Wie ermittelt man die Steigung einer Geraden?

Wie ermittelt man die Steigung einer Geraden?
 Halte die wichtigsten Informationen in deiner Mitschrift fest!

Eine besondere Eigenschaft linearer Funktionen hast du bereits kennen gelernt:
Die Steigung (der Anstieg) k ist konstant.

Information 12 Das Steigungsdreieck



Information 13 Berechnung der Steigung

Kennst du zwei Punkte einer Geraden, so kannst du zwischen den beiden Punkten ein Steigungsdreieck einzeichnen.

Die Steigung k kann für zwei Punkte Q(x1 | y1) und P(x2 | y2) auf folgende Weise berechnet werden.

Wie ermittelt man die Steigung einer Geraden?
   


Beispiel:
Ermittle die Gleichung der Geraden durch die Punkte Q(1/3) und P(3/6).

(1) Bestimme die Steigung k.
     

Wie ermittelt man die Steigung einer Geraden?

(2) Setze k in die allgemeine Geradengleichung ein.
      y = 1,5x + d

(3) Setze die Koordinaten eines der beiden Punkte ein.
      P einsetzen                                              Q einsetzen
      6 = 1,5.3 + d                                             3 = 1,5.1 + d

(4) Berechne den Achsenabschnitt d.
      6 = 4,5 + d                                                3 = 1,5 + d
      d = 1,5                                                      d = 1,5

Wie ermittelt man die Steigung einer Geraden?


Die Bestimmung der Geradengleichung ist in dieser Aufgabe gleichbedeutend mit der Bestimmung der Steigung $m$.

In manchen Teilaufgaben ist ein $y$-Wert zu einem $x$-Wert gesucht, wobei das Paar von $x$- und $y$-Koordinaten die Geradengleichung erfüllt. Das heißt, dass $y=f(x)=m\cdot x$ zu berechnen ist.

Du kannst Vermutungen zu Ergebnissen gut an einer kleinen Skizze nachvollziehen. In den Teilaufgaben, bei denen eine Koordinate eines zweiten Punktes auf der Gerade gesucht ist, gilt: Für eine korrekte Wahl der gesuchten Koordinate des Punktes müssen sämtliche Steigungsdreiecke ähnlich zueinander sein und zur selben Steigung $m$ führen.

Das ist eine Beispielrechnung zu dem Typ von Aufgaben, in denen eine $y$-Koordinate zu einem vorgebenen $x$-Wert gesucht ist, z. B. $x=\frac{1}{3}$.

Bei diesen Aufgaben ist die Steigung $m$ gegeben, z. B $m=99$. In der Vorbemerkung wurde erwähnt, dass alle hier auftauchenden Geradengleichungen die Form $f(x)=mx$ haben. Wir setzen den $x$-Wert aus dem Lückentext ein und erhalten $y=f(x)=99 \cdot \frac{1}{3}=33$.

1. Beispiel

Wir suchen die Steigung der Geraden durch die Punkte $A(2|2)$ und $B(3|3)$, das bedeutet für die einzelnen Koordinaten $x_1=2$ und $y_1=2$ sowie $x_2=3$ und $y_2=3$. Diese setzen wir wie folgt in die Beziehung für die Steigung ein:

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{3-2}{3-2}=1$

Somit erhalten wir die Steigung $m=1$ und die Funktionsgleichung $f(x)=1x$.

2. Beispiel

Wir suchen die Steigung der Geraden durch die Punkte $A(1 000|2 000)$ und $B(1 001|2 002)$. Also sind die einzelnen Koordinaten $x_1=1 000$ und $y_1=2 000$ sowie $x_2=1 001$ und $y_2=2 002$. Wir setzen wiederum in den Bruch für die Steigung $m$ ein:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2 002-2 000}{1 001-1 000}=\frac{2}{1}=2$

Eine zusätzliche Information aus dem Kopfteil der Aufgabe ist, dass die Gleichung der Geraden die Form $f(x)=mx$ hat. Somit ist die Geradengleichung $f(x)=2x$.

3. Beispiel

Nun ist die Steigung $m=\frac{1}{4}$ und ein Punkt $(0|0)$ gegeben.

In der Vorbemerkung zu den Lückentexten wurde erwähnt, dass alle auftauchenden Geradengleichungen die Form $f(x)=mx$ haben. Damit kann man direkt aus der gegebenen Steigung $m=\frac{1}{4}$ die Geradengleichung $f(x)=\frac{1}{4}x$ schlussfolgern. Wir setzen den $x$-Wert $x=4$ aus dem Lückentext ein und erhalten $y=\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}4=1$.

