A.18 | Integrale und FlächeninhalteWill man den Flächeninhalt berechnen, z.B. bei der Flächenberechnung von Schaubildern, dann kommen Integrale ins Spiel. Die Integralberechnung zählt zu den wichtigen Themen der Mathematik. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration. Show
f(x) ist der y-Wert f'(x) ist die Steigung F(x) gibt die Fläche an Ein Integral ist mehr oder weniger das Gleiche wie eine Stammfunktion. Der Unterschied liegt in der Schreibweise und darin, dass man beim Integral noch Grenzen angeben kann. Wie berechnet man eine Fläche? kurzgefasst: Wird eine Fläche von mehreren Funktionen eingeschlossen, muss man sie so aufteilen, dass es mehrere Flächenstücke gibt, die jeweils nur durch eine Funktion oben und eine Funktion unten begrenzt sind. [A.18.02] Fläche zwischen f(x) und x-Achse berechnenBeispiel a. Welche Fläche bildet f(x) mit der x-Achse ? Lösung: Flächen sind immer positiv definiert. Es gibt zum Beispiel keine Flächeninhalte von -5m². Daher kommt der Betrag. Beispiel b. Welche Fläche schließt f(x) = x3–9x mit der x-Achse ein ?? Lösung: Wir haben drei Nullstellen, es gibt also zwei Teilflächen. [A.18.03] Fläche zwischen zwei Funktionen berechnenSo langsam kommen wir zum interessanten Bereich. In Prüfungsaufgaben sind nämlich fast nur Flächen zwischen mehreren Funktionen zu erwarten. Beispiel c.
Lösung: Die erste Winkelhalbierende hat die Gleichung: y=x. [Wichtig!!] Spätestens wenn man wie hier drei Schnittpunkte erhält, weiß man, dass man zwei Teilflächen hat ([selbst wenn man keine Skizze/Zeichnung gemacht hat]. Beispiel d. Die Funktion fa(x)=-2x²+ax+2a schließt mit ga(x)=x²–5ax+2a eine Fläche A(a)
ein. Lösung: [A.18.04] Fläche zwischen drei FunktionenWir sind ja jetzt bereits die absoluten Superintegratoren und wissen, dass man immer obere Funktion minus untere Funktion rechnen muss. Man muss eben diese Fläche derart in zwei Teilflächen aufspalten, dass man in jeder Teilfläche oben nur eine und unten auch nur eine begrenzende Funktion hat. Die Grenzen der Flächen sind die Schnittpunkte von jeweils zwei Funktionen: ( x1=f∩g x2=g∩h x3=f∩h ) Beispiel e. Die Tangente an f(x) = x3–8x2+15x im Punkt B(1|8) schließt mit f(x) und der x-Achse eine Fläche ein. Bestimme den entstehenden Flächeninhalt. Lösung: Die Fläche wird oben durch die Tangente begrenzt. [Soweit kein Problem] Unten: links von der y-Achse wird die Fläche von der x-Achse begrenzt, rechts von der y-Achse ist f(x) die untere Grenze. Es entstehen also zwei Teilflächen. Links von der y-Achse ist die eine, auf der rechten Seite der y-Achse ist die andere Teilfläche. Die Teilfläche links von der y-Achse ist ein Dreieck. Diese Dreiecksfläche haben wir bereits in Beispiel e. berechnet. [A.18.05] Uneigentliche IntegraleDas ist ein uneigentliches Integral. Die Fläche geht entlang der x-Achse ins Unendliche. Das ist auch ein uneigentliches Integral. Die Fläche geht entlang der x-Achse ins Unendliche. Uneigentliches Integral. Beeindruckender Name. Allerdings sind uneigentliche Integrale wie pubertierende Vierzehnjährige.
Sie tun nur so, als ob sie Angst einjagen könnten. In Wirklichkeit steckt nicht viel dahinter. Uneigentliche Integrale sind einfach nur Flächeninhalte, die auf der einen Seite unendlich dünn und lang sind, auf einer Seite also von +∞ oder -∞ begrenzt sind. [A.18.06] Rotationsvolumen von Funktionen um die x-AchseWenn sich eine Funktion um die x-Achse dreht, entsteht normalerweise kein Körper, der einen Namen hat, also kein Zylinder oder Kegel oder so … [(Ausnahmen sind in den nächsten Unterkapiteln beschrieben]. Es entstehen normalerweise nur komische Rotationsgebilde. Mathematiker nennen sie „Rotationskörper“. Für das Volumen des entstehenden Rotationskörper gilt dabei die Formel: a und b sind hierbei die linke und rechte x-Grenzen, wo der Rotationskörper beginnt bzw. endet.
