1 nstitut für Eletrische Energiewandlung Energietechni Aufgabensammlung (Quelle: iemens AG & Vattenfall) Ausgabe 08 Prof. Dr.-ng. habil. Dr. h.c. Andreas Binder 2 3 Aufgabensammlung Einleitung / Energietechni Vorwort Liebe tudentin! Lieber tudent! Die vorliegende Aufgabensammlung umfasst den toffumfang der ab dem 07 neu gestalteten Vorlesung "Energietechni". Da die Prüfung schriftlich ist existiert neben den in den Übungen vorgerechneten Beispielen zusätzlich diese Aufgabensammlung mit ausgearbeiteten Beispielen. Hier finden ie auch Kontrollfragen zur elbstontrolle ob ie den Lehrinhalt verstanden haben. Der toff der Vorlesung ist so gegliedert dass an die bereits in den Vorlesungen Physi und "Grundlagen der Eletrotechni" gebrachten nhalte angenüpft werden ann. elevante Literatur zu diesen Vorenntnissen finden ie nachstehend aufgelistet ebenso begleitende einführende Literatur zu den unterschiedlichen Disziplinen der Energietechni. ollten ie Fragen Wünsche oder Anregungen haben wenden ie sich bitte an meine Assistenten oder diret an mich. ch wünsche weiterhin guten Erfolg bei hrem tudium und gutes Gelingen bei der Prüfung zur Vorlesung "Energietechni". Prof. Dr.-ng. habil. Dr. h. c. Andreas Binder Darmstadt im März 07 4 Aufgabensammlung Einleitung / Energietechni nhaltsverzeichnis zuraufgabensammlung Energietechni Kontrollfragen für die Vorbereitung auf die Prüfung G Grundlagen essourcen B Bedarf P Prozesse T Transformatoren und Generatoren V Eletrische Energieversorgung peicher Aufgaben Kapitel G: Grundlagen (8) G onnen-erd-anziehungsraft inetische Energie der Erde G Eletrostatische Kraft gespeicherte eletrische Energie G Eletrischer tromfluss Verlustleistung G4 Brunnenpumpe G5 Energiestrom der onne G Durchlauferhitzer versus Heißwasserspeicher G7 Menschliche Leistung am Heimtrainer G8 Menschliche Leistungsfähigeit G9 Energieumsatz im menschlichen Körper G0 Potentielle und inetische Energie G Energieverbrauch beim Autofahren G trömende Flüssigeit G Wasserstoffgas G4 Erwärmung unterschiedlicher toffe G5 Wasserocher G Badeofen G7 chornstein G8 Mechanische Arbeit und Leistung G9 adfahrer G0 Golfstrom G Thermisch-energetische Betrachtung des Menschen G Entladung einer Gewitterfront G Energienutzung - Bügeleisen G4 Wassererwärmung mit Durchlauferhitzung G5 tromleitung im el. Leiter und solator G tromverdrängung G7 onnenstrahlung Poynting-Vetor G8 Kochplatte Aufgaben Kapitel : essourcen und Energieströme (0) Windpar Gezeitenturbine Dieselraftstoff 4 Eletrofähre 5 Braunohleraftwer Aufwindraftwer 5 Aufgabensammlung Einleitung / Energietechni Thermisches Parabolrinnen-Kraftwer olarthermie Abgas-Wärmenutzung E-Mobility versus Biosprit Aufgaben Kapitel B: Bedarf und Wachstum () B Bevölerungswachstum B Wachstum des Weltenergiebedarfs B Bevölerungszuwachs Aufgaben Kapitel P: Prozesse (0) P Wasserraftwer P Mischung zweier unterschiedlich warmer Flüssigeiten P Wärmetransport P4 Erwärmung durch Verlustleistung P5 Abwärme in einem thermischen Kraftwer P Braunohleraftwer P7 Pelton-Turbine P8 avonius-läufer P9 Härteprozess P0 Kühlschran P Wärmepumpe P Wärmepumpe P tirling-maschine P4 Wärmepumpe P5 Kolbenverdichter P Glühofen P7 Boiler P8 aumlimatisierung P9 aumheizung P0 Kraftwersarten Aufgaben Kapitel T: Transformatoren und Generatoren () T Magnetischer Eisenreis Ampère scher Durchflutungssatz T Faraday sches ndutionsgesetz uhindution T Faraday sches ndutionsgesetz Bewegungsindution T4 Einfacher eletromechanischer Energiewandler T5 Drehstromsystem T Einphasentransformator ndutivitäten T7 Einphasentransformator pannungen tröme T8 Drehstromtransformator chaltgruppe tundenziffer T9 Drehstromtransformator pannungsfall bei unterschiedlicher Last T0 Einphasiger Trenntransformator T Einphasiger Verteiltransformator T Einphasen-Transformator einer Drehstromban T Verlustarmer Einphasen-Transformator T4 Drehstromtransformator für einen ndustrieofen T5 Parallelschaltung zweier Drehstromtransformatoren 6 Aufgabensammlung Einleitung / 4 Energietechni T T7 T8 T9 T0 T T T T4 T5 T T7 T8 T9 T0 T T Ortsnetztransformator 0Hz-Drehstromtransformator 0Hz-Drehstromtransformator in einem mspannwer 50Hz- Drehstrom-Verteiltransformator 50Hz- Drehstrom-mspann-Transformator Auslegungsparameter eines Drehstromtransformators Prüffeldmessungen bei einem Drehstromtransformator Turbogenerator Betriebsdaten Turbogenerator Zeigerdiagramm Kippmoment Blindleistungsompensation in einem ndustriebetrieb ynchrongenerator in einem peicherraftwer ynchrongenerator in einem Pumpspeicherraftwer Parallel arbeitende ynchrongeneratoren ynchrongenerator und Bloctransformator Einphasen-Transformator-Massen Einphasen-Transformator-Dimensionierung Einphasen-Mantel-Transformator Aufgaben Kapitel V: Eletrische Energieversorgung (9) V nsymmetrische Last ternschaltung V nsymmetrischer Verbraucher Dreiecschaltung V nsymmetrischer Verbraucher ternschaltung V4 Heizlüfter V5 Fabri V ndustriebetrieb V7 Freileitungsschaden V8 Freileitung V9 Wasserraftwer und Freileitung V0 Planung einer Freileitung V Magnetfeld einer Freileitung V Freileitung V Drehstrom-Kabel V4 Fehlerstrom-chutzschalter V5 Verbrauchernetz V Berührungsschutz V7 Berührungsschutz V8 Berührungsschutz V9 Berührungsschutz 4 Aufgaben Kapitel : peicher (7) Magnetspule als Energiespeicher chwungmassenspeicher Energiespeicher 4 Kinetische Energie einer rotierenden Masse 5 Magnetostatischer Energiespeicher Bleibatterie 7 Energiespeicherung 7 Aufgabensammlung Einleitung / 5 Energietechni Grundlegende und weiterführende Literatur ch chreiner J.: Physi und Hölder-Pichler-Tempsy Wien 98 und 97 Ger Gerthsen Ch.; (Meschede D.): Gerthsen Physi 4. Aufl.; pringer Heidelberg 0 Dir Dirschmid H.-J.: Mathematische Grundlagen der Eletrotechni 4. Aufl.; Vieweg Braunschweig Wiesbaden 990 Dirs Dirschmid H.-J.: Mathematische Grundlagen der Eletrotechni - Begleitband: Lösungen u. Hinweise 4. Aufl.; Vieweg Braunschweig Wiesbaden 99 Are Arens T. u. a.: Mathemati. Aufl.; petrum Aad. Verlag Heidelberg 0 Pre Prechtl A.: Vorlesungen über die Grundlagen der Eletrotechni pringer-verlag Wien Band :. Aufl. 005 Band :. Aufl. 007 Cla Clausert H.; Wiesemann G.; tenzel J.; Hinrichsen V.: Grundgebiete der Eletrotechni Bände und Oldenbourg-Verlag München. Aufl. 0 Alb Albach M.: Grundlagen der Eletrotechni + Pearson tudium München 004 Qua Quaschning V.: egenerative Energiesysteme Hanser-Verlag München 9. Aufl. 05 um ummich E.: ichtonventionelle Energienutzung. Auflage pringer Wien 978 Gro Grote K.-H.; Feldhusen J. (Hsg.): Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau.): 4. Aufl.; pringer- Vieweg Heidelberg 04 Boh Bohn T. (Hsg.): Eletrische Energietechni Handbuchreihe Energie 4. Bd. Verlag TÜV heinland 987 Fis Fischer.: Eletrische Maschinen. Auflage Hanser-Verlag München 004 [te] terner M.; tadler.: Energiespeicher Bedarf Technologien ntegration pringer-verlag Berlin Heidelberg 04 [Dub] Grote K..