Sind zwei gleich große Widerstände parallel geschaltet so ist der Gesamtwiderstand?

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Das ohmsche Gesetz

Das ohmsche Gesetz beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an einem ohmschen Widerstand.

\( U = R \cdot I \)

In Worten ausgedrückt bedeutet dies, dass die Spannung an einem Widerstand umso größer ist, desto größer der durch den Widerstand fließende Strom ist. Der Proportionalitätsfaktor \( R \) ist der Widerstandswert und wird in Ohm angegeben.

\( [R] = \Omega \)

Rechner

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Leistung am Widerstand

Legt man an einen Widerstand eine Spannung an, so fließt Strom. Dieser Strom lässt sich über das ohmsche Gesetz berechnen. Der Stromfluss führt schließlich dazu dass im Widerstand Leistung umgesetzt wird. Der Energieerhaltungssatz der Physik besagt ja, dass Energie weder erzeugt, noch vernichtet werden kann - lediglich umgewandelt. In einem Widerstand wird die elektrische Leistung in thermische Leistung, also in Wärme, umgewandelt.

Leistung wird allgemein als \( P = U \cdot I \) berechnet. Substituiert man \( U \) (\( U = R \cdot I \)), bzw. \( I \) (\( I = \frac{U}{R} \)) durch das ohmsche Gesetz, so erhält man die beiden oft benutzten Formeln zur Berechnung der Leistung an einem Widerstand:

\( P = I^2 \cdot R \)

\( P = \frac{U^2}{R} \)

Zusammenfassen von Widerständen

Widerstände können zusammengefasst werden und in einen äquivalenten Ersatzwiderstand umgerechnet werden. Damit lassen sich Schaltungen vereinfachen und Größen wie Ströme und Spannungen können Berechnet werden.

Serienschaltung (Reihenschaltung)

Bei einer Serienschaltung, auch als Reihenschaltung bezeichnet, werden alle Widerstände vom selben Strom \( \color{red}{I} \) durchflossen. Die Widerstände sind in einer Reihe, bzw. in einer Serie hintereinander geschaltet (Abb. 1). Die Widerstände der Serienschaltung lassen sich zu einem Ersatzwiderstand \( R_{ges} \) zusammenfassen, der nach Außen hin die selbe Wirkung wie die Einzelwiderstände hat. Bei einer angelegten Spannung \( \color{blue}{U} \) fließt also sowohl in Abb. 1, als auch in Abb. 2 der selbe Strom \( \color{red}{I} \).

\( R_{ges} = \frac{U}{I} \)

Nach der zweiten Kirchhoffschen Regel (Maschenregel) lässt sich \( U \) als Summe der Teilspannungen berechnen: \( U = U_{R_{1}} + U_{R_{2}} + U_{R_{3}} \). \( R_{1} \), \( R_{2} \) und \( R_{3} \) lassen sich wiederum über das ohmsche Gesetz mit dem durch alle Widerstände fließenden Strom \( I \), berechnen.

\( U_{R_{1}} = R_{1} \cdot I \)

\( U_{R_{2}} = R_{2} \cdot I \)

\( U_{R_{3}} = R_{3} \cdot I \)

Eingesetzt in die Formel für die Spannung \( U \) und anschließend in die Formel für \( R_{ges} \) ergibt somit:

\( R_{ges} = \frac{R_{1} \cdot I + R_{2} \cdot I + R_{3} \cdot I}{I} = \frac{I \cdot (R_{1} + R_{2} + R_{3})}{I} \)

\( R_{ges} = R_{1} + R_{2} + R_{3} \)

\( I \) fällt durch Kürzen aus der Fromel heraus und der Gesamtwiderstand \( R_{ges} \) (auch Ersatzwiderstand genannt) ist also die Summe der Einzelwiderstände. Dies lässt sich auf beliebig viele Widerstände ausweiten und ist nicht auf drei Widerstände beschränkt.

Bei der Beurteilung, ob eine Serienschaltung vorliegt, muss darauf geachtet werden, dass alle Widerstände vom selben Strom durchflossen werden (der Strom also nirgends anders hinfließen kann als von einem Widerstand zum nächsten).

Parallelschaltung

Bei einer Parallelschaltung liegt jeder Widerstand an der selben Spannung \( \color{blue}{U} \). Auch hier lassen sich alle Widerstände zu einem Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) zusammenfassen. Von Außen müssen beide Schaltungen (Abb. 3 und Abb. 4) äquivalent sein.

\( R_{ges} = \frac{U}{I} \)

Der Strom \( \color{red}{I} \) aus Abb. 3 (der ja der selbe sein muss wie aus Abb. 4) errechnet sich nach der ersten Kirchhoffschen Regel (Knotenregel) zu \( I = I_{R_{1}} + I_{R_{2}} + I_{R_{3}} \). Die einzelnen Ströme lassen sich über das ohmsche Gesetz und der gemeinsamen Spannung \( U \) berechnen.

\( I_{R_{1}} = \frac{U}{R_{1}} \)

\( I_{R_{2}} = \frac{U}{R_{2}} \)

\( I_{R_{3}} = \frac{U}{R_{3}} \)

Einsetzen der einzelnen Ströme in die Formel für \( I \) und weiters in die Formel für den Gesamtwiderstand \( R_{ges} \) ergibt dann:

\( R_{ges} = \frac{U}{I} = \frac{U}{I_{R_{1}} + I_{R_{2}} + I_{R_{3}}} = \frac{U}{\frac{U}{R_{1}} + \frac{U}{R_{2}} + \frac{U}{R_{3}}} \)

Durch Herausheben und Kürzen von \( U \) ergibt sich die Formel für den Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung.

\( R_{ges} = \frac{U}{U \cdot (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})} \)

\( R_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}} \)

Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung ist also der Kehrwert der Summe der Leitwerte. Das Prinzip lässt sich wie bei der Serienschaltung auch auf mehr als drei Widerstände ausweiten, bzw. auch auf zwei Widerstände anwenden.

Sonderfall: zwei parallele Widerstände

\( R_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} \)

Durch Auflösen des Doppelbruchs lässt sich die Formel für den Gesamtwiderstand auf eine "schönere" Form bringen.

\( R_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} = \frac{1}{\frac{R_{2} + R_{1}}{R_{1} \cdot R_{2}}} \)

\( R_{ges} = \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}} \)

Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung zweier Widerstände ergibt sich als Produkt der zwei Teilwiderstände geteilt durch die Summe der zwei Teilwiderstände .

Sonderfall: zwei gleich große parallele Widerstände

Für \( R_{1} = R_{2} = R \) gilt:

\( R_{ges} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2 \cdot R} = \frac{R}{2} \)

Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung zweier gleich großer Widerstände ist die Hälfte eines einzelnen Widerstandes.

Sind \( n \) gleich große Widerstände parallel geschaltet, ergibt sich der Gesamtwiderstand als Einzelwiderstand geteilt durch \( n \).

Gemischte Schaltungen

Gemischte Schaltungen bestehen aus einer beliebigen Kombination von Widerständen. Diese Schaltungen lassen sich durch Zusammenfassen paralleler und serieller Widerstände, sowie durch Stern-Dreieck-Umwandlung zu einem Ersatzwiderstand zusammenfassen

Stern-Dreieck-Umwandlung (Transformation)

Nicht jede Widerstandsschaltung lässt sich auf einen Widerstand reduzieren, indem Schritt für Schritt parallele Widerstände und serielle Widerstände zusammengefasst werden. Es kann vorkommen, dass Widerstände in einem Stern oder einem Dreieck zusammengeschaltet sind und diese Schaltung erst in eine äquivalente Schaltung umgewandelt werden muss.

Sternschaltung

Bei einer Sternschaltung sind in der Regel drei Widerstände zu einem Stern verschaltet (Abb. 5). Sternschaltungen können auch mehr als drei Widerstände beinhalten, allerings können nur Sternschaltungen mit drei Widerständen in eine äquivalente Dreieckschaltung umgewandelt werden. Eine Sternschaltung mit mehr als drei Widerständen kann allgemein in eine äquivalente Polygonschaltung umgewandelt werden.

Dreieckschaltung

Bei einer Dreieckschaltung sind drei Widerstände in einem Dreieck verschaltet (Abb. 6).

Transformation - Herleitung

Jede Dreieckschaltung aus drei Widerständen kann in eine äquivalente Sternschaltung aus drei Widerständen umgerechnet werden und umgekehrt. Durch diese Transformation ändert sich das Verhalten der Schaltung bezüglich der Klemmen 1, 2 und 3 nicht. Wird also der Widerstandswert der Sternschaltung zwischen den Klemmen 1 und 2 gemessen, muss dieser gleich groß sein wie der Widerstandswert der äquivalenten Dreieckschaltung zwischen den Klemmen 1 und 2.

Mit dieser Bedingung wird auch schon die Vorschrift zur Transformation festgelegt. Betrachtet man nun den blauen Pfad der Sternschaltung (Abb. 7), so muss dieser gleich groß wie der Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen 1 und 2 der Dreieckschaltung sein. Dieser Ergibt sich als Parallelschaltung des roten und blauen Pfades (Abb. 8).

\( R_{10} + R_{20} = \frac{1}{\frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_{13} + R_{23}}} \)

Die selbe Vorgehensweise führt für die anderen beiden Klemmenpaare 2 und 3, sowies 1 und 3 auf die folgenden zwei Gleichungen.

\( R_{20} + R_{30} = \frac{1}{\frac{1}{R_{23}} + \frac{1}{R_{12} + R_{13}}} \)

\( R_{10} + R_{30} = \frac{1}{\frac{1}{R_{13}} + \frac{1}{R_{12} + R_{23}}} \)

Zu beachten ist, dass jeweils der dritte Widerstand der Sternschaltung bei der Berechnung keinen Einfluss hat. Bei der Berechnung des Widerstandes zwischen den Klemmen 1 und 2 liegt der Widerstand \( R_{30} \) "in der Luft" und hat keinen Einfluss.

Die obigen drei Gleichungen lassen sich nun durch Umformen auf eine Form bringen, dass jeweils ein Sternwiderstand mittels der drei Dreieckwiderstände, bzw. ein Dreieckwiderstand mittels der drei Sternwiderstände ausgedrückt werden kann.

Transformation - Formeln

Stern-Dreieck-Transformation

\( \color{red}{R_{12}} = \frac{\color{blue}{R_{10}} \cdot \color{blue}{R_{20}}}{R_{30}} + \color{blue}{R_{10}} + \color{blue}{R_{20}} \)

\( R_{23} = \frac{R_{20} \cdot R_{30}}{R_{10}} + R_{20} + R_{30} \)

\( R_{13} = \frac{R_{10} \cdot R_{30}}{R_{20}} + R_{10} + R_{30} \)

Diese Formeln lassen sich mit folgender Hilfe leicht merken. Im Zähler steht das Produkt der Anliegerwiderstände (also jene zwei Widerstände der Sternschaltung, die an den beiden Klemmen des zu berechnenden Dreieckwiderstandes angeschlossen sind). Im Nenner steht der dritte Sternwiderstand. Hinzuaddiert werden nun noch die beiden Anliegerwiderstände.

Dreieck-Stern-Transformation

\( \color{blue}{R_{10}} = \frac{\color{red}{R_{12}} \cdot \color{red}{R_{13}}}{R_{12} + R_{23} + R_{13}} \)

\( R_{20} = \frac{R_{12} \cdot R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{13}} \)

\( R_{30} = \frac{R_{23} \cdot R_{13}}{R_{12} + R_{23} + R_{13}} \)

Auch diese Formeln lassen sich mit folgender Hilfe leicht merken. Im Zähler steht wieder das Produkt der Anliegerwiderstände (also jene zwei Widerstände der Dreieckschaltung, die an der selben Klemme angeschlossen sind, wie der zu berechnende Sternwiderstand). Im Nennen steht der Maschenumlaufwiderstand, das ist die Summe aus allen drei Dreieckwiderständen.

Quellen

Adalbert Prechtl: Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik. SpringerWienNewYork, 2006

Wikipedia - Stern-Polygon-Transformation, Abgerufen am 26.06.2019

Wikipedia - Sternschaltung, Abgerufen am 26.06.2019

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