Warum ist hoch 3 gleich

Diese Potenzen sind dir vertraut: verschiedene Zahlen als Basis und positive und negative ganze Zahlen als Exponent.

Aber: Die Exponenten können auch Brüche sein wie in $$2^(1/2)$$!

Häh? $$2^3=2*2*2$$, aber wie soll das mit einem Bruch gehen…

Das ist festgelegt über die Wurzel! Los geht’s:

Brüche $$1/n$$ als Exponent

Mathematiker haben Potenzen mit Brüchen so festgelegt.

Beispiele:

• $$4^(1/2)=root 2(4) = 2 $$
• $$64^(1/3)=root 3(64) = 4$$
• $$81^(1/4)=root 4(81)=3$$
• …
• $$ 3^(1/n) = root n(3)$$

„Hoch einhalb“ ist dasselbe wie das Ziehen der 2. Wurzel.
Allgemein: „Hoch 1 durch n“ ist dasselbe wie das Ziehen der n-ten Wurzel.

Für eine Zahl a gilt: $$a^(1/n)=root n(a)$$
Dabei ist a eine reelle Zahl größer 0, n ist eine natürliche Zahl größer 1.
Das heißt $$a in RR$$ und $$a>0$$; $$n in NN$$ und $$n>1$$.

Brüche $$m/n$$ als Exponent

Der Exponent kann aber auch ein anderer Bruch sein. Sieh dir den Term $$x^(6/7)$$ an.
Wie soll das jetzt gehen?

$$x^(6/7)$$
ist dasselbe wie:
$$x^(6*1/7)$$

Potenzgesetze:
$$(x^6)^(1/7)$$

$$n$$-te Wurzel ziehen für $$n=7$$:
$$root 7(x^6)$$

Also: $$x^(6/7)=root 7(x^6)$$

Für eine Zahl a gilt: $$a^(m/n)=root n(a^m)$$
Dabei ist a eine reelle Zahl größer 0, n ist eine natürliche Zahl größer 1 und m ist eine ganze Zahl.
$$a in RR$$ und $$a>0$$; $$n in NN$$ und $$n>1$$; $$m in ZZ$$.

Meistens berechnest du diese Potenzen bzw. Wurzeln mit dem Taschenrechner. Bei manchen Taschenrechner darfst du die Klammern nicht vergessen:
[Bild der Eingabe: x^(6/7)]

Und so geht’s allgemein:
$$x^(a/b)$$

$$x^(a*1/b)$$

$$(x^a)^(1/b)$$

$$root b (x^a)$$

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Und in der Praxis?

Potenzen mit rationalen Exponenten kommen beim Bakterienwachstum vor.

Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sich ihre Anzahl nach einer Stunde vervierfacht.

Fällt dir was an den Zahlen auf?

Das kannst du in einer Formel schreiben: $$\text{Anzahl Bakterien}=4^(\text{Anzahl Stunden})$$ oder kurz $$x=4^t$$.

Mit der Formel kannst du die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde berechnen. Jetzt kommt die Wurzel ins Spiel.

$$x=4^(1/2)=sqrt(4)=2$$

Oder nach $$2,5$$ Stunden?

$$x=4^(2,5)=4^(5/2)=4^(5*(1/2))=(4^5)^(1/2)=sqrt(4^5)=sqrt(1024)=32$$

Nach 2,5 Stunden gab es 32 Bakterien.

Für diese Rechnung brauchtest du schon ein paar Regeln aus der Bruchrechnung und Potenzgesetze wie $$(a^m)^n=a^(m*n)$$.

Um binomische Terme mit dem Exponenten $3$ zu vereinfachen, lösen wir zunächst die Potenz auf. Dabei zerlegen wir den hoch 3 Term in eine Multiplikation aus einer einzelnen Klammer und einem hoch 2 Term, den wir wiederum mit den uns bekannten binomischen Formeln auflösen können.

