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Beispiel mit ErklärungLaut dem Bundesbildungsbericht 2012 erwerben 33,9% aller deutschen Schüler eines Jahrgangs die Hochschulreife. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einer Gruppe von 5 zufällig ausgewählten Schülern genau 2 die Hochschulreife erworben haben? Zuerst müssen wir bestimmen, wie viele verschiedenen Möglichkeiten es gibt, zwei Personen aus einer Gruppe von fünf auswählen können. Eine Möglichkeit ist, dass die ersten beiden ausgewählten Schüler ihr Abitur gemacht haben (A) und die letzten drei nicht (N). Dann kämen wir auf folgende Wahrscheinlichkeit: (0,339)(0,339)(0,661)(0,661)(0,661) = (0,339)² · (0,661)³ ≈ 0.03319 = 3,319% Es gibt aber noch neun weitere – also insgesamt 10 – verschiedene Möglichkeiten, wie wir zwei Personen innerhalb einer Gruppe aus fünf anordnen können. All diese Anordnungen müssen wir berücksichtigen:
Was auffällt, ist dass alle die Selbe Wahrscheinlichkeit haben. Daher könne wir (0,339)² · (0,661)³ einfach mit 10 multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit zufällig 2 Abiturienten aus einer Gruppe von 5 Schülern auszuwählen ist demnach: 10 · (0,339)² · (0,661)³ ≈ 0.3319 = 33,19% Diese Aufgabe erfüllt alle Voraussetzungen, um mit der Binomialverteilung gelöst zu werden. Damit eine Aufgabe mit der Binomialverteilung lösbar ist, müssen einige Bedingungen zutreffen:
In unserem Beispiel ist es ein Erfolg, wenn der Schüler sein Abitur gemacht hat. Definition Wenn ein binomverteiltes Experiment aus n Versuchen besteht, wobei jeder Versuch eine Wahrscheinlichkeit von p hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge: Der Binominalkoeffizient berechnet für uns die Anzahl der Möglichkeiten, wie k Objekte in einer Gruppe aus n ohne Wiederholung angeordnet werden können. Interaktive BinomialverteilungRechner für die BinomialverteilungMit dem Rechner können genaue Werte für die Binomialverteilung berechnet werden. Berechnet wird
$$ \large P(X=k) \,=\, f(k;\, n,\, p) \,=\, {n\choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} $$ Berechnungsergebnis$$ \large F(k;\, n,\, p) \,=\, P(X \le k) \,=\, \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$ Berechnungsergebnis$$ \large P(X \ge k) \,=\, \sum_{i=\lfloor k \rfloor}^{n} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$ BerechnungsergebnisWas ist die kumulierte Binomialverteilung?Kumulierte Binomialverteilung
Wenn du also zum Beispiel wissen möchtest, mit welcher Wahrscheinlichkeit du höchstens zwei Treffer erzielst, musst du die Wahrscheinlichkeiten für 0 Treffer, 1 Treffer und 2 Treffer aufsummieren. „x“, in diesem Fall 2, steht also für die Höchstwahrscheinlichkeit.
Wie erkenne ich ob etwas Binomialverteilt ist?Damit eine Aufgabe mit der Binomialverteilung lösbar ist, müssen einige Bedingungen zutreffen:. Es muss eine feste Anzahl an Versuchen (n) geben.. Die Wahrscheinlichkeit p muss konstant bleiben.. Die Versuche müssen unabhängig sein.. Jeder Versuch darf nur zwei verschiedene Ergebnisse haben: "Erfolg" oder "Misserfolg". Wann kumulierte Wahrscheinlichkeit?kumulierte Wahrscheinlichkeit Bildet man die Summe aus Verschiedenen Wahrscheinlichkeiten, so spricht man von einer kumulierten Wahrscheinlichkeit (lat. cumulus = Anhäufung). Berechnung im Rechner Mit dem Rechner kann man diese Zufallsgröÿen leicht berechnen durch den Befehl binomcdf(n,p,kAnfang ,kEnde).
Wann ist ein Versuch Binomialverteilt?Die Binomialverteilung. Wenn man bei einem Zufallsexperiment nur zwei Ergebnisse erzielen kann (“Erfolg” oder “Misserfolg”), spricht man von einem Bernoulli-Experiment. Führt man nun mehrere solcher Experimente nacheinander und unabhängig voneinander durch, so ist die Anzahl der Erfolge binomialverteilt.
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Unterschied zwischen der binominal und kumulierte binomialverteilung
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