-H.; Feldhusen J.: Taschenbuch für den Maschinenbau. Aufl.; pringer-verlag 007 [Qua] Quaschning V.: egenerative Energiesysteme Technologie Berechnung imulation 9. Aufl.; Hanser-Verlag München 05 [BG] Bundesanstalt für Geowissenschaften und ohstoffe (BG) Energiestudie 05 Hannover 05 [Kal] Kaltschmitt M. treicher W. Wiese A. (Hrsg): Erneuerbare Energien ystemtechni Wirtschaftlicheit mweltaspete 4. 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A) Q VAr Blindleistung ( VAr = VA reativ) Q - utenzahl eletrischer Widerstand ( = Ohm = V/A) s m Weglänge VA cheinleistung t s Zeit T s chwingungsperiodendauer T K absolute Temperatur V eletrische pannung p V Polradspannung ü - Übersetzungsverhältnis v m/s Geschwindigeit W J Energie x m Koordinate X X d eatanz synchrone eatanz y m Koordinate z m Koordinate rad Zündwinel rad Drehwinel g/m Massendichte m Luftspalt As/(Vm) Dieletrizitätsonstante rad Phasenwinel Wb magnetischer Fluss ( Wb = Weber = Vs) Vs magnetische Flussverettung Vs/A magnetischer Leitwert Vs/(Am) magnetische Permeabilität 0 Vs/(Am) magnetische Permeabilität des Vauums ( Vs/(Am)) - Wirungsgrad rad Polradwinel (eletrische Gradezählung) A eletrische Durchflutung 10 Aufgabensammlung Einleitung / 8 Energietechni /m eletrische Leitfähigeit ( = iemens = A/V) - treuziffer p Q m Polteilung utteilung /s eletrische Kreisfrequenz m /s mechanische Winelgeschwindigeit ndizes av Mittelwert b Blindomponente c pule Cu Kupfer d direct (längs) dc (Gleichgröße) Verluste (dissipation) e eletrisch Fe Eisen G Gate h Haupthys Hysterese i induziert bzw. innere in zugeführt Kurzschluss- LL verettet (line-to-line) m Magnetisierungs- magnetisch bzw. mechanisch bzw. maximal max maximal ennout abgegeben p Pol bzw. Polrad syn ynchron VW Bezeichnung der Wiclungsstränge im Dreiphasen-ystem w Wiromponente Luftspalt treu- 0 Leerlauf primär seundär (beim Transformator) otationen i Kleinbuchstabe: z. B.: eletrische tromstäre Augenblicswert Großbuchstabe: z. B.: eletrische tromstäre Effetivwert oder Gleichstrom-Wert unterstrichen: omplexe Größen Î pitzenwert Amplitude auf tänderwiclungsdaten mit ü umgerechnet e(.) ealteil von... m(.) maginärteil von... Wichtige aturonstante c 0 = m/s e = As g = m/s G = m /(g. s ) h = Js = J/K L =.0. 0 /mol m e = g Vauumlichtgeschwindigeit eletrische Elementarladung ormwert der Fallbeschleunigung Gravitationsonstante Planc sches Wirungsquantum Boltzmann sche Konstante Loschmidt sche Konstante uhemasse des Eletrons 11 Aufgabensammlung Einleitung / 9 Energietechni m n = g uhemasse des eutrons m p = g uhemasse des Protons = J/(mol. K) universelle Gasonstante 0 = As/(Vm) 0 = Vs/(Am) = J/(m K 4 s) eletrische Feldonstante (Dieletrizitätszahl des leeren aums) magnetische Feldonstante (Permeabilität des leeren aums) Konstante des tefan-boltzmann-trahlungsgesetz 12 Aufgabensammlung Einleitung / 0 Energietechni Kontrollfragen für die Vorbereitung auf die Prüfung (8) G Grundlagen (4) - Definieren ie den Begriff Energie! Wie äußert sich ihre Arbeitsfähigeit? Wie lässt sie sich in Bezug auf ein geschlossenes ystem charaterisieren? - Erläutern ie die Begriffe Primärenergie eundärenergie Endenergie utzenergie und graue Energie und geben ie je ein Beispiel an! - ennen ie vier Energieformen und erläutern ie diese mit einigen tichpunten! - Was ist der nterschied zwischen der Lorentz- und der Coulomb-Kraft? Geben ie die physialischen Formeln an. Welche Kraft ist in technischen Anwendungen in der egel vernachlässigbar und warum? - Erläutern ie den Energieerhaltungssatz! Wenden ie ihn beispielhaft auf die Beziehung zwischen potentieller und der inetischer Energie an? Geben ie auch die Formeln dieser Energieformen an! - Was besagt der mpulserhaltungssatz? Leiten ie die Formeln für die Trägheitsraft und das Trägheitsdrehmoment her! - Erläutern ie die beiden stationären trömungsformen in Flüssigeiten! Arbeiten ie mit izzen! Durch welche Zahl werden ie charaterisiert? - Leiten ie die Formel für die im eletrischen Feld einer Kondensatoranordnung gespeicherte eletrische Energie her! - tellen ie die eletrostatische der magnetostatischen Energie gegenüber indem ie die Formeln angeben und die Energiedichte eingehen! Warum wird eletrische Energiewandlung zumeist auf der Basis magnetischer Felder durchgeführt? Geben ie die Einheiten bzw. Werte für Flussdichte Feldstäre Polarisation Feldonstante und Geometriefator an! - Erläutern ie das Planc sche trahlungsgesetz! Was versteht man in diesem Zusammenhang unter Quanten und was unter einem schwarzen trahler? - Erläutern ie das tefan-boltzmann sche trahlungsgesetz und vergleichen ie es mit dem Kirchhoff schen trahlungsgesetz! - Erläutern ie die Begriffe thermische Energie und innere Energie und stellen ie sie einander gegenüber! - Erlären ie den nterschied zwischen einem realen und einem idealen Gas! Arbeiten ie mit izzen um die töße zwischen Gasteilchen zu beschreiben! - Wie lautet die thermische Zustandsgleichung eines idealen Gases? Bezeichnen ie die einzelnen Formelbestandteile! Wie werden die drei Zustandsänderungen genannt wenn eine Zustandsgröße onstant bleibt? Zeichnen ie die zugehörigen Trajetorien! - Geben ie den ersten Hauptsatz der Wärmelehre wieder! Gehen ie auf den Energiegehalt des idealen Gases ein! Wie unterscheidet er sich von dem des realen Gases? - Was besagt der zweite Hauptsatz der Wärmelehre? Welche Einschränung gilt? Wie groß ist die Entropieänderung wenn der durch den Hauptsatz beschriebene Vorgang abgeschlossen ist? - Was besagt die Heisenberg sche nschärferelation? Was ist die De Broglie-Wellenlänge und in welchem Zusammenhang steht sie mit der Geschwindigeit eines Teilchens? Arbeiten ie mit Formeln! - Erläutern ie das Atommodell von utheroford! Was ist daran der Hauptritipunt? Was ist der nterschied zum Bohr schen Atommodell? - Was besagt die Elementarstromtheorie nach A. M. Ampère? Was ist der nterschied zwischen dem s-orbital und den höherwertigen Orbitalen in Bezug auf ihren Drehimpuls? Welche Werte ann der Drehimpulsbetrag annehmen? 13 Aufgabensammlung Einleitung / Energietechni - Erläutern ie drei chemische Bindungsformen! Bei welchen toffen treten die Bindungsformen bevorzugt auf? - Was versteht man unter adioativität? Welche Zerfallsarten ennen ie? Erläutern ie diese jeweils mit tichpunten! - Erläutern ie die Energie-Masse-Erhaltung bei Kernumwandlungsprozessen und geben ie die Einstein sche Formel wieder! Was versteht man in diesem Zusammenhang unter einem Massendefet? - Beschreiben ie qualitativ den Ablauf der Kernspaltung von ran 5! Wie wird daraus Energie nutzbar gemacht und wie verhält sich die Energiemenge im Vergleich zur Verbrennung von Kohlenstoff? - Erlären ie den nterschied zwischen der friedlichen Kernraftnutzung und der Atomexplosion! - Welcher egel folgt die Temperaturabhängigeit eines eletrischen Widerstandes? Geben ie die Formel desselben an und erläutern ie deren Bestandteile! - Was besagt der Ampere sche Durchflutungssatz? Arbeiten ie mit Formeln und izzen. - Welche beiden Möglicheiten gibt es magnetische Felder zu erzeugen? ennen ie jeweils zwei Vor- und achteile! - Welche beiden Formen der ndution gibt es? Erläutern ie diese und geben ie die Formeln an! Welche Form tritt hauptsächlich bei Maschinen welche bei Transformatoren auf? - Erlären ie die Lorentzraft anhand von izzen und Formeln. n welchem Zusammenhang steht sie zum Maxwell schen Zug? - Erläutern ie die Begriffe elbst- und Gegenindutivität anhand von Formeln und izzen! - Erlären ie die Bestandteile der mmagnetisierungsverluste! Von welchen Größen hängen ie in ihrer Höhe ab? - Was versteht man unter einem Effetivwert? Geben ie die Formeln an. Was ergibt sich für den onderfall der sinusförmig veränderlichen Größen? - Erläutern ie das Verbraucher- und das Erzeuger-Zählpfeilsystem! - Erläutern ie die Leistungsanpassung anhand einer Gleichstromquelle und einem ohm schen Verbraucher anhand von izzen und Formeln? Welche Leistungsanpassung wird in der Energietechni im Vergleich zur achrichtentechni angestrebt? essourcen (8) - Was versteht man unter essourcen und eserven? Welcher Trend lässt sich im Laufe der Zeit erennen? - Geben ie das trahlungsspetrum der onne wieder! Beschriften ie die Achsen und teilen ie die Bereiche in ultraviolette sichtbare und infrarote Wellenlänge ein! Welchem idealisierten Modell ommt das trahlungsspetrum nahe? - Welche beiden Einflüsse reduzieren die onneneinstrahlung auf der Erde? Erläutern ie diese urz! Was versteht man in diesem Zusammenhang unter dem Air Mass-Fator (AM)? - Erlären ie die Bestandteile der Wirungsgradette bei Wasserraftweren! - Charaterisieren ie iederdruc- Mitteldruc- und Hochdrucraftwere in Bezug auf ihre Fallhöhe ihr Einsatzgebiet und ihre utzungsziele! - Welche drei Arten von Wasserraftweren unterscheidet man prinzipiell? Was sind jeweils typische Drehzahlen und welche Turbinen werden eingesetzt? Welche Art der ynchronmaschine eignet sich hier gut? - Erläutern ie das Zustandeommen globaler Windsysteme! Wie werden diese Winde loal beeinflusst? 14 Aufgabensammlung Einleitung / Energietechni - Was besagt die Betz sche Formel über das optimale Verhältnis der Windgeschwindigeiten vor und hinter dem otor und über den optimalen Leistungsbeiwert? Geben ie die Formel an! - Wie berechnet sich die Leistung einer Windraftturbine (Formel und Bezeichnung der Formelgrößen)? Was ist der ideale Leistungsbeiwert und was versteht man unter der chnelllaufzahl? - Erlären ie qualitativ wie Gezeiten auf der Erde zustande ommen! Welche Kräfte sind beteiligt? Arbeiten ie mit einer izze! Wie lässt sich der Flutberg abschätzen und ist dieser abhängig von der Mondphase? - Erlären ie das Prinzip eines Gezeitenraftweres mit einer izze! Welche Energieformen sind beteiligt und in welcher Wandlungsreihenfolge? Kann der Tidenhub loal die theoretisch erreichbare Höhe des Flutberges übersteigen? - Welche drei utzungsprinzipien der Wellenenergie gibt es? Erläutern ie diese urz! - Charaterisieren ie den Begriff Erdöl hinsichtlich seiner der Entstehung und des Vorommens! Wie grenzt er sich chemisch zu Erdgas ab? Geben ie den chemischen Aufbau an! ennen ie drei Produte die bei der frationierten Destillation entstehen und ordnen ie diese nach ihrer Moleülmasse! - Wie unterscheiden sich Heiz- und Brennwert? - tellen ie zusammen zu welchen Anteilen die Primärenergieträger Erdöl Erdgas teinohle Braunohle und Kernenergie zum Gesamtenergieverbrauch in Deutschland 0 beigetragen haben! Genauigeit der Angaben: +/- % - Grenzen ie teinohle von der Brauohle hinsichtlich folgender Gesichtspunte ab: Kohlenstoffanteil Heizwert Entstehung - Geben ie die typischen Ausgangsstoffe und paltprodute einer ontrollierten Kettenreation bei der Kernspaltung an! Was haben die paltprodute gemeinsam? Wie groß ist die gewonnene Energie ungefähr je paltung? - Wie viel Energie wird bei der Kernfusion im Vergleich zur Kernspaltung frei? Welche sind die relevanten Brennstoffe? Was erschwert den großtechnischen Einsatz und wann ist eine wirtschaftliche utzung zu erwarten? - ennen und erläutern ie stichpuntartig drei geothermische Vorommen! Welches ist das für die tromerzeugung bedeutendste Verfahren der utzbarmachung von Erwärme? B Bedarf () - Geben ie die Differentialgleichungen für das exponentielle und das logistische Wachstum einer Population an und bezeichnen ie die einzelnen Elemente der Gleichungen (z.b. x 0 : Anfangswert)! izzieren ie die Graphen der beiden Verläufe über der Zeit qualitativ und gehen ie darauf ein zu welchen Zeiten sich die Wachstumsurven stärer oder schwächer unterscheiden! - Gemäß den in der Vorlesung verwendeten Quellen: Wie viele Menschen werden 05 auf der Erde leben? Wie verändert sich das weltweite BP bis 05? Wer sind die Treiber des BP-Anstiegs? Was bedeutet dies für die Entwiclung des Primärenergieverbrauchs und für die tromerzeugung? - Wie lässt sich die Auseinandersetzung mit der Energietechni im Kontext der wachsenden Weltbevölerung motivieren und welchen Problemstellungen sieht sich die Energietechni gegenüber? 15 Aufgabensammlung Einleitung / Energietechni P Prozesse (8) - Definieren ie drei der folgenden vier Begriffe: Gesamterntefator Erntefator Engpassleistung Ausnutzungsdauer - Was versteht man unter der spezifischen Wärmeapazität? Geben ie auch die Formeln für die beiden andbedingungen (onstantes Volumen bzw. onstanter Druc) an! Wovon hängt sie ab und welche Ausnahme gibt es? - Geben ie das Zustandsdiagramm des Wassers im p(t)-diagramm an und maieren ie die Aggregatszustände! Auf welcher Kurve liegt der gesättigte Dampf? Was versteht man in diesem Zusammenhang unter dem ritischen Punt? - Differenzieren ie zwischen Wärmeleitung und Wärmeonvetion hinsichtlich der beteiligten Medien! Verwenden ie Formeln! Grenzen ie die beiden Wärmeübergangsarten zur Wärmestrahlung ab! - Was versteht man unter einem thermischen Kreisprozess? Erläutern ie anhand des tirling Motors! n welchem Verhältnis stehen die Zustandsgrößen vor und nach dem Durchlauf des Kreisprozesses? - Welche drei Formen von Wärmeraftmaschinen gibt es? Erläutern ie deren Grundprinzipien! - Leiten ie die Formel für den Carnot-Wirungsgrad aus den Hauptsätzen der Thermodynami her! Welche Grenze gibt der Carnot-Wirungsgrad an und wovon hängt seine Höhe ab? - izzieren ie den tirling-kreisprozess im p(v)-diagramm und beschriften ie die Veränderung der Zustandsgrößen mit den Fachbegriffen! - Geben ie einen Überblic über die gebräuchlichen Turbinentypen! Welche drei Wirprinzipien liegen zugrunde? Gehen ie dabei auf das trömungsmedium die trömungsrichtung und die Turbinenarten ein! - Welche beiden Wirprinzipien werden bei Turbinen unterschieden? Erläutern ie diese zeigen ie die beiden nutzbaren Kräfte anhand von trömungsprofilen! - Was besagt die Euler sche Turbinengleichung? Geben ie die Formel an und arbeiten ie mit einer izze! - Was versteht man unter der spezifischen Drehzahl einer Turbine? Geben ie die Formel an! - Charaterisieren ie die Kaplan- die Francis- und die Pelton-Turbine nach folgenden Gesichtspunten: Wasserdruc Volumenstrom spezifische Drehzahl typische Leistung typischer Wirungsgrad. Eignet sich die Pelton-Turbine für ein Pumpspeicherraftwer? - Wie verhält sich der Volumenstrom und das Drehmoment mit steigender Drehzahl für die Kaplan- die Francis- und die Pelton-Turbine? Geben ie die Diagramme qualitativ an! - Welche Bauformen von Windraftrubinen unterscheidet man? ennen ie diese stichpuntartig oder schematisch! Gehen ie dabei insbesondere darauf ein welches Wirprinzip genutzt wird um welche Achse sich der otor dreht und was sich über die mfangsgeschwindigeit sagen lässt! - ennen ie drei Vorteile von Windturbinen mit vertialer Achse! - Was versteht man unter tall- und Pitch-Betrieb? Vergleichen ie die beiden Arten in einem Diagramm in dem ie die Leistungsausbeute in Abhängigeit von der Drehzahl darstellen! - izzieren ie in einem Diagramm (Eletrische Ausgangsleistung in % über Windgeschwindigeit in m/s) die Ertragsrechnung einer Windraftturbine d.h. die gewonnene Ausgangsleistung unter Einfluss der sechs wichtigsten Einschränungen (wie z.b. erreichbarer Leistungsbeiwert oder Abschaltung bei tarwind)! - Beschreiben ie die einzelnen chritte des Clausius-anine-Vergleichsprozesses! utzen ie dazu auch das p(v)- und das T()-Diagramm! 16 Aufgabensammlung Einleitung / 4 Energietechni - tellen ie den Zusammenhang der allgemeinen Komponenten eines mit Dampfturbine betriebenen Kraftwers schematisch dar! - Warum benötigt eine Dampfturbine mehrere chaufelstufen? Zeigen ie anhand einer izze eines Turbinenquerschnitts wo die chaufeln angebracht sind und wie sich der Dampfdruc beim Durchströmen der Turbine verändert! - izzieren ie die Geschwindigeitsvetoren je chaufelstufe und geben ie die Formel für die Energiebilanz je chaufelstufe an! Erlären ie die in der Formel vorommenden Größen? - Was versteht man unter einem Lastabwurf bei Dampfturbinen? Geben ie einen repräsentativen Verlauf der Turbinendrehzahl über der Zeit an wenn der Überdrehzahlschutz anspricht! Welche Fliehraft resultiert aus einer um 0% erhöhten Drehzahl? - Erläutern ie den Joule-Prozess d.h. das Wirungsprinzip einer Gasturbine! Wie hoch ist der Wirungsgrad typischerweise und wodurch ist er begrenzt? Wie ann die Abwärme weiter genutzt werden und welcher Kraftwerstyp resultiert daraus? - ach welchem Kreisprozess arbeitet eine Gasturbine? Beschreiben ie die Zustandsänderungen und geben ie das p(v)-diagramm an! - Wie unterscheidet man zwischen Leitern Halbleitern und solatoren im Hinblic auf die Energieniveaus des Leitungsbands im Vergleich zum Valenzband! Was geschieht in diesem Zusammenhang beim inneren Photoeffet? - Erläutern ie die Funtionsweise einer olarzelle qualitativ! Gehen ie dabei auf folgende Begriffe ein: Dotierung pn-übergang aumladungszone Diffusionsspannung Leitungsund Valenzband - Welche Wirungsgrade lassen sich mit olarzellen heutzutage ca. erreichen und durch was wird der Wirungsgrad begrenzt? Welche pannung erreicht man mit einer olarzelle und wie werden höhere pannungen realisiert? T Transformatoren und Generatoren () Wie ist eine ynchronmaschine aufgebaut (nterschied zwischen chenelpol- und Vollpolbauweise)? - Wo und wie werden ynchronmaschinen eingesetzt? - Wie funtioniert die ynchronmaschine prinzipiell? izzieren ie das Ersatzschaltbild! - Warum ippt die ynchronmaschine bei Betrieb am starren etz? Was ist in diesem Zusammenhang der Polradwinel? - izzieren ie das Zeigerdiagramm der Vollpolmaschine und erläutern ie die im Zeigerdiagramm auftretenden Zeiger und Winel! - Was versteht man unter über - und untererregtem Betrieb? - izzieren ie die M()-Kennlinie der ynchron-vollpolmaschine für Generator- und Motorbetrieb! Für welche Winel ist stabiler Betrieb möglich? - Wie hängt das Drehmoment M von der Polraderregung f bzw. p ab? - Erlären ie den Begriff der Polradspannung p! Wann ist sie an den Klemmen der Maschine messbar? - Wozu werden Transformatoren benötigt? ennen ie Einsatzfelder von Transformatoren! - Wie entsteht aus Einphasen-Transformatoren die Bauform des Dreischenel-Drehstrom- Transformators? - Worin unterscheiden sich Drei- und Fünfschenel-Transformator und warum? - Wie funtioniert der Transformator prinzipiell? - Wie lauten die Grundgleichungen des Einphasentransformators? 17 Aufgabensammlung Einleitung / 5 Energietechni - Erläutern ie die Begriffe elbstindutivität Gegenindutivität Hauptindutivität treuindutivität! Wie ist der Zusammenhang zwischen den einzelnen Begriffen? - Was ist die treuziffer? - Wie ist das Übersetzungsverhältnis definiert? - ennen ie die Eigenschaften des idealen Transformators! - Was versteht man unter Magnetisierungsstrom und Durchflutungsausgleich? - Zeichnen ie das Ersatzschaltbild des Transformators und erläutern ie dessen Parameter! - Zeichnen ie das pannungs- und trom-zeigerdiagramm des Transformators im ennbetrieb! - Erläutern ie anhand des Transformator-Kurzschlusses das Kapp sche Dreiec! - Warum ennzeichnet die bezogene Kurzschlussspannung wesentliche Betriebseigenschaften des Transformators? - Welche Verluste treten im Transformator auf? - Erläutern ie den Begriff der tundenziffer! - Welche Drehstrom-Transformatorschaltung muss bei seundär einphasiger Belastung vermieden werden und warum? V Eletrische Energieversorgung () - Definieren ie die Begriffe: Bruttostromerzeugung ettostromerzeugung Bruttostromverbrauch ettostromverbrauch - Welche pannungsebenen sind im Übertragungsnetz und im Verteilnetz in Deutschland gängig? - Was versteht man unter einem Verbundnetz? Was sind seine Vorteile? Welche vier etzbetreiber gibt es zurzeit in Deutschland? - Geben ie das Ersatzschaltbild einer Elementarzelle eines urzen Leitungsabschnittes an und leiten ie daraus die Telegraphengleichungen ab! - Geben ie die Formel für die Wanderwellengeschwindigeit und den Wellenwiderstand an! Was versteht man unter einer Leitungsinhomogenität? - Was sagt der Phasenoeffizient β aus (Formel)? n welchem Verhältnis steht er zur Wellenlänge und wie beeinflusst er die maximal realisierbare Leitungslänge? - Erlären ie den Begriff natürliche Leistung und geben ie in bezogenen Größen in einem Diagramm die Verläufe der pannungswerte an der telle z der Leitung für die Belastung mit natürlicher Leistung Leerlauf und Kurzschluss an! - Was ist der nterschied zwischen einem Tragmast und einem Abspannmast? Aus welchen Gründen führt jede Freileitung ein Erdseil? - Erläutern ie die drei Hauptverlustgruppen bei der Übertragung von eletrischer Energie mit Freileitungen! - Erläutern ie den Begriff Verlustfator im Zusammenhang mit der solation von Erdabeln (Formel?)! Was versteht man unter Lecstrom? - ennen ie die Hauptbestandteile eines einphasigen Hochspannungserdabels! izzieren ie diese im Querschnitt! - Geben ie die apazitiven Ersatzschaltbilder von Gürtelabel Dreimantelabel und Einleiterabel an! - Geben ie qualitativ den Blindleistungsbedarf in Abhängigeit von der Kabelbelastung an! Wo verhält sich die Leitung apazitiv bzw. indutiv? n welchem Bereich werden Freileitungen und Kabel betrieben und warum? - Geben ie die fünf icherheitsregeln beim Arbeiten mit eletrischen Anlagen an! - Was versteht man unter Berührspannung und Berührstrom? Bis zu welchem tromwert wird i.d.. eine gefährdende eation im menschlichen Körper ausgelöst? 18 Aufgabensammlung Einleitung / Energietechni - etzformen Kennzeichnung: Erläutern ie die omenlatur des ersten zweiten und dritten Buchstabens! peicher () - Erläutern ie warum die Wichtigeit effizienter peichermethoden mit hoher Kapazität in Deutschland in den letzten Jahren zugenommen hat! - n welche fünf Gruppen lassen sich die für die eletrische Energieversorgung eingesetzten peichertechnologien nach physialischer Methodi einteilen? Geben ie zu jeder Gruppe ein Beispiel an und beurteilen ie ob es sich durch hohe peicherleistung oder hohe peicherenergie auszeichnet! - Ordnen ie folgende peichertechnologien in einem agone-diagramm (Leistung: Ordinate Energie: Abszisse) qualitativ ein: Pumpspeicherraftwere chwungradspeicher Li-onen-Batterien Bleibatterien upercaps ME. - Erlären ie das Wirprinzips eines Pumpspeicherraftwers mithilfe einer izze! Wie verhält sich der Zylenwirungsgrad im Vergleich mit anderen mechanischen peichermethoden? - Geben ie die Formel für die Energie an! ennen ie drei Vorteile und einen achteil eines chwungrades! - Auf welchen zwei physialisch modellhaften Kapazitäten beruht die Kapazität eines uperondensators? Arbeiten ie mit izzen! - Erläutern ie das Prinzip wie man mit einer supraleitenden pule hohe Energiedichten bei moderaten Verlusten erzeugen ann! ennen ie typische tröme und Flussdichten! - Erläutern ie das Funtionsprinzip einer galvanischen Zelle mithilfe einer izze und nennen ie mindestens drei gängige Batterietypen! - Ordnen ie folgende Batterietypen in einem agone-diagramm (gravimetrische Leistungsdichte: Ordinate gravimetrische Energiedichte: Abszisse) qualitativ ein: Bleibatterien icd-batterien Li-onen-Batterien. ennen ie mindestens drei weitere Kriterien zur Bewertung von Batterietechnologien. - Erläutern ie die chemischen Abläufe in einer Bleibatterie mithilfe einer izze und chemischen eationsgleichungen! Warum fallen die theoretisch erzielbare Energiedichte und die pratisch erzielbare Energiedichte weit auseinander? - Erläutern ie die chemischen Abläufe in einer Li-onen-Batterie mithilfe einer izze und chemischen eationsgleichungen! Welche Ativmaterialien werden üblicherweise eingesetzt? - Zeichnen ie das vereinfachte Ersatzschaltbild einer Batterie im Verbraucher- Zählpfeilsystem! Was versteht man unter der Entladerate (Einheit Formel)? - Welche drei toffe werden zur stofflichen Energiespeicherung überwiegend eingesetzt? Welche Problemstellungen ergeben sich bei der Verwendung von Wasserstoff? 19 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni Aufgabe G: onnen-erd-anziehungsraft inetische Energie der Erde 4 Die Erde ( me g ) ist im Mittel L = m von der onne entfernt. Die Masse der onne ist m = g. ) Mit welcher Gravitationsraft F ziehen sich onne und Erde gegenseitig an? ) Mit welcher Geschwindigeit v (in m/s und m/h) muss sich der Erde auf (näherungsweise) einer Kreisbahn bewegen damit die Fliehraft F F der onnenanziehungsraft das Gleichgewicht hält? ) Überprüfen ie ) anhand der Tatsache dass die Erdbewegung um die onne im Mittel 5.5 Tage dauert! 4) Wie groß ist die inetische Energie der Erde auf ihrer Bahn um die onne? 5) Wie groß ist im Vergleich dazu die inetische Energie der Erde auf Grund ihrer otation um die eigene Achse während eines Tages? Die Erde wird dazu näherungsweise als starre Kugel angenommen (Erdradius 50 m). Aufgabe G (Lösung): onnen-erd-anziehungsraft inetische Energie der Erde ) G.7 0 F.7 0 ) F F m E v 4 m /(g s ) ( ) / L F v 0 F L / m E /( ).97 0 v m/h ) a s 4 v L / a /( ) 9805m/s.97 0 m/s 4) 4 4 W me v / (.97 0 ) /.7 0 J 5) Trägheitsmoment einer starren Kugel (adius Masse m) mit homogener Masseverteilung um ihre durch den Mittelpunt gehende Achse: J m. 5 4 J E me E (.50 ) g m 5 5 E n E 7.70 / s W J / (7.70 ) / J J rot E E 8-4 rot / W 5.50 / W 0 Die inetische otationsenergie der Erde um ihre eigene Achse ist gegenüber ihrer otationsenergie um die onne vernachlässigbar lein. 4 m/s 20 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni Aufgabe G: Eletrostatische Kraft gespeicherte eletrische Energie Ein metallischer eletrischer Leiter als Kupferrunddraht hat den Drahtdurchmesser d Cu =. mm und die Länge l Cu = 0 mm (Dichte Cu = 8900 g/m ). ) Welches Volumen V Cu hat das Drahtstüc? Wie schwer ist es? Wie viele Kupferatome 5 enthält es (Kupferatommasse m A Cu.050 g )? Wie groß ist die zugehörige toffmenge? ) Kupfer ristallisiert ubisch flächenzentriert d.h. die Elementarzelle eines Kupferristalls ist ein (gedachter) Würfel mit der Kantenlänge a Cu in dessen 8 Ecen je ein Kupferatom angeordnet ist und ebenso in den Mitten der sechs eitenflächen. Wie viele Kupferatome sind je Elementarzelle vorhanden? Wie groß ist a Cu? ) m Mittel gibt jedes Kupferatom ein (schwach gebundenes) Eletron aus der Atomhülle ab. Diese freien Leitungseletronen bewegen sich bei 0 C ungeordnet mit der mittleren thermischen Geschwindigeit v th.0 m/s im freien aum zwischen den Gitteratomrümpfen ( metallische Bindung ). Wie groß ist diese Eletronendichte ne (je Volumeneinheit mm )? 4) Zwei lange Drahtleiter (d Cu wie oben beschrieben) liegen parallel in d = m Abstand (d: Abstand der beiden Leiterachsen). Wie viele freie Ladungen e (absolut und in % der Leitungseletronen) müssen je 0 mm (z. B. durch nfluenz) vom einen auf den anderen Draht übertragen werden damit je 0 mm Drahtlänge zwischen dem nun positiv und negativ geladenen Drähten die Coulomb-Kraft F C = 0-9 auftritt? Wie groß ist dabei die maximale eletrische Feldstäre E max? chlägt dort die Luft durch (Durchschlagsfeldstäre 0 V/cm)? 5) n welchem Verhältnis steht diese Kraft zu Massenanziehungsraft zwischen den beiden Drähten? ) Wie groß ist die zwischen beiden Drähten auftretende eletrische Gleichspannung und die gespeicherte eletrische Feldenergie W e je m Drahtlänge im aum zwischen den Drähten? Aufgabe G (Lösung): Eletrostatische Kraft gespeicherte eletrische Energie ) A ( ) / 4. / mm mm V A l 0 0mm Cu d Cu m Cu V Cu Cu mg 5 5 m Cu / m A Cu /(.050 ) Mit L.00 /mol folgt die toffmenge / mol. ) 8 Würfelecen mit je /8 eines Kupferatoms innerhalb des Elementarwürfels eitenflächen mit je ½ eines Kupferatoms innerhalb des Elementarwürfels: 8 (/8) (/ ) 4 Kupferatome je Elementarzelle! 0 / / 4.90 / 4 V Cu 0 / a Cu a Cu 4 V Cu 0 0 Cu Cu Cu 0 Elementarzellen im Drahtstüc also / /( m.angström ) 0 Anzahl der Leitungseletronen im Drahtstüc e n e e 0 / V / Cu 9 / mm ) 21 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni 4) Die beiden parallelen Drähte bilden einen Kondensator. Die Ladung befindet sich im eletrostatischen Fall auf der Leiteroberfläche und zwar so verteilt dass das Leiterinnere feldfrei ist (E = 0 im nneren). Der zugehörige Ladungsschwerpunt dieser Oberflächenladungsverteilung liegt genau genommen nicht bei d / sondern bei a / mit a / ( d / ) ( dcu / ) (000 / ) (. / ) mm d/ da d Cu / d. Q ( Q) Q ( Q) 9 FC 0 a 4 d Q F C 0 d e Q / e.590 /(.0 ) e / e /(8.470 ).740. Die maximale eletrische Feldstäre tritt an der Leiteroberfläche (wegen der dort höchsten Feldliniendichte) auf. Wegen d Cu / d genügt es einen der beiden Drähte für sich alleine zu betrachten. Mit dem atz vom eletrischen Hüllenfluss folgt für die radial gerichtete Feldstäre E max : Q D da Dr lcu dcu 0 Er 0 Emax A Q.590 MV E max l Cu dcu m MV V V E max Die Luft schlägt nicht durch aber die Kraft ist lein. m cm cm Aber selbst für große eletrostatische Kräfte (z. B. 0 /cm Drahtlänge) wäre mit 7 Q.590 As e / e.740 je cm Drahtlänge nur ein äußerst geringer Anteil an Ladungsverschiebung nötig allerdings lässt sich dies in Luft nicht realisieren. 5) Je Drahtlänge 0 mm: FC Q ( Q) d (.590 ) 0 F 5 0d G m CumCu Die Gravitationsraft ist gegenüber der eletrostatischen Kraft vernachlässigbar lein. m Planetensystem sind die Gravitationsräfte dominant da die Himmelsörper hochgradig eletrisch neutral sind. ) Eletrische Feldstäre in ichtung des Abstands der beiden parallelen Drähte (x-ichtung x = 0 mittig zwischen den beiden Drähten): Q a a E x ( x) ( d / ) ( d / ) l Cu. ( a / x d dcu d dcu 0 ) Q d ln 0l d Q a d d Ex( x) dx ln l 0 a d d Cu Cu Cu Q C 0 ln 8980 V 0.0. As 22 Aufgabensammlung Grundlagen / 4 Energietechni l C a d d ln a d d 0 4 Cu Cu 0l lnd / d Cu Je m Drahtlänge: 00C.70 F W e C m Kontrolle: W / e C m.70 Q m / Q / / 0.5 mj F je cm Drahtlänge 8980 / 0.5 mj Aufgabe G: Eletrischer tromfluss Verlustleistung n einem metallischen eletrischen unddrahtleiter als Kupfer (Leitungseletronendichte 9 mm ne / eletrische Leitfähigeit 0C 57 0 /m ) mit dem Drahtdurchmesser dcu =. mm fließt Gleichstrom = 0 A. ) Wie groß sind die tromdichte J die erforderliche eletrische Feldstäre E im Leiter in ichtung des tromflusses und die eletrische pannung bei 0 m Leiterlänge? n welche ichtung bewegen sich die Leitungseletronen? ) Die Leitungseletronen (Eletronenmasse m e 9.0 g ) bewegen sich bei 0 C OHE tromfluss ungeordnet mit der mittleren thermischen Geschwindigeit v th.0 m/s im freien aum zwischen den Gitteratomrümpfen. Wie schnell bewegen sich die Leitungseletronen gemeinsam als überlagerte Driftgeschwindigeit vd auf Grund des tromflusses? Wie groß ist v D / v th? Wie groß ist die durch die Eletronenstöße des tromflusses auftretende Verlustwärme je eunde Pd und die auf den Eletronenstrom wirende Bremsraft F jeweils je mm? ) Wie groß ist die dabei bewegte Masse m in einem l = 0 m langen Leiter deren inetische Energie W und der Massestrom in mg/s? 4) Wie groß ist der Massestrom bei Wechselstrom? Hängt er von der Frequenz f des Wechselstroms ab? 5) st die bewegte Masse bei tromfluss in einem onenleiter (z. B. vollständig ionisierte Kochsalzlösung a + ( mg/mol) und Cl -onen 5 mg/mol) bei sonst gleichen Bedingungen größer? Aufgabe G (Lösung): Eletrischer tromfluss Verlustleistung ) A Cu ( d Cu ) / 4. / mm mm J / ACu 0 / 0 A/mm E J / 0 0 /(57 0 ) 0.75 V/m E l V 9 Die Leitungseletronen sind negativ geladen ( e.0 As ) und bewegen sich entgegen der positiv gezählten (technischen) tromrichtung. ) Q / t t s : Q 0 0As Anzahl der Eletronen (Ladung e) in Q : e Q / e 0 /(.0 ).50 9 Volumen für Q : V e / ne.50 /(8.470 ) 0.77 mm. Dieses Volumen spannt sich über den Drahtquerschnitt ACu mit der Länge l auf: V l ACu l 0.77 / 0.77 mm. Dieses Volumen wandert je eunde t s 9 9 9 23 Aufgabensammlung Grundlagen / 5 Energietechni durch die Drahtquerschnittsfläche und legt dabei die Driftgeschwindigeit v D l / t 0.77 / 0.77 mm/s zurüc. v D / v th /(.0 ) 4.0! Fazit: Die Driftgeschwindigeit ist gegenüber der thermischen Wimmelbewegung vernachlässigbar lein. P d / V / V /( A l ) ( / ) ( / Cu Cu l Cu A Cu 7 0 ) E J W/m.75mW/mm F v D Pd F Pd.750.7/mm V V V V v D Kontrolle: F Pd E J E nevd e E Q E e e V V vd vd vd V V Die Bremsraft F wird durch die auf die Leitungseletronen wirende Coulomb-Kraft E Q ompensiert so dass eine onstante Driftgeschwindigeit (= unbeschleunigte Eletronenströmung) möglich ist. ) Massetransport mit v D : 9 9 m m l / l /( ) 77.0 g e e 9 - W m v D / 77.0 ( )/ J (verschwindend gering) Massestrom: 9 m me e / t / g/s mg/s 4) Bei Wechselstrom pendeln die Leitungseletronen mit der ihr Vorzeichen wechselnden Driftgeschwindigeit (z. B. v D vˆ sin(ft) ) in und entgegen der tromrichtung mit der Wechselstromfrequenz f. / f Die mittlere Driftgeschwindigeit ist ull: vˆ sin(ft) dt 0. / f 0 Es findet im zeitlichen Mittel ein Massetransport statt. 5) onen sind viel schwerer als Eletronen z. B.: a-onen: g/mol Cl-onen: 5 g/mol. Mit L.00 /mol folgt 0 /(.00 ).8 0 g m a m Cl 0 /(.00 ) 5.80 g. m /.8 0 /(9.0 ) 49 m / 5.80 /(9.0 ) 77 Cl m a me e. Die Massenströme in ichtung der positiven tromrichtung m und entgegengesetzt m a Cl sind erheblich größer. -5 Aufgabe G4: Brunnenpumpe Eine eletromotorisch angetriebene oberirdisch angeordnete Brunnenpumpe ( saugende Pumpe) soll Wasser aus H = m Tiefe mit einem Volumenstrom von V 000 l/h fördern 24 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni (Pumpenwirungsgrad der Kreiselpumpe P = 0.4 Wirungsgrad des Einphasen- Asynchronmotors M = 0.7). ) Wie groß ist die erforderliche abgegebene mechanische Leistung P des Motors? ) Wie groß sind die aufgenommene Wirleistung P ein und der Effetivwert des Motorstroms bei = 0 V cos = 0.7? ) st es möglich mit einer saugenden Pumpe Wasser aus 5 m Tiefe zu fördern? Begründung? Alternativlösung? Aufgabe G4 (Lösung): Brunnenpumpe ) P V H / / W 0 g H P 00 ) Pe in 7 Pe in P / M 8/ W 0.7 A cos 0 07 ) Der theoretisch minimale von der Pumpe erzeugte nterdruc am Eingang der Pumpe ist p P = 0 Pa. Der von außen wirende Luftdruc p L = 0 5 Pa drüct auf das Wasser und fördert so die Wassersäule durch die Pumpe. Der Druc einer Wassersäule der Höhe h mit der mh O g VH O H O g A h H O g Querschnittsfläche A ist p h H O g. A A A Die maximale Förderhöhe h max einer saugenden Pumpe ist folglich mit 5 pl pp p pl p hmax H O g : h. max pl /( H ) 0 /( ) 0. m O g Eine saugende Pumpe ann daher nicht Wasser aus eine Tiefe von 5 m fördern. Hier wird eine drücende Pumpe benötigt die in 5 m Tiefe angeordnet ist. Mit ihrem erzeugten Pumpendruc am Pumpenausgang p P a h H g Pa O drüct sie das Wasser in die Höhe. Aufgabe G5: Energiestrom der onne Die onne (adius r 8.90 m ) sendet insgesamt einen Energiestrom (= Energie je Zeit) von P.850 W aus. ) Wie groß ist die Energiestromdichte an der onnenoberfläche und beim Eintritt in die Erdatmosphäre (= extraterrestrisch) E auf der Verbindungslinie Erde-onne (Abstand de.50 m vom onnenmittelpunt)? ) Etwa 0% der insgesamt die Erdatmosphäre treffenden onneneinstrahlung werden sofort refletiert. Wie groß ist dann der die Erdoberfläche erreichende Energiestrom P E (Erdradius r E.7 0 m )? Was passiert letztlich mit dieser Energie? Aufgabe G5 (Lösung): Energiestrom der onne ) onnenoberfläche: A 4 r 4 (.90 ) m P / A.850 /(00.00 ).40 W/m 4. MW/m 8 7 25 Aufgabensammlung Grundlagen / 7 Energietechni extraterrestrisch: E d 4 (.50 ) m A 4 E E P / AE /(8.7 0 ).0 W/m. W/m ( extraterrestrische olaronstante) ) Projizierte Erdoberfläche ( cheibenfläche ): A 4 E r E (.7 0 ).75 0 PE 0.7 E AE W Da die Gesamtenergie der Erde in etwa onstant ist (abgesehen von der auf dieser Energiesala vernachlässigbar leinen Klimaerwärmung) werden auch diese 70% der eingestrahlten onnenenergie nahezu vollständig in den Weltraum abgestrahlt. 7 4 m A ufgabe G: Durchlauferhitzer versus Heißwasserspeicher B eim Durchlauferhitzer wird Wasser (spezifische Wärme apazität c H 4.9 J/(g K) O ) durch von außen (z. B. mit einer Gasflamme oder eletrischen Wi derstands-heizbändern) beheizte öhren beim Durchlauf erhitzt. Für ein Handwaschbecen wird ein Durchlauferhitzer installiert der einen Wasserstrom von 0.05 l/s von 0 C auf 0 C erwärmt. ) Wie groß ist die dafür benötigte Wärmeleistung P? ) Wenn diese Heizung eletrisch bei 0 V einphasig erfolgt wie groß sind Heizwiderstand und etzstrom (Effetivwert)? eicht eine Absicherung mit einer A-icherung? ) Alternativ soll ein Heißwasserspeichergerät installiert werden bei dem 5 Liter Wasser über eletrische Heizstäbe 0 C auf 0 C während Minuten erwärmt wird. Wie groß sind nun Heizwiderstand und etzstrom? eicht eine Absicherung mit einer A-icherung? A ufgabe G (Lösung): Durchlauferhitzer versus Heißwasserspeicher ) Volumenstrom: V H O m / s Erwärmung: K Wärmenergie: W VH O H O ch O Wärmeleistung: P W / t V H O H O ch O W ) P P / 0475/ A / 0/ Ω Eine nstallation mit A-icherung (< 45.5 A!) reicht nicht aus! ) P VH O H O ch O / t /(0) 90 W P / 90/ 0.5 A A. Die Absicherung mit A reicht aus! / 0/ Ω A ufgabe G7: Menschliche Leistung am Heimtrainer Ein Heimtrainer (= tandfahrrad) zum Kreislauftraining besteht neben itz und Haltegriff aus einer Pedalurbel (Hebelarm l = 0 cm vom Pedal zum Kurbeldrehpunt) die über einen iemen eine Metallscheibe zwischen zwei feststehenden Permanentmagneten antreibt. n die so bewegte Metallscheibe induziert das Permanentmagnetfeld über Bewegungsindution eine eletrische Kreisspannung die einen eletrischen Kreisstrom (Wirbelstrom) in der cheibe 26 Aufgabensammlung Grundlagen / 8 Energietechni treibt der mit dem Magnetfeld eine bremsende Lorentz-Kraft erzeugt (Prinzip der Wirbelstrombremse). Über den manuell verstellbaren Abstand der Magnete zu cheibe wird diese an den Pedalen wirsame Bremsraft verändert und sei so eingestellt dass sich beim Pedal-Treten eine Kraft von F = 70 am Pedal einstellt. ) Wie groß ist das für die trainierende Person wirsame bremsende Drehmoment M? ) Wie groß ist bei der Kurbeldrehzahl n = 75/min die mechanisch Kurbelleistung P? ) Wie viel Energie (in cal) verbraucht die trainierende Person bei einem Muselwirungsgrad = 5% während einer Trainingsdauer t = 5 Minuten? 4) Welche trece L würde eine radfahrende Person mit einem 8-Zoll-Fahrrad bei einer Übersetzung von der Kurbel- auf die addrehzahl : während dieser Zeit zurüclegen? Aufgabe G7 (Lösung): Menschliche Leistung am Heimtrainer ) ur beim herunter Treten des Pedals ann das Bein Kraft auf das Pedal bringen so dass jedes Bein abwechselnd die Kraft 70 und damit das Drehmoment M F l m aufbringen muss. ) P n M ( 75/ 0) 5 W ) cal 485 J W P t / 5 (5 0) / MJ cal 4) Zoll =.54 cm addurchm esser d cm addrehzahl n i n 75 5/ min adumfangsgeschwindigeit = Vortriebsgeschwindigeit des Fahrrads: v d n 0.7 (5/ 0) 8.8 m/s 0. m/h L v t 0. (5/ 0) 7. m A ufgabe G8: Menschliche Leistungsfähigeit Ein 85 g schwerer Mann ) läuft in 0 eunden die Treppe vom Erdgeschoss bis in das vierte tocwer hinauf (Höhendifferenz h = 4 m). Welche mechanische Leistung P (in W und P) ist dazu nötig? Wie groß ist der Energieverbrauch (cal) der (überwiegend belasteten) Beinmusel (Muselwirungsgrad 5 %)? ) Er macht 0 Kniebeugen in 0 eunden (Höhenhub des Körperschwerpunts 0. m je Kniebeuge): Wie groß ist die mechanische Leistung? Auf welche Leistungsfähigeit der Beinmusulatur (in P) schließen ie aus ) und ) in etwa? ) Er macht 0 Liegestütze in 5 eunden (Höhenhub des Körperschwerpunts 5 cm): Wie groß ist die mechanische Leistung? Auf welche Leistungsfähigeit der Armmusulatur (in P) schließen ie in etwa? 4) Der Mann hebt mit einer chaufel eine Erdgrube (chwemmsand = ein großer Widerstand gegen das Eindringen der chaufel 000 g/m ) von m Tiefe und m Grundfläche in 0 Minuten aus. Wie groß sind die mechanische Hebearbeit und Leistung? Wie viele (große) Kalorien verbraucht der Arbeiter (Wi rungsgrad der Arm- und Beinmusel 0 %)? 27 Aufgabensammlung Grundlagen / 9 Energietechni Aufgabe G8 (Lösung): Menschliche Leistungsfähigeit ) P F v m g v m g ( h / t) (4/ 0) 58.7 W 0.79 P W P t / / Ws. cal ) ur beim Heben wird von den Beinmuseln mechanische Arbeit gegen die chwerraft verrichtet (Beim Absenen arbeiten allerdings die Museln physiologisch ebenfalls). P F v m g v m g ( h / t) (0./) 500. W 0.8 P Leistungsfähigeit der Beinmusulatur: ca. P! ) P F v m g v (0.5 0/ 5).9 W 0. P Die Leistungsfähigeit der Armmusulatur ist deutlich geringer als die der Beinmusulatur (ca P) 4) Kein großer Widerstand gegen das Eindringen der chaufel in den and = reine Hebearbeit! Au sgehobene andmasse: m A h g mittlere Hubhöhe der andmasse: h / 0.5 m W m g ( h / ) J P W / t 980/(0 0) 8. W 0.0 P Kalorienverbrauch: W / (980/ 0.) / cal A ufgabe G9: Energieumsatz im menschlichen Körper Das Blut ( B g/l ) transportiert im menschlichen Körper den aus der Atemluft aufgenommenen auerstoff aus den Lungen in die Zellen wo er die aus der ahrung aufgenommenen Zucermoleüle oxidiert wobei die für den lebenden Organismus nötige Energie W frei wird. Ein normales menschliches Herz pumpt je Herzschlag cm Blut je g Körpergewicht. Bei Anstrengung steigt die Herzpumpfrequenz ( Puls ) von etwa 0/min auf 50/min. Blut enthält 5.5% Masseprozent Hämoglobin (Hb bestehend aus Aminosäuren) wobei ein Hb-Moleül die relative Masse 4470 hat (atomare Masseeinheit als / von C : 7. 0 g ). Jedes dieser iesenmoleüle ann vier auerstoffmoleüle O (O : relative Masse ) reversibel binden und auf diese Weise im (arteriellen) Blut transportieren. n den Zellen werden die CHO-Ketten der Zucermoleüle (z. B. sechs Kettenglieder: Traubenzucer C H O ) gemäß der exothermen eation CH O O HO CO W oxidiert. Wasser H O und Kohlendioxid CO werden ausgeatmet und die Energie W 5.7 J je Gramm Zucer für die Körperativität eingesetzt. ) Wie viele g/s Blut werden (je g Körpergewicht) bei 50/min Puls gefördert? Wie groß sind in g/s das dabei geförderte Hämoglobin und der auerstoff? ) Wie viel Gramm Zucer werden je eunde je g Körpergewicht oxidiert? Wie viel Energie W wird dabei dem Körper je g Körpergewicht je eunde zugeführt? Wie groß ist dadurch bei einem Musel-Wirungsgrad = 5% die mechanische Muselleistung P je g Körpergewicht? ) Wie viele Höhenmeter h ann eine trainierte bergsteigende Person mit der Beinmuselleistung von ) in einer halben tunde bergauf gehen? 28 Aufgabensammlung Grundlagen / 0 Energietechni Aufgabe G9 (Lösung): Energieumsatz im menschlichen Körper ) g 50 g g g m B cm.5 m Hb cm 0s s s s 4 g mg m O s s ) el ative Atommassen: C: H: O: O : CH O : 0. m CH O 0 m CH (0/) 0.77 (0/) 0.7 mg/s O m O m O 0.7 mg/s W W / m 5.7 J. J/s P P / m W W/g g ) P m g h / t P / m g h / t.8 W/g teiggeschwindigeit: h / t.8/ m/s ; in der Zeit t 0min werden h m Höhenmeter zurücgelegt. A ufgabe G0: Potentielle und inetische Energie ) Ein Körper mit der Masse m = g befindet sich im Abstand h = m von der Erdoberfläche. Welche potentielle Energie W p hat er? Welche Gravitationsraft F erfährt er? ) Wie groß ist die inetische Energie W dieses aus m frei fallenden Körpers bei der Höhe h/ = 0.5 m? Wie groß ist dabei seine Geschwindigeit v und wie viel Zeit ist verstrichen? A ufgabe G0 (Lösung): Potentielle und inetische Energie ) Masse m = g Abstand h = m potentielle Energie W p ( h m) g 9.8 m/s m 9.8 g m /s 9.8 J me m F G er g m e r F g m 9.8 m/s g 9.8 g m/s 9.8. re Anmerung: Der Körper zieht seinerseits mit der Kraft 9.8 die Erde an. ) z h / : W m v / m g z J v W / m 4.9/. m/s oder v g z m/s t v / g./ s. A ufgabe G: Energieverbrauch beim Autofahren Ein mechanisch gebremster Personenraftwagen (Masse mit Beladung m =.5 t) ) ist täglich für den 5 m langen Weg zur Arbeit im tadtverehr mit 0 m/h unterwegs muss aber im Mittel alle 00 m an einer roten Ampel halten. Wie hoch ist der 29 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni Energiemehrverbrauch (in Liter Kraftstoff je 00 m) gegenüber einer Fahrt auf gleicher trecenlänge mit onstanter Geschwindigeit mit 0 m/h je Arbeitsmonat? Der Otto-Motor hat dabei einen wirsamen Wirungsgrad = 0% und der Otto-Kraftstoff (Benzin) einen 7 Brennwert. 0 J/l ( B 0.75 g/l )! ) tellen ie ) den Kraftstoffmehrverbrauch bei einer Fahrt auf einen hohen Alpenpass (von 500 m auf 500 m eehöhe = über..) gegenüber! ) Welche trece ann das Fahrzeug mit 5 Liter Taninhalt auf der Autobahn bei einer onstanten Geschwindigeit von v = 40 m/h und ebener trece zurüclegen? ebenverbraucher (cheinwerfer Klimaanlage etc.) werden nicht berücsichtigt. Die Bremsraft F zufolge des ollreibungswiderstands ist über den Beiwert f = 0.0 proportional zur Fahrzeug-ormalraft F! Die Bremsraft F L zufolge des turbulenten Luftströmungswiderstands ist über den Fator f L = 0. m gemäß F f v / zu bestimmen (Luftdichte L. g/dm )! 4) Ein Eletroauto mit gleichen Fahrzeugdaten hat eine 00-Ah-Li-onen-Batterie mit der Energiedichte 00 Wh/g und 400 V Batteriespannung. Der Wirungsgrad des eletrischen E-Motor-mrichter-Antriebssystems beträgt 80%! Wie groß ist die zurücgelegte Wegstrece im Vergleich zu ) bei vollständiger Entladung der Batterie? 5) Vergleichen ie die auf die Masse des Energieträgers bezogene eichweite von ) und 4) G (Lösung): Energieverbrauch beim Autofahren ) Arbeitsmonat = 4 Arbeitswochen = Arbeitstage: Ges amtstrece für Hin- und ücfahrt L m ; Anzahl jeweils der Brems- und Beschleunigungsvorgänge: z 00 / Beim mechanischen Bremsen an der Ampel wird die im Fahrzeug gespeicherte inetische Energie W m v / 500 (0/.) / 508 J in Bremswärme der cheibenbremsen verwandelt. Beim anschließenden Beschleunigen auf 0 m/h muss diese Energie dem Fahrzeug über den Antrieb zugeführt werden. Dafür aufzuwendende Energie im Kraftstoff: W z W / m v / / MJ Kraftstoffverbrauch für das Beschleunigen: /( 0 ).5 l ; pezifischer Kraftstoffmehrverbrauch: 00.5 l/(00 m).7 l/(00m) ) Kraftstoffenergiebedarf für die Fahrt zur Passhöhe (Höhendifferenz h = 000 m): W m g h / / MJ ; Kraftstoffmehrverbrauch: /( 0 ).8 l. ) Treibstoffmasse mb 5 l 0.75 g/l 48.75g (in der Fahrzeugmasse m enthalten) F m g F f F FL fl L v / 0.. (40/.) / resultierende erforderliche Antriebsraft: F A F FL mechanische Antriebsleistung: P A v F A ( 40/.) W P / 897 / J/s P A mögliche Fahrzeit: t W / P 5 0 / s L L L 30 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni Fahrstrece: s v t ( 40/.) m 7 m 4) Gespeicherte Energie in der Batterie: W Batt t Wh 44 MJ Batteriemasse: mbatt Wh/(00 Wh/g) 400 g. Bei sonst gleichen Masseverhältnissen ist das E-Fahrzeug um m Batt m B g schwerer. F m g ( ) F f F F A F FL P A v FA ( 40/.) W P P A / 84/ J/s t WBatt / P 44 0 / s s v t ( 40/.) m 58.7 m 5) Ben zin: s / m B 7/ m/g Li-onen-Batterie: s/ mbatt 58.7/ m/g 0.4/5.7%! Aufgabe G: trömende Flüssigeit ) Eine Flüssigeit strömt mit der Geschwindigeit v m/s durch den Querschnitt dm A. Wie hoch ist die trömungsgeschwindigeit v im erweiterten trömungsquerschnitt A dm? ) n einer offenen Wasserrinne herrscht überall derselbe Luftdruc p = p0 ausgesetzt ist. Aus einem Becen (Ortshöhe Höhe h = 00 m gegenüber dem Ende der Wasserrinne) fließt das Wasser mit sehr leiner Geschwindigeit v 0 Wasser in die Wasserrinne. Wie groß ist die Wasserfließgeschwindigeit v am Ende der Wasserrinne? ) un sei gegenüber ) die Geschwindigeit v > 0 nämlich v 0 m/s. Wie groß ist nun v? G (Lösung): trömende Flüssigeit : ) v v A / A v (/ ) v / / m/s. ) h h h p p p0 v 0 v / p0 / g ( h h) p0 / g ( h h) v / p0 / g h g h v v g h ( Ausfluss-Formel ) Höhendifferenz h = 00 m: v m/s 59m/h. ) ) v v / p0 / g ( h h v / p0 / g h : v v g h m/s Aufgabe G: Wasserstoffgas Wir betrachten H -Gas bei bar 0 C. Die Moleül-(uhe)-Masse ist Abstand zwischen zwei Moleülen eine halbe freie Weglänge r l / m m. g der 31 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni ) Wie groß ist die zwischen zwei Gasmoleülen auftretende Gravitat ionsraft? Kann man diese Kraft für die Betrachtung des H-Gases als ideales Gas vernachlässigen? ) Wie groß ist bei dieser Temperatur die quadratisch mittlere Moleülgeschwindigeit? ) Berechnen ie die Gasdichte! G (Lösung): Wasserstoffgas ) m m F G.7 0 (.4 0 r Diese Kraft ist vernachlässigbar lein! ) ( ) T.8050 m.4 0 ) 7 ) v av 7 H -Gasdichte bei 0 C bar: A /( m/s ) m / V / 0.09g/m Aufgabe G4: Erwärmung unterschiedlicher toffe ) Ein Liter (V = dm ) von a) Luft b) Kupfer c) Eisen soll von 0 C auf 00 C erhitzt werden. Wie groß ist die dafür benötigte zugeführt e Wärmeenergie Q? Die Dichten von Luft / