{5-(-5)}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$
Damit ist die Steigung $m=\frac{1}{5}$ gefunden. Wenn man die zusätzliche Information einbezieht, dass die Gleichung der Geraden die Form $f(x)=mx$ hat, bleibt nur die Möglichkeit $f(x)=\frac{1}{5}x$ für die gesuchte Geradengleichung.
5. Bespiel
Es ist die Steigung $m=3$ und ein Punkt $(-1|-3)$ gegeben. Wir bezeichnen den gegebenen Punkt als den ersten mit Koordinaten $x_1=-1$ und $y_1=-3$. Wir können wie in der dritten Teilaufgabe die Tatsache ausnutzen, dass die Steigung für alle Paare von Punkten auf der Gerade gleich ist.
Für alle Punkte $(x_2|y_2)$ muss gelten, dass die Steigungsformel wieder dieselbe Steigung liefert, also:
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Multiplizieren auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens liefert die Formel $(x_2-x_1)m=y_2-y_1$. Wir setzen die Werte $x_1=-1$, $y_1=-3$ und die gegebene Steigung $m=3$ ein. So erhalten wir für die Unbekannten $x_2$ und $y_2$ die Gleichung $3(x_2-(-1))=y_2-(-3)$. Dies ist gleichbedeutend mit:
$3x_2+3=y_2+3$
Wenn wir auf beiden Seiten $3$ subtrahieren, bleibt die Geradengleichung:
- $y_2=3x_2$
Wenn wir die Notation von $(x_2|y_2)$ zu $(x|y)$ vereinfachen, bedeutet das, dass die Geradengleichung $f(x)=3x$ ist. Demnach ist der $y$-Wert bei dem $x$-Wert $x=2$ durch $f(x)=3x=3\cdot 2 = 6$ gegeben. Die richtige Lösung für die Lücke ist also $y=6$.