Was ist der unterschied zwischen aussage und aussageform


Man kann sagen, dass Aussagen die Substanz der Mathematik sind, das, womit die Mathematik eigentlich arbeitet. Aussagen können wahr oder falsch sein, sie können aus anderen gefolgert werden (oder auch nicht), man kann sie verknüpfen, etc. Dieses Kapitel widmet sich den (oft intuitiven) Regeln, wie man mit Aussagen umzugehen hat. Auch wenn der Ingenieur aller Wahrscheinlichkeit nach in seinem Berufsleben nie wieder Wahrheitstafeln aufstellen muss, prägt dieses grundlegende Prinzip der Mathematik die Denkweise und sollte daher durchaus ernst genommen werden.

Aussagen[Bearbeiten]

AussageEine Aussage ist ein Satz in einer natürlicher oder artifiziellen Sprache, der von seinem Inhalt her entweder wahr oder falsch ist.

Beispiele für Aussagen:

  • München ist die Hauptstadt von Polen.
  • Die Zahl 4 ist durch 2 teilbar.
  • Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper.

Keine Aussagen sind:

  • Dubbl Dibbl Dum. (kein Satz, sinnlose Wortzusammenstellung)
  • Regnet es jetzt? (Frage)
  • Mathematik ist sinnlos. (individuelle Meinungsäußerung)

W (wahr) und F (falsch) werden als Wahrheitswerte einer Aussage bezeichnet. Wahrheitswerte sind logische Konstanten.

Aussageform[Bearbeiten]

AussageformDer Ausdruck
Was ist der unterschied zwischen aussage und aussageform
heißt Aussageform, wenn bei jeder Substitution der Variablen durch Aussagen der Ausdruck A in eine Aussage, egal ob wahr oder falsch, übergeht.

Aussagenverknüpfung[Bearbeiten]

Es seien A und B Aussagen.

Negation[Bearbeiten]

Die Negation wird auch als Komplement, logisches NICHT oder non bezeichnet.

Schreibweise:

Bedeutung: NICHT A

Wahrheitstafel:

AA
W F
F W

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

: 4 ist keine Primzahl. (W)

Konjunktion[Bearbeiten]

Die Konjunktion wird auch als logisches Produkt, logisches UND oder et bezeichnet.

Schreibweise:

Bedeutung: A UND B

Wahrheitstafel:

ABAB
W W W
W F F
F W F
F F F


Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

: 4 ist eine Primzahl und durch 2 teilbar. (F)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung auf.

Disjunktion[Bearbeiten]

Die Disjunktion wird auch als Alternative, logische Addition, logisches ODER oder vel bezeichnet.

Schreibweise:

Bedeutung: A ODER B

Wahrheitstafel:

ABAB
W W W
W F W
F W W
F F F

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

: 4 ist eine Primzahl oder 4 ist durch 2 teilbar. (W)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung auf.

Antivalenz[Bearbeiten]

Die Antivalenz wird auch als ausschließendes ODER, exklusives ODER oder aut bezeichnet.

Schreibweise:

Bedeutung: ENTWEDER A ODER B

Wahrheitstafel:

ABAB
W W F
W F W
F W W
F F F

Beispiel:

A: 3 ist eine Primzahl. (W)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

: Entweder ist 3 eine Primzahl oder 4 ist durch 2 teilbar. (F)

Subjunktion[Bearbeiten]

Schreibweise:

Bedeutung: WENN A DANN B

Wahrheitstafel:

ABAB
W W W
W F F
F W W
F F W


Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

: Wenn 4 eine Primzahl ist, dann ist 4 durch 2 teilbar. (W)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung auf.

Bijunktion[Bearbeiten]

Schreibweise:

Bedeutung: A GENAU DANN, WENN B

Wahrheitstafel:

ABAB
W W W
W F F
F W F
F F W


Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

: 4 ist genau dann eine Primzahl, wenn 4 durch 2 teilbar ist. (F)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung auf.

Wichtige Rechenregeln[Bearbeiten]

Prioritätsregeln[Bearbeiten]

  1. bindet stärker als und
  2. und sind gleichberechtigt und binden stärker als
  3. bindet stärker als

Doppelte Negation[Bearbeiten]

Assoziativgesetze[Bearbeiten]

Kommutativgesetze[Bearbeiten]

Distributivgesetze[Bearbeiten]

Idempotenzgesetze[Bearbeiten]

Absorptionsgesetze[Bearbeiten]

De Morgansche Regeln[Bearbeiten]

Kontraposition[Bearbeiten]

Weitere Regeln[Bearbeiten]

Übungen:

Anti-Konjunktion[Bearbeiten]

Die Anti-Konjunktion wird auch als Sheffersche Funktion oder NAND bezeichnet.

Schreibweise:

Bedeutung: NICHT (A UND B)

Wahrheitstafel:

ABAB
W W F
W F W
F W W
F F W


Übung: Zeigen Sie, dass sich die Negation und die Konjunktion allein durch die Anti-Konjunktion darstellen lassen.

Anti-Disjunktion[Bearbeiten]

Die Anti-Disjunktion wird auch als Nicodsche Funktion oder NOR bezeichnet.

Schreibweise:

Bedeutung: NICHT (A ODER B)

Wahrheitstafel:

ABAB
W W F
W F F
F W F
F F W

Übung: Zeigen sie, dass sich die Negation und die Disjunktion allein durch die Anti-Disjunktion darstellen lassen.

Tautologie und Kontradiktion[Bearbeiten]

Tautologie und KontradiktionEin aussagenlogischer Ausdruck heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn er für jede Variablenbelegung mit Wahrheitswerten wahr ist. Man nennt ihn ungültig oder Kontradiktion, wenn er für jede Variablenbelegung falsch ist.

Beispiel 1:

A AA A
W F W
F W W

Der aussagenlogische Ausdruck ist für jede Belegung seiner Variablen immer wahr, der Ausdruck ist eine Tautologie.


Beispiel 2:

A AA A
W F F
F W F

Der aussagenlogische Ausdruck ist für jede Belegung seiner Variablen immer falsch, der Ausdruck ist also eine Kontradiktion.

Implikation[Bearbeiten]

Ist die Subjunktion AB eine Tautologie, so nennen wir sie Implikation oder Folgerung.

Schreibweise:

Bedeutung: A IMPLIZIERT B oder AUS A FOLGT B

Äquivalenz[Bearbeiten]

Ist die Bijunktion AB eine Tautologie, so nennen wir sie Äquivalenz.

Schreibweise:

Bedeutung: A IST ÄQUIVALENT ZU B

A und B sind dann äquivalent, wenn sie die gleichen Wahrheitswerte liefern.

Normalformen [DRAFT][Bearbeiten]

Unter einer Normalform versteht man die standarisierte Form einer logischen Gleichung. Es kommen nur Negationen, konjunktive und disjunktive Verknüpfungen vor.
Bevor eine Normalform definiert werden kann, müssen die Begriffe Minterm und Maxterm definiert werden.

  • ein Minterm ist eine konjunktive Verknüpfung von Eingangswerten, die logisch den Wert 1 am Ausgang erzeugen.


  • ein Maxterm ist eine disjunktive Verknüpfung von Eingangswerten die den Ausgang logisch 0 werden lassen.


Eine Normalform erhält man im Folgenden durch die disjunktive Verknüpfung von Mintermen oder die konjungtive Verknüpfung von Maxtermen. Beide Formen sind gleichwertig und lassen sich mit den de'Morganschen Regeln ineinander umformen.

Kanonische Normalform: Unter einer kanonischen Normalform versteht mann eine DNF oder eine KNF die alle Eingangsgrößen in allen Summentermen verwenden.

Um die Zusammenhänge zu verdeutlichen soll als Beispiel eine Hex-Anzeige angesteuert werden.

Was ist der unterschied zwischen aussage und aussageform

Der Balken a soll für die Ziffern 2,3,5,6,7,8,9 sichtbar sein.

number wxyz f(x,y,z)
0 0000 0
1 0001 0
2 0010 1
3 0011 1
4 0100 0
5 0101 1
6 0110 1
7 0111 1
8 1000 1
9 1001 1

Disjunktive Normalform[Bearbeiten]

Eine Disjunktive Normalform ist eine disjunkte Verknüpfung von Mintermen.

Die Disjunktive Normalform kann anhand der Wahrheitstabelle direkt aufgestellt werden, dazu müssen nur alle Terme der Wahrheitstabelle die 1 ergeben als disjunkte Minterme übernommen werden.

Konjunktive Normalform[Bearbeiten]

Eine konjunktive Normalform ist eine konjunktive Verknüpfung von Maxtermen.

Die konjunktive Normalform kann ebenso an der Wahrheitsabelle aufgebaut werden. dazu müssen alle Zeilen die logisch '0' ergeben übernommen werden.

Was versteht man unter dem Begriff Aussageform?

Eine Aussageform ist eine sinnvolle sprachliche Äußerung, die mindestens eine (freie) Variable enthält und die zur Aussage wird, wenn für die Variable(n) ein Element aus dem Grundbereich eingesetzt wird.

Ist eine Gleichung eine Aussage?

Gleichungen, in denen (mindestens) eine Variable auftritt, sind keine Aussagen, sondern Aussageformen.

Was ist keine Aussage?

Bei der Negation werden keine Aussagen verknüpft und sie ist daher auch keine Aussagenverknüpfung. Sie wird gleichwohl aus Gründen terminologischer Vereinfachung einstellige Aussageverknüpfung genannt. Sie liefert beim Eingangswert wahr den Wert falsch und umgekehrt.

Was ist eine wahre Aussage?

Wahre und falsche Aussagen: Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch. Eine wahre Aussage wird mit "w" abgekürzt. z.B. Die Zahl 3 ist eine Primzahl. Eine falsche Aussage wird mit "f" abgekürzt.