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Quadratwurzeln: ExkursKursübersicht ▾2Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 (1/2)- …
Du kennst schon die rationalen Zahlen Q\mathbb{Q}Q. Allerdings gibt es einige Wurzelzahlen, die nicht rational, sondern irrational sind (z.B.:2,3,5,6,…\sqrt2, \sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,…2,3,5,6,…). Wir beweisen nun die Irrationalität der 2\sqrt{2}2: Wir nehmen an, dass 2\sqrt22 eine rationale Zahl ist. Das bedeutet, wir können sie darstellen als einen vollständig gekürzten Bruch. Dazu wählen wir zwei ganze Zahlen zzz und nnn. Für den Bruch mit Zähler zzz und Nenner nnn gilt:Beweis
Quadriere beide Seiten.
(zn)2=(2)2\displaystyle (\frac{z}n)^2=(\sqrt2)^2(nz)2=(2)2Löse weiter auf.
z2n2=2\displaystyle \frac{z^2}{n^2}=2n2z2=2Stelle um nach z2z^2z2.
z2=2⋅n2\displaystyle z^2=2\cdot n^2z2=2⋅n22⋅n22\cdot n^22⋅n2 ist eine gerade Zahl, weil man sie durch 2 teilen kann. Wegen dem Gleicheitszeichen ist auch z2z^2z2 eine gerade Zahl.
Allgemein gilt: „Wenn a2a^2a2 gerade ist, dann ist auch aaa gerade ”
▸ Beweis
Wenn also z2z^2z2 gerade ist, dann ist auch zzz gerade und kann deswegen durch 222 geteilt werden.
Zurück Weiter3 Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 (2/2)
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