$(a + b)^3 = (a+b)^2 \cdot (a+b) = (a^2+2\cdot a \cdot b + b^2) \cdot (a + b)$

Nun müssen wir die zwei übrigen Klammern ausmultiplizieren, das heißt wir nehmen jede Zahl der einen Klammer mit der der anderen mal und verknüpfen sie durch ein Pluszeichen. Dabei ergibt sich zunächst ein sehr komplizierter Ausdruck.

$(a+b)^3 = (a \cdot a^2) + (a \cdot 2\cdot a\cdot b) + (a \cdot b^2) + (b \cdot a^2) + (b\cdot 2\cdot a\cdot b) + (b \cdot b^2)$

Rechnen wir soweit es geht alle Multiplikationen zusammen, erhalten wir folgenden Ausdruck:

$(a + b)^3 = a^3 + \textcolor{red}{(2 \cdot a^2 \cdot b)}+ \textcolor{blue}{(a \cdot b^2)} + \textcolor{red}{(b \cdot a^2)} + \textcolor{blue}{(2\cdot a\cdot b^2)} + b^3$

Die farbig markierten Terme lassen sich zusammenfassen:

$(a + b)^3 = a^3 + \textcolor{red}{3 \cdot a^2 \cdot b} + \textcolor{blue}{3 \cdot a \cdot b^2} + b^3$

Diese Formel lässt sich entsprechend auch für den Fall einer Differenz formulieren.

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Die binomischen Fomeln mit dem Exponenten $3$ 

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$(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3\cdot x \cdot 4 +2^3$

$(x + 2)^3 =x^3 + 6\cdot x^2 + 12 \cdot x + 8$

Binomische Formeln mit dem Exponent 4

Ist der Exponent des Terms eine $4$, wird der Ausdruck noch komplizierter. Das Vorgehen ist dasselbe, wie beim Exponent $3$. Zunächst zerlegen wir die Potenz in eine Multiplikation aus einem hoch 3 Term und einer einzelnen Klammer. Den hoch 3 Term können wir mit der eben aufgestellten binomischen Formel ausrechnen.

$(a+b)^4 = (a+b)^3 \cdot (a+b) = (a^3 + 3\cdot a^2\cdot b + 3\cdot a \cdot b^2 + b^3) \cdot (a+b)$

Jetzt müssen die Klammern nur noch ausmultipliziert werden.

$(a+b)^4 = a^4 + 4\cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 + 4\cdot a \cdot b^3 + b^4$

Der Term lässt sich natürlich auch wieder für den Fall formulieren, dass innerhalb der Klammer eine Differenz steht.

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Die binomischen Formeln mit dem Exponenten $4$

$(a+b)^4 = a^4 + 4\cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 + 4\cdot a \cdot b^3 + b^4$

$(a-b)^4 = a^4 - 4\cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 - 4\cdot a \cdot b^3 + b^4$

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$(3+x)^4 = 81 + 108 \cdot x + 54 \cdot x^2 + 12 \cdot x^3 + x^4$

$(3-x)^4 = 81 -108 \cdot x + 54 \cdot x^2 - 12 \cdot x^3 + x^4$

Binomische Formeln mit dem Exponent 5

Der Fall, dass der Exponent eines Binoms $5$ ist, ist sehr selten. Aber auch für diesen Fall wollen wir einmal die binomische Formel formulieren. Das Vorgehen ist dasselbe wie bei den Exponenten $3$ und $4$. Als Ergebnis erhalten wir folgende Ausdrücke:

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Die binomischen Formeln mit dem Exponenten $5$

$(a+b)^5 = a^5 + 5\cdot a^4\cdot b + 10\cdot a^3 \cdot b^2 + 10 \cdot a^2\cdot b^3 + 5\cdot a \cdot b^4+ b^5$

$(a-b)^5 = a^5 - 5\cdot a^4\cdot b + 10\cdot a^3 \cdot b^2 - 10 \cdot a^2\cdot b^3 + 5\cdot a \cdot b^4- b^5$

Was bedeutet bei einer Zahl hoch 3?

Wie rechnet man 3 hoch aus?

Warum ist 4 hoch 0 gleich 1?