Lösung: [LE³ sind Längeneinheiten hoch 3 (also cm³ oder so). Statt LE³ kann man auch VE (=Volumeneinheiten) schreiben.] Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Formel für das Kugelvolumen. Lösung: Wir gehen bei dieser Aufgabe also so vor: [A.18.07] Mittelwert -- DurchschnittswertDen Mittelwert
(oder Durchschnitt) einer Funktion berechnet man mit der Mittelwertsformel. Beispiel i. Lösung: Beispiel j. Durch T(t) = -0,1t² + 6t wird die Temperatur in einem Backofen beschrieben. Lösung: [A.18.08] Dreiecksfläche Flächeninhalt berechnenBeispiel k. [ umgewandeltes Beispiel e.] Die Tangente an die Funktion f(x) = x3–8x2+15x im Punkt B( 1 | 8 ) schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Wie groß ist sie ? Lösung: Zuerst ableiten: f'(x) = 3x2 – 16x + 15, Möglichkeit 1, über Tangentenformel: Möglichkeit 2, über y = mx+b Die Grundlinie des Dreiecks wird durch den Schnittpunkt Sx der Tangente mit der x-Achse bestimmt, die Höhe durch den Schnittpunkt Sy mit der y-Achse. Also Schnittpunkte ausrechnen. Tangente ∩ x-Achse: Tangente ∩ y-Achse: Nun können wir die Dreiecksfläche berechnen [A.18.09] Zusammengesetzte Funktion Fläche berechnenBeispiel m. f(x) bildet mit der x-Achse eine Fläche. Bestimme ihren Inhalt. Lösung: [A.18.10] Integralfunktion Fläche berechnenEine Integralfunktion ist einfach nur ein stinknormales Integral, in welchem die obere [oder untere] Grenze nicht als Zahl angegeben wird, sondern als Parameter. Nehmen wir als Beispiel die Funktion f(x) = 3x²–6x+5 Wenn ich nun die Fläche bestimmen will, die f(x) mit der x-Achse in den Grenzen von x=1 bis x=5 einschließt, berechne ich: Beispiel n. Sei f(x) = x²+4x+3 gegeben, sowie Bestimme die Nullstellen und Extremstellen von I(x). Lösung: Nullstellen: Zu den Extremstellen von I(x) Beispiel o. [A.18.11] A Gerade dreed sisch um de AksäWenn sich eine Gerade um die x-Achse dreht, vereinfacht sich die Sache deutlich, denn nun entsteht im kompliziertesten Fall ein Kegelstumpf, im Normalfall ein Zylinder oder Kegel. Die Sache ist bei Gerade derart einfach, dass man das Gerät nun auch um die y-Achse drehen könnte, ohne dass die Aufgabe schwieriger wird. Beispiel p. Rotiert die Gerade y=1/2x +2 innerhalb der Grenzen x=-4 und x=3 um die x-Achse, entsteht ein Körper namens Berta. a) Bestimmen Sie Bertas Volumen. Diese Funktion war natürlich sehr einfach. Vor allem bei komplizierteren Funktion geht diese letzte Methode, Möglichkeit 2), meist deutlich schneller, als die erste. Also Merkzettel schreiben und merken! Lösung Diesmal rotiert die Gerade [oder Fläche, falls diese Vorstellung besser ist] um die y-Achse. Man muss das Problem also als Kegelvolumen betrachten [es sei denn, man kennt die etwas kompliziertere Formel der Rotation von Funktionen um die y-Achse]. [LE³ sind Längeneinheiten hoch 3 (also cm³ oder so). Statt LE³ kann man auch VE (=Volumeneinheiten) schreiben.] Wie bestimmt man den orientierten Flächeninhalt?Um einen Flächeninhalt zu berechnen, bestimmt man also zunächst die Integrationsgrenzen und dann die damit zusammenhängenden orientierten Flächeninhalte, deren Beträge man noch addieren muss. Siehe auch: Differentialrechnung, bestimmtes Integral, unbestimmtes Integral, Stammfunktion, Integralfunktion.
Ist das Integral der orientierte Flächeninhalt?Das Integral oder besser gesagt die Integralschreibweise ist nur eine Abkürzung für den orientierten Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse und den Grenzen a und b einschließt.
Wie berechnet man die Fläche eines Graphen?Fläche unter einem Graphen bestimmen. Bestimmt die Nullstelle/n.. Integriert vom Anfangspunkt bis zur Nullstelle.. Dann integriert ihr von der Nullstelle bis zum Endpunkt (außer es gibt mehr Nullstellen, dann integriert ihr bis zur nächsten Nullstelle).. Addiert eure Ergebnisse (aber nur die Beträge, also ohne Minus!).. Was ist der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Flächenbilanz?Man kann sich die zweidimensionale Aufnahme eines Eisbergs vorstellen: von der Fläche oberhalb der Wasseroberfläche wird die – i.d.R. größere – Fläche unterhalb der Wasseroberfläche abgezogen, die Flächenbilanz wäre dann negativ. Würde man hingegen den Flächeninhalt berechnen, würde man beide Flächen addieren.
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