Wann ist cp gleich cv

Inhalt

• Spezifische Wärmekapazität — Definition
• Spezifische Wärmekapazität — Beispiele
• Spezifische Wärmekapazität des idealen Gases
• Spezifische Wärmekapazität und molekulare Größen

Spezifische Wärmekapazität — Definition

Wärme

Als Wärme oder auch Wärmeenergie bezeichnet man die Energiemenge, die von einem heißen Körper auf einen kalten übertragen wird. Wenn du zum Beispiel Wasser auf einer Herdplatte erhitzt, gibt die Herdplatte Energie an das Wasser ab, das dadurch wärmer wird. Die ausgetauschte Energiemenge heißt Wärme und wird mit dem Buchstaben $Q$ bezeichnet.

Spezifische Wärme

Wir müssen einem Material umso mehr Wärme zuführen, je stärker wir es erhitzen wollen. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das, dass die nötige Wärme proportional zur Temperaturänderung ist: $Q \propto \Delta T$. In unserem Beispiel von Wasser auf einer Herdplatte ist das schnell klar: Um das Wasser zum Kochen zu bringen, müssen wir eine höhere Stufe einstellen und länger warten, als wenn wir nur lauwarmes Wasser brauchten. Wir müssen also mehr Wärme zuführen.

Was ist die spezifische Wärmekapazität?

Wie viel Wärme genau zugeführt werden muss, um eine Temperaturerhöhung $\Delta T$ zu erreichen, wird durch die spezifische Wärmekapazität ausgedrückt. Diese ist der Quotient aus Wärme und Temperaturänderung, und wir bezeichnen sie mit dem Buchstaben $c$:

$c = \frac{Q}{\Delta T}$

Die Wärmekapazität hängt einerseits natürlich davon ab, welche Menge eines Stoffs erwärmt werden soll. Um 10 Liter Wasser zu erhitzen, brauchen wir natürlich mehr Energie, als um nur 1 Liter Wasser zu erhitzen. Deswegen schreiben wir die Masse $m$ mit in unsere Gleichung und erhalten die Formel für die spezifische Wärmekapazität:

$Q \propto \Delta T \cdot m \rightarrow c = \frac{Q}{\Delta T m} $

Andererseits hängt sie auch vom Material ab und ist für jeden Stoff unterschiedlich. Eisen lässt sich beispielsweise leichter erhitzen als Wasser. Deswegen heißt es spezifische Wärmekapazität. (Genau genommen ist dies die Formel für die mittlere spezifische Wärmekapazität, weil wir keine beliebig kleinen Temperaturunterschiede $\Delta T$, sondern Temperaturbereiche betrachten. Für die reale spezifische Wärmekapazität müssten wir den Grenzwert bilden.) Aber wie können wir jetzt die spezifische Wärmekapazität berechnen?

Spezifische Wärmekapazität — Beispiele

Die spezifische Wärmekapazität von Wasser

Um die spezifische Wärmekapazität von Wasser zu ermitteln, stellen wir uns ein Experiment vor: Wir nehmen ein Gefäß mit $300~\text{g}$ $0~$°C kaltem Wasser, in das wir einen $1000~\text{W}$ starken Tauchsieder eintauchen, und messen die Zeit, bis es eine Temperatur von $20~$°C erreicht hat. Wir messen genau $25,2~\text{s}$. Wir haben also:

$\Delta T = 20~\text{°C} = 20~\text{K}$

$m = 300~\text{g}$

Die übertragene Wärme entspricht in etwa dem Produkt aus der Leistung $P$ des Tauchsieders und der verstrichenen Zeit $t$, also:

$Q = P \cdot t = 1000~\text{W} \cdot 25,2~\text{s} = 25200~\text{J} $

Setzen wir diese drei Werte in die Gleichung für die spezifische Wärmekapazität ein, erhalten wir:

$c = \frac{25200~\text{J} }{20~\text{K} 300~\text{g}} = 4,2~\frac{\text{J}}{\text{gK}}$

Wasser hat also einen Wert von $4,2~\frac{\text{J}}{\text{gK}}$ für die spezifische Wärmekapazität. Ihre Einheit ist also Joule pro Gramm mal Kelvin. Man benötigt also eine Energie von $4,2~\text{J}$, um $1~\text{g}$ Wasser um genau $1~\text{°C}$ zu erhitzen.

Die spezifische Wärmekapazität von Metallen

Die spezifische Wärmekapazität von Eisen liegt bei etwa $0,45~\frac{\text{J}}{\text{gK}}$, ist also wesentlich geringer als die von Wasser. Das bedeutet, man benötigt viel weniger Energie, um die gleiche Menge Eisen zu erwärmen. Auch die Wärmekapazität von Kupfer ist recht gering. Sie liegt bei etwa $0,39~\frac{\text{J}}{\text{gK}}$, ist also noch ein bisschen kleiner als die von Eisen.

Wir wissen nun also etwas über die spezifische Wärmekapazität von festen Körpern und Flüssigkeiten. Wie verhält es sich aber bei Gasen?

Spezifische Wärmekapazität des idealen Gases

Wärmekapazität von Luft

Luft kann man unter normalen Bedingungen als ideales Gas beschreiben. Das bedeutet, dass wir die ideale Gasgleichung benutzen können:

$p\cdot V = N \cdot k_{B} \cdot T$

Darin sind $p$ der Druck, $V$ das Volumen, $N$ die Teilchenzahl, $k_B$ die Boltzmann-Konstante und $T$ die Temperatur. Die Änderung der Temperatur eines idealen Gases hat also eine Änderung des Drucks oder des Volumens zur Folge, wenn die Teilchenanzahl gleich bleibt. Deswegen unterscheiden wir beim idealen Gas zwischen der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Volumen $c_V$ und der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck $c_p$.

Wenn das Volumen konstant bleibt, steigt bei Erwärmung der Druck, aber es wird keine Arbeit verrichtet. Es gilt der Zusammenhang, den wir schon kennen:

$Q = c_V \cdot m \cdot \Delta T$

Hier ist nur $c$ durch $c_V$ ersetzt, um das konstante Volumen anzuzeigen. Bleibt der Druck gleich, muss zwangsläufig das Volumen größer werden. Die zugeführte Wärme wird also nicht nur in eine Temperaturerhöhung, sondern zusätzlich auch die Vergrößerung des Volumens umgesetzt. Das nennt man Volumenarbeit. Wir können leicht eine Formel für die Volumenarbeit herleiten, wenn wir uns wieder ein Experiment vorstellen. In einem luftdicht verschlossenen Kolben mit einer beweglich montierten Wand befindet sich ein Gas, das zu Beginn ein Volumen $V_1$ ausfüllt. Wird das Gas so erhitzt, dass sich das Volumen auf $V_2$ vergrößert, wird die bewegliche Wand verschoben und Arbeit verrichtet. Anschaulich betrachtet sieht das Modell folgendermaßen aus:

Wir wissen schon, dass die Arbeit $W$ folgendermaßen dargestellt werden kann:

$W = F\cdot \Delta s$

In dieser Gleichung ist $F$ die Kraft und $\Delta s$ der Weg. Wir wissen auch, dass Kraft pro Fläche den Druck ergibt. Das Umstellen der Formel ergibt eine Gleichung für die Kraft $F$:

$p = \frac{F}{A} \leftrightarrow F = p \cdot A $

Setzen wir diesen Zusammenhang für die Kraft in unsere Formel für die Arbeit ein, erhalten wir:

$W = p \cdot A \cdot \Delta s = p \cdot \Delta V$

Die Volumenarbeit entspricht also dem Druck multipliziert mit der Volumenänderung. Die zugeführte Wärme $Q$ geht also zum einen in die Temperaturerhöhung $c_V m \Delta T$ und zum anderen in die Volumenarbeit $p \Delta V$. Zusammengefasst erhalten wir also:

$Q = c_p \cdot m \cdot \Delta T = c_v \cdot m \cdot \Delta T + p \Delta V$

Spezifische Wärmekapazität Tabelle

In der folgenden Tabelle sind ein paar Beispiele für die spezifische Wärmekapazität verschiedener Materialien zusammengefasst:

Spezifische Wärmekapazität und molekulare Größen

Wir können jetzt auch einen Zusammenhang zwischen $c_V$ und $c_p$ herstellen. Dazu schreiben wir zunächst noch einmal die ideale Gasgleichung auf, ersetzen aber $T$ und $V$ durch die jeweilige Temperatur- bzw. Volumenänderung, also:

$p \cdot \Delta V = N \cdot k_B \cdot \Delta T$

In der idealen Gasgleichung steht $N$ für die Teilchenzahl. Die können wir auch durch die Masse des Gases $m$ und die Masse eines einzelnen Gas-Teilchens $m_i$ ausdrücken als $N = \frac{m}{m_i}$. Das setzen wir jetzt in die ideale Gasgleichung ein:

$p \cdot \Delta V = \frac{m}{m_i} \cdot k_B \cdot \Delta T$

Mit diesem Ausdruck können wir jetzt $p \Delta V$ in der Gleichung für die Wärme $Q$ mit den Wärmekapazitäten $c_V$ und $c_p$ ersetzen:

$Q = c_p \cdot m \cdot \Delta T = c_v \cdot m \cdot \Delta T + \frac{m}{m_i} \cdot k_B \Delta T$

Wir teilen die Gleichung auf beiden Seiten durch $m$ und $\Delta T$ und erhalten damit den Zusammenhang:

$c_p = c_V + \frac{k_B}{m_i} = c_V + R_s$

Im letzten Schritt haben wir $\frac{k_B}{m_i}$ durch die spezielle Gaskonstante $R_s$ ersetzt. Die spezielle Gaskonstante kann auch durch die universelle Gaskonstante und die molare Masse ausgedrückt werden:

$R_s = \frac{R}{M_m}$

Wir können auch die Wärmekapazität auf die Stoffmenge $n$ beziehen, und erhalten so die molare Wärmekapazität $c_m$:

$c_m = \frac{Q}{\Delta T \cdot n}$

Jetzt teilen wir die molare durch die spezifische Wärmekapazität – indem wir die Formel umstellen, ergibt sich dann der Zusammenhang zwischen beiden Größen mit der molaren Masse $M_m$:

$c_m = c \cdot \frac{m}{n} = c \cdot M_m$

Du kannst dein Wissen über Wärmekapazität jetzt direkt überprüfen: Rechts neben dem Video findest du für die spezifische Wärmekapazität Übungen mit Lösungen.

Wann CP oder CV?

Wann ist CP konstant?

Was ist der Unterschied zwischen Wärmekapazität und spezifische Wärmekapazität?

Was ist CV Thermodynamik?