Geschrieben von: Dennis Rudolph Show
Wie man eine E-Funktion ableitet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:
Tipp: Es ist hilfreich wenn ihr bereits Exponentialfunktionen und die Kettenregel kennt. Falls nicht könnt ihr dies gerne noch nachlesen. E-Funktion ableitenKlären wir zunächst warum die E-Funktion so besonders ist. Hinweis: Das besondere an der E-Funktion ist, dass die einfache E-Funktion f(x) = ex abgeleitet ebenfalls wieder ex ist. Dies bedeutet, dass f'(x) = ex ist. Die Funktion f(x) hat damit eine identische Steigung wie f'(x). In den meisten Fällen liegt jedoch nicht einfach nur e hoch x vor, sondern es sind Funktionen bzw. Gleichungen, die etwas anspruchsvoller sind. Daher sehen wir uns nun die Ableitung von Funktionen an, bei denen "e" mit beteiligt ist. Beispiel 1: Kettenregel für E-Funktion Wie lautet die erste Ableitung dieser E-Funktion? Lösung: E-Funktionen werden mit der Kettenregel abgeleitet. Um diese anzuwenden muss man nach innerer und äußerer Funktion unterteilen. Die innere Funktion ist der Exponent mit 3x - 5. Wir leiten diesen mit der Potenzregel ab und erhalten v'(x) = 3. Die äußere Funktion ist e hoch irgendetwas, abgekürzt mit ev. Die Ableitung von e hoch irgendetwas oder kurz ev bleibt e hoch irgendwas oder kurz ev. Innere und äußere Ableitung werden miteinander multipliziert und für v setzen wir wie am Anfang festgelegt wieder 3x - 5 ein. Anzeige: E-Funktion: Produktregel und KettenregelSehen wir uns ein komplizierteres Beispiel an, bei welchem für die Ableitung die Produktregel und die Kettenregel gebraucht wird. Beispiel 2: Produktregel und Kettenregel Wie lautet die erste Ableitung der folgenden Funktion? Lösung: Steht es nicht in der Aufgabenstellung muss man zunächst verstehen welche Ableitungsregeln benötigt werden. Wirft man einen Blick auf die Gleichung sieht man innerhalb der Klammer eine Potenz. Am Ende gibt es eine E-Funktion mit -2x im Exponenten, was auf eine Kette hindeutet. Die Gleichung ist aus zwei Funktionen zusammengesetzt, welche jeweils ein x beinhalten. Daher haben wir ein Produkt. Für die erste Ableitung benutzen wir zunächst die Produktregel. Wir unterteilen dazu die Gleichung in u = 2x2 + 5 und v = e-2x. Die Ableitung von 2x2 + 5 lässt sich mit der Potenzregel zu u' = 4x einfach ermitteln. Etwas schwieriger wird es mit der E-Funktion. Hier gilt:
Um die Kettenregel anzuwenden zu können leiten wir den Exponenten ab. Für die innere Ableitung der Funktion wird aus -2x die innere Ableitung -2. Die äußere Ableitung der Funktion bleibt erhalten, bleibt damit e-2x. Multiplizieren wir -2 mit e-2x erhalten wir die Ableitung v' = -2e-2x. Für u, u', v und v' setzen wir alles in den allgemeinen Zusammenhang für die Produktregel ein und erhalten dadurch die Ableitung. Aufgaben / Übungen E-Funktion ableitenAnzeigen: Video KettenregelE-Funktion und Ketten ableitenDies sehen wir uns im nächsten Video zur Ableitungsregel Kettenregel an:
Nächstes Video » Fragen mit Antworten E-Funktion AbleitungIn diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zur Ableitung der E-Funktion an. F: Wann wird die Ableitung der E-Funktion behandelt? A: Die Ableitung der E-Funktion wird meistens ab der 11. Klasse in der Schule behandelt. Sie ist Teil der Ableitungsrechnung bzw. der Analysis und kommt auch nach der 11. Klasse vor sowie im Abitur (in allen Bundesländern nach meinem Wissensstand). Das Bilden von Ableitungen ist auch ein wichtiger Bestandteil in vielen Studienfächern von Naturwissenschaften über Wirtschaft bis zur Technik. F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich mir neben der Kettenregel noch ansehen? A: Die folgenden Themen werden in der Schule zu Ableitungen behandelt.
Warum bleibt e beim Ableiten gleich?Das besondere an der E-Funktion ist, dass die einfache E-Funktion f(x) = ex abgeleitet ebenfalls wieder ex ist. Dies bedeutet, dass f'(x) = ex ist. Die Funktion f(x) hat damit eine identische Steigung wie f'(x).
Was sagt die Ableitung einer E Funktion aus?Die Ableitung der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst. Hört sich einfach an und ist auch einfach. Komplizierter wird es erst, wenn der Exponent (das x) nicht mehr nur ein x ist sondern z.B.: 2x+4 oder ähnliches ist, also z.B.: f(x)=e2x+4.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen Funktion und Ableitung?Steigt die Funktion f(x), dann ist in diesem Bereich die Ableitung f'(x) positiv, liegt also oberhalb der x-Achse. Fällt die Funktion f(x), dann liegt die Ableitung f'(x) unterhalb der x-Achse, ist also negativ.
Wann verwende ich welche Ableitung?Bezeichnet wird sie zumeist mit f ′ ( x ) f'(x) f′(x). Ist f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f′(x0)>0, so steigt der Graph von f an der Stelle x 0 x_0 x0.
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Ableitungen in der Kurvendiskussion.. |