Ein längerer Lösungsweg führt zu dem gleichen Ergebnis, selbst wenn wir nicht die Information über die Form der Geradengleichung $f(x)=mx$ hätten und von der allgemeinen Form der Geradengleichung $f(x)=mx+b$ ausgehen müssten. Wir bezeichnen den gegebenen Punkt als den ersten mit Koordinaten $x_1=0$ und $y_1=0$. Für jede Gerade muss für alle Punkte $(x_2|y_2)$ gelten, dass die Steigungsformel wieder dieselbe Steigung liefert, also:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Nach Multiplikation mit $x_2-x_1$ wird daraus:

$(x_2-x_1)m=y_2-y_1$

Speziell im Fall dieser Aufgabe, bei der $x_1=0$ und $y_1=0$ ist, bedeutet das:

$y_2=y_2-y_1=(x_2-x_1)m=x_2\cdot\frac{1}{4}$

Das heißt, dass die allgemeine Formel für einen beliebigen weiteren Punkt $y=\frac{1}{4}x$ ist. In diese Geradengleichung können wir den $x$-Wert $x=4$ aus dem Lückentext einfügen und erhalten $y=\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}4=1$. Dieser Ansatz, über die Formel für die Steigung $m$ und das Wissen, dass $m$ sich nicht verändert, egal welches Punktepaar wir einsetzen, ist allgemein gültig, insbesondere auch für Geraden der Form $f(x)=mx+b$.

4. Beispiel

Hier sind die zwei Punkte $(-5|-1)$ und $(5|1)$ gegeben. Wir nennen den ersten Punkt $A(-5|-1)$, den zweiten $B(5|1)$ und erhalten so die $y$-Koordinaten $y_1=-5$ und $y_2=5$ sowie die $x$-Koordinaten $x_1=-1$ und $x_2=1$. Wir setzen in den Bruch für die Steigung $m$ ein:

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1-(-1)}{5-(-5)}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

Damit ist die Steigung $m=\frac{1}{5}$ gefunden. Wenn man die zusätzliche Information einbezieht, dass die Gleichung der Geraden die Form $f(x)=mx$ hat, bleibt nur die Möglichkeit $f(x)=\frac{1}{5}x$ für die gesuchte Geradengleichung.

5. Bespiel

Es ist die Steigung $m=3$ und ein Punkt $(-1|-3)$ gegeben. Wir bezeichnen den gegebenen Punkt als den ersten mit Koordinaten $x_1=-1$ und $y_1=-3$. Wir können wie in der dritten Teilaufgabe die Tatsache ausnutzen, dass die Steigung für alle Paare von Punkten auf der Gerade gleich ist.

Für alle Punkte $(x_2|y_2)$ muss gelten, dass die Steigungsformel wieder dieselbe Steigung liefert, also:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Multiplizieren auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens liefert die Formel $(x_2-x_1)m=y_2-y_1$. Wir setzen die Werte $x_1=-1$, $y_1=-3$ und die gegebene Steigung $m=3$ ein. So erhalten wir für die Unbekannten $x_2$ und $y_2$ die Gleichung $3(x_2-(-1))=y_2-(-3)$. Dies ist gleichbedeutend mit:

$3x_2+3=y_2+3$

Wenn wir auf beiden Seiten $3$ subtrahieren, bleibt die Geradengleichung:

  • $y_2=3x_2$

Wenn wir die Notation von $(x_2|y_2)$ zu $(x|y)$ vereinfachen, bedeutet das, dass die Geradengleichung $f(x)=3x$ ist. Demnach ist der $y$-Wert bei dem $x$-Wert $x=2$ durch $f(x)=3x=3\cdot 2 = 6$ gegeben. Die richtige Lösung für die Lücke ist also $y=6$.

Was ist die Steigungsformel?

Die Steigung (heißt auch „Anstieg“) zwischen zwei Punkten bestimmt man mit der Steigungsformel (im Steigungsdreieck). Diese lautet: m=(y2–y1)/(x2–x1). Hierbei sind x1, x2, y1 und y2 natürlich die Koordinaten der beiden Punkte.

Wie berechnet man die Steigung k?

Wie kannst du bei einer gegebenen Geraden diese Steigung ablesen? Es gelingt, indem du ein Steigungsdreieck einzeichnest. Du wählst dazu einen beliebigen Punkt der Geraden. Sobald du in x-Richtung eine Einheit nach rechts gehst, führt immer die konstante Streckenlänge k in y-Richtung zur Geraden zurück.