Sicherlich hast bei der Bank deines Vertrauens ein Sparkonto, auf das du dein Taschengeld oder vielleicht sogar schon den Lohn von deinem Nebenjob einzahlst. Show
Im Vergleich zu dem Sparschwein in deinem Zimmer hat ein Konto den Vorteil, dass du in regelmäßigen Abständen Zinsen auf dein Guthaben bekommst.  Zinsrechnung einfach erklärtSchauen wir uns zunächst mal eine Definition an: Zinsen sind ein Entgelt, das der Schuldner – also derjenige, der sich Geld leiht – an den Gläubiger – also denjenigen, der das Geld verleiht – als Gegenleistung dafür zahlt, dass er sich vorübergehend dessen Kapital ausleihen darf. Die Bank zahlt dir also dafür, dass du dein Erspartes bei ihnen hinterlegst, einen Zins. Denn dein Geld liegt nicht nur einfach in einem Safe in der Bank, sondern die Bank macht ihrerseits Geschäfte mit dem Geld ihrer Kunden. Genauso ist es andersherum, wenn eine Person einen Kredit oder ein Darlehen aufnimmt, sich also Geld bei der Bank ausleiht. Die Person muss dann nicht nur das Geld, was sie ausgeliehen hat, an die Bank zurückzahlen, sondern etwas mehr. Möchtest du nun ausrechnen, wie viel Geld du auf deinem Sparkonto in 5 oder 10 Jahren haben wirst, brauchst du die Zinsrechnung. Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung und wird zur Berechnung von Zinsen und Kapital gebraucht. Damit du die Zinsrechnung verstehst, wird sie dir in diesem Artikel Schritt für Schritt erklärt. Zinsrechnung GrundlagenZunächst einmal werden die grundlegenden Begriffe geklärt, die in der Zinsrechnung von Bedeutung sind. Das KapitalWie du vielleicht in der Einleitung schon gesehen hast, geht es bei der Zinsrechnung häufig um das Kapital. Das Kapital K ist ein anderer Begriff für Vermögen oder Guthaben. Wenn du die Zinsrechnung mithilfe des Zinsdreiecks durchführst, oder den Dreisatz nutzt, dann reicht dir diese Definition aus. Berechnest du Zinsen jedoch mit Zinsformeln und musst auch berücksichtigen, ob Zinseszinsen gezahlt werden, dann braucht es die Unterscheidung in Anfangs- und Endkapital. Die Definition dieser beiden Begriffe findest du im unteren Abschnitt des Artikels. Der ZinssatzWie viel Geld die Bank dir für das Anlegen deines Geldes zahlt, hängt vom Zinssatz ab. Der Zinssatz p ist derjenige Anteil des Kapitals K, welches der Schuldner dem Gläubiger pro Zeiteinheit für das Kapital zahlt. Der Zinssatz p wird meistens in Prozent angegeben. Man kann ihn aber für die Zinsrechnung in eine Dezimalzahl umwandeln. Ein Zinssatz von 3% kann auch durch die Dezimalzahl 0,03 ausgedrückt werden. Wenn du nochmal nachlesen möchtest, wie Prozentangaben in Dezimalzahlen umgewandelt werden, dann findest du alle wichtigen Informationen dazu im Artikel Prozent :) Mithilfe Wenn du ein Konto bei der Bank eröffnest oder Geld von der Bank leihst, wird dir der Zinssatz von der Bank mitgeteilt. Er ist diejenige Information, die darüber entscheiden kann, ob eine Geldanlage oder ein Darlehen sinnvoll ist oder vielleicht auch nicht. Die ZinsenÄhnlich zum Begriff des Zinssatzes ist der Begriff Zinsen. Der Zins oder die Zinsen Z ist derjenige Geldwert, welcher der Schuldner dem Gläubiger für das Leihen von Kapital zahlt. Falls du gerade zurück gescrollt hast, um diese Definition mit der Definition des Zinssatzes zu vergleichen, ist dir die Ähnlichkeit der beiden Definitionen aufgefallen. Der entscheidende Unterschied ist der folgende: der Zinssatz ist eine Angabe in Prozent und ist fest. Er wird einmal zwischen Schuldiger und Gläubiger ausgemacht und in der Regel im Laufe der Zeit nicht mehr verändert. Die Zinsen sind dann der konkrete Geldwert, der für das Ausleihen von Geld gezahlt werden muss. Die Zinsen hängen also vom Zinssatz und vom Kapital ab. Damit wären die wichtigsten Grundbegriffe für die Zinsrechnung geklärt, und wir können den nächsten Schritt hin zur Zinsrechnung wagen. Zinsen mit dem Zinsdreieck berechnenDie einfachste Form der Zinsrechnung findet mit einer Formel statt, die Zinsen, Kapital und Zinssatz in Zusammenhang stellt. Die Zinsen Z können berechnet werden durch die Formel Schauen wir uns gleich mal an einem Beispiel an, wie diese Formel eingesetzt wird. AufgabeTarik legt 1000€ für ein Jahr zu einem Zinssatz von 2% an. Wie viele Zinsen enthält er? LösungDie wichtigen Werte aus der Angabe sind: Diese Werte können einfach in die Formel eingesetzt werden: Wenn du lieber mit dem Zinssatz als Dezimalzahl rechnest, musst du erst mal die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umwandeln. Es ist Dann lautet die Formel: Wie auch immer du lieber rechnest, Tarik bekommt 20 € Zinsen auf seine angelegten 1000 €. In diesem Beispiel waren Kapital und Zinssatz angegeben und die Zinsen gesucht. Es kann aber auch sein, dass dir das Kapital und die Zinsen gegeben sind, und der Zinssatz gesucht wird, oder Zinsen und Zinssatz gegeben sind, und du das Kapital berechnen musst. Dafür kannst du jeweils die Formel umstellen: für die Formel für p in Prozent und für die Formel für p als Dezimalzahl Zum Umstellen der Formel ist es etwas geschickter, wenn du mit p als Dezimalzahl rechnest. Um dir diese ganzen Formeln einfach zu merken, gibt es das sogenannte Zinsdreieck:
Dieses funktioniert wie folgt: Stell dir vor, der Strick zwischen der oberen Ebene des Dreiecks, in der der Zins Z steht, und der unteren Ebene mit Kapital K und Zinssatz p wäre ein Bruchstrich, und zwischen den Feldern von K und p stände ein Malpunkt.
Je nachdem, welche Variable du nun suchst, ergibt sich durch das Rechenzeichen die jeweilige Formel:
Probiere doch gleich mal aus, ob du die folgenden Aufgaben damit lösen kannst! AufgabeBerechne jeweils die fehlende Variable der Zinsrechnung. LösungWir arbeiten mit der Formel, in der der Zinssatz als Dezimalzahl angegeben ist. 1. Gesucht sind die Zinsen Z. Einsetzen in die Formel ergibt: 2. Gesucht ist das Kapital. Einsetzen in die umgestellte Formel ergibt: 3. Gesucht ist der Zinssatz. Einsetzen in die umgestellte Formel ergibt: Zinsrechnung DreisatzEine weitere, recht einfache Art der Zinsrechnung funktioniert mithilfe des Dreisatzes. Der Dreisatzist ein mathematisches Rechenverfahren, um aus einen gegebenen Wertepaar mithilfe von einer Zwischenrechnung ein gesuchtes Wertepaar zu berechnen. Grundsätzlich funktioniert die Berechnung von Zinsen mithilfe des Dreisatzes wie folgt:
Sind die Zinsen nach der dritten Zeile des Dreisatzes berechnet, kann das Endkapital berechnet werden, indem die Zinsen und das Anfangskapital addiert werden. Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an. AufgabeJohannes legt bei der Bank sein erspartes Geld in Höhe von 5000 € zu einem Zinssatz von 3% an. Berechne mithilfe des Dreisatzes, wie viele Zinsen Johannes nach einem Jahr bekommt. LösungWir stellen den Dreisatz nach dem oben genannten Schema auf: Johannes bekommt also nach einem Jahr 150€ Zinsen. Mit dem Dreisatz kannst du nicht nur die Zinsen ausrechnen, sondern auch direkt das Endkapital. Dazu berechnest du in der dritten Zeile jedoch nicht, wie viel Kapital dem Zinssatz entspricht, sondern das Kapital, welches dem Zinssatz + 100% entspricht. In Johannes' Beispiel würde das wie folgt aussehen: AufgabeJohannes legt bei der Bank sein erspartes Geld in Höhe von 5000€ zu einem Zinssatz von 3% an. Berechne mithilfe des Dreisatzes, wie viele Endkapital Johannes nach einem Jahr hat. LösungWir stellen den Dreisatz nach dem oben genannten Schema mit der veränderten dritten Zeile auf: Johannes hat also nach einem Jahr 5150€ auf der Bank. Komplexere Zinsrechnung GrundlagenManchmal reichen diese einfachen Rechnungen jedoch nicht aus, um die Zinsrechnung korrekt auszuführen, beispielsweise wenn das Geld über mehrere Jahre angelegt wird oder Zinseszinsen gezahlt werden. Wie die Zinsrechnung dann auszusehen hat, schauen wir uns im folgenden Abschnitt an. Zunächst werden jedoch noch ein paar weitere Begriffe definiert, die bei der komplexeren Zinsrechnung wichtig sind. Das Anfangskapital und das EndkapitalMöchtest du Zinsrechnung auf einem höheren Niveau betreiben, reicht es nicht mehr, nur von einem Kapital zu reden. Es benötigt die Unterscheidung in Anfangskapital und Endkapital. Das Anfangskapital oder auch Startkapital in der Zinsrechnung ist das Kapital, das zu Beginn vorhanden ist. Es wird in der Zinsrechnung mit bezeichnet. Das Endkapital ist dasjenige Kapital, das am Ende der Laufzeit vorhanden ist. Es entspricht dem Anfangskapital plus den über die Laufzeit entstandenen Zinsen. Es wird in der Zinsrechnung mit bezeichnet, wobei n für die Laufzeit steht. Die LaufzeitDamit sind wir direkt über einen weiteren Begriff gestolpert: Die Laufzeit bezeichnet denjenigen Zeitraum, in den der Schuldner dem Gläubiger Kapital leiht. Die Laufzeit wird meistens in Jahren angegeben und mit dem Buchstaben n markiert. Je nach Art der Verzinsung kann es sich aber auch um Tage, Monate, Quartale oder Halbjahre handeln. Dann werden die folgenden Variablen genutzt:
Die Zinsen im Zusammenhang mit Anfangs- und Endkapital
Die Zinsen Z sind die Differenz zwischen Endkapital und Anfangskapital. Das heißt:
Die ZinseszinsenUnd weil der Begriff Zinsen noch nicht reicht, gibt es auch noch die Zinseszinsen. Der Zinseszins ist derjenige Geldwert, welcher der Schuldner dem Gläubiger durch das Anfallen von Zinsen zusätzlich zum normalen Zins zahlt. Klingt zunächst kompliziert, ist es aber eigentlich gar nicht. Durch das folgende Beispiel wird der Begriff der Zinseszinsen klarer: Stell dir wieder dein Konto bei der Bank vor. Nach einem Jahr Laufzeit zahlt dir die Bank Zinsen auf das Geld, welches du dort angelegt hast. Auf deinem Konto liegt jetzt also das Anfangskapital plus der Zins. Wenn du nun das Geld – also Anfangskapital plus Zins – ein weiteres Jahr auf der Bank lässt, werden dir natürlich wieder Zinsen gezahlt. Wenn die Bank jetzt nicht nur erneut das Anfangskapital verzinst, sondern das gesamte Geld, welches momentan auf dem Konto liegt (Anfangskapital plus Zins aus dem ersten Jahr), zahlt sie dir auch Zinsen für den Zins, den du im ersten Jahr bekommen hast. Sie verzinst also die Zinsen aus dem vorherigen Jahr. Achtung Zungenbrecher: Die Zinsen, die durch das Verzinsen von vorherigen Zinsen zustande kommen, sind die Zinseszinsen. Die Zinseszinsen sind also Zinsen, die durch die Verzinsung von Zinsen entstehen. Zinsrechnung Komplexere ArtenLeider gibt es nicht nur eine Formel für die Zinsrechnung, sondern mehrere Arten der Verzinsung. Sie unterscheiden sich dadurch, in welchen Zeitabständen verzinst wird, und ob nur das Anfangskapital beachtet wird oder Zinseszinsen anfallen. In den folgenden Abschnitten werden wir uns die Arten Schritt für Schritt anschauen. Der Jahreszins mit einfacher VerzinsungDer Jahreszins ist ein Zins, der jährlich gezahlt wird. Durch die Bezeichnung einfache Verzinsung wird ausgedrückt, dass keine Zinseszinsen gezahlt werden. Es wird also immer nur das Startkapital verzinst. Der Jahreszins mit einfacher Verzinsung ist die einfachste Art der Verzinsung. Das Endkapital bei einem Jahreszins mit einfacher Verzinsung nach der Laufzeit von n Jahren kann berechnet werden durch die Formel
Das Endkapital setzt sich also zusammen aus dem Anfangskapital und den Zinsen, die über die Laufzeit hinweg angefallen sind. Die Zinsen werden durch die Formel berechnet. Die hinterste Formel ist nur eine Umformung der mittleren Formel, dort wurde das Anfangskapital ausgeklammert. Falls dir die mittlere Formel aber lieber ist, kannst du natürlich auf mit dieser rechnen. Schauen wir uns die Jahresverzinsung gleich an einem Beispiel an: AufgabeAndreas hat 2000 € gespart und möchte das Geld bei der Bank deponieren. Er legt das Geld für ein Jahr zu 2,5% an. Berechne wie viele Zinsen anfallen und wie viel Geld er nach einem Jahr zurückbekommt. LösungZuerst schreiben wir uns die wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus:
Diese Werte müssen jetzt in die Formel eingesetzt werden: Andreas bekommt also nach einem Jahr 2050€ zurück. Um die Zinsen Z zu berechnen, muss noch die Differenz aus Anfangskapital und Endkapital berechnet werden. Dies sind also . Die Berechnung der Jahreszinsen bei einfacher Verzinsung ist auch bei einer Laufzeit von mehreren Jahren recht einfach zu berechnen. AufgabeDilara leiht sich von einer Freundin 5000 € für die Eröffnung eines eigenen Cafés. Sie machen einen Zinssatz von 5% bei einfacher Jahresverzinsung aus. Berechne, wie viel Dilara nach 5 Jahren an ihre Freundin zurückzahlen muss und welcher Anteil davon Zinsen sind. LösungWie wichtigen Werte aus der Angabe sind:
Setzen wir diese Werte wieder in die Formel ein, so ergibt sich für das Endkapital: Dilara muss also nach 5 Jahren 6250€ an ihre Freundin zurückzahlen. Davon sind 1250€ Zinsen. Der Jahreszins mit jährlicher VerzinsungBeim Jahreszins mit jährlicher Verzinsung wird im Unterschied zum Jahreszins mit einfacher Verzinsung ein Zinseszins bezahlt. Es werden also jedes Jahr nicht nur das Anfangskapital, sondern auch die bisher angefallenen Zinsen verzinst. Diese Art von Zinsen gibt es normalerweise auf ein Sparbuch bei der Bank. Das Endkapital bei einem Jahreszins mit jährlicher Verzinsung nach der Laufzeit von n Jahren kann berechnet werden durch die Formel
Diese Art von Zinsen gibt es normalerweise auf ein Sparbuch bei der Bank. Das Endkapital bei einem Jahreszins mit jährlicher Verzinsung nach der Laufzeit von n Jahren kann berechnet werden durch die Formel
Diese Formel kann nicht ganz so intuitiv verstanden werden wie die Formel für den Jahreszins ohne Zinseszinsen. Damit du verstehst, wie die Formel zustande kommt, solltest du dir den nachfolgenden Beweis anschauen. Beweis: Überlegen wir uns zuerst einmal, ob die Formel für die Laufzeit von einem Jahr stimmt. Bei der ersten Verzinsung kann es ja noch keine Zinseszinsen geben. Deshalb müsste die Formel identisch sein mit der Formel des Jahreszins bei einfacher Verzinsung. Und tatsächlich kann man sie entsprechend umformen: Interessanter wird es bei einer Laufzeit von zwei Jahren. Das Kapital nach dem zweiten Jahr sollte sich zusammensetzen aus dem Kapital nach dem ersten Jahr und den Zinsen, die es auf das Kapital gibt. Damit werden also Zinseszinsen gezahlt. Es müsste also gelten: Versuchen wir nun, ob wir diese Formel so umformen können, dass sie der Formel aus dem Definitionskasten zum Jahreszins bei jährlicher Verzinsung entspricht.
Die Formel sieht also genauso aus wie die Formel aus dem Definitionskasten, wenn wir dort für n die Zahl 2 einsetzen. Die Formel scheint also auch für eine Laufzeit von zwei Jahren gültig zu sein. Genauso können wir bei einer Laufzeit von drei Jahren vorgehen:
Nach diesem Schema kann man die Formel für jede beliebige Laufzeit n beweisen. Willst du die Formel allgemein beweisen, kannst du dies mit der Technik der vollständigen Induktion tun. Schauen wir uns in einem Beispiel an, wie die Formel im Alltag angewendet wird. AufgabeAnna legt ihr Ersparnis von 3000€ zu jährlich 1,8% Zinsen für 5 Jahre bei der Bank an. Wie hoch ist ihr Endkapital nach den 5 Jahren? LösungDie wichtigen Werte aus der Angabe sind:
Diese Werte können nun in die Formel zum Jahreszins bei jährlicher Verzinsung eingesetzt werden: Nach 5 Jahren hat Anna also schon 3279,90€ auf ihrem Konto. Die Zinsen und Zinseszinsen sind wieder die Differenz aus Endkapital und Anfangskapital: Die unterjährige VerzinsungNeben den Jahreszinsen gibt es auch noch andere Formen der Verzinsung. Es können auch andere Zinsperioden vereinbart werden:
Die Verzinsung kann hier ebenfalls einfach sein oder Zinseszinsen beinhalten. Da der Zinssatz jedoch trotzdem immer für ein ganzes Jahr angegeben wird, muss berücksichtigt werden, wie viele Zinsperioden x es pro Jahr gibt. Damit ändern sich die Formeln für die Verzinsung mit und ohne Zinseszinsen ein wenig. Unterjährige Verzinsung ohne ZinseszinsenDas Endkapital bei einer unterjährigen Verzinsung ohne Zinseszinsen kann berechnet werden durch die Formel Dabei ist x die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr, n die Anzahl der ganzen Jahre und k die Anzahl der weiteren unterjährigen Zinsperioden. Schauen wir uns gleich mal an einem Beispiel an, wie diese Formel funktioniert. AufgabeMateo legt 4000€ für 17 Monate zu einem Jahreszinssatz von 1,6% mit Monatszinsen an. Berechne, wie viele Zinsen in diesen 17 Monaten anfallen und berechne das Endkapital. LösungDie wichtigen Werte aus der Angabe sind:
Zudem ist noch die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr wichtig. Da es sich um Monatszinsen handelt, sind es also 12 Zinsperioden pro Jahr. Diese Werte können jetzt in die Formel eingesetzt werden: Mateos Endkapital sind also etwa 4090,67€, wobei 90,67€ davon Zinsen sind. Unterjährige Verzinsung mit ZinseszinsenDas Endkapital bei einer unterjährigen Verzinsung mit Zinseszinsen kann berechnet werden durch die Formel Dabei ist x die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr, n die Anzahl der ganzen Jahre und k die Anzahl der weiteren unterjährigen Zinsperioden. Dass ein Jahr zwei halbe Jahre, vier Quartale und zwölf Monate hat, ist Dir wahrscheinlich klar. Wusstest du aber auch, dass ein Jahr für die Bank genau 360 Tage hat, für jeden Monat 30 Tage? Auch hierzu schauen wir uns ein Beispiel an. AufgabeLuca leiht sich 1500€ zu einem Jahreszinssatz von 6,5% mit Tageszinsen. Berechne, wie viel Geld Luca nach 10 Tagen zurückzahlen muss. LösungDie wichtigen Werte aus der Angabe sind:
Diese Werte können jetzt in die Formel eingesetzt werden: Luca muss also 1793,93€ zurückzahlen. Zinsrechnung - Das WichtigsteWie berechnet man Zinsen und Kapital?Rechnen mit Formeln. Kapital: K=Z·100p.. Zinssatz: p %=ZK.. Zinsen: Z=p·K100.. Wie ist die Formel für die Zinsen?Zinsen pro Monat = (Kreditbetrag x Zinssatz) ÷ (100 x 12)
Der Zinssatz ist dabei meist pro Jahr (p. a.) angegeben. Für die Berechnung der monatlichen Zinsen muss er in diesem Fall noch – wie in der obigen Formel – durch 12 dividiert werden.
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Wie berechnet man Zinsen Zinssatz und Kapital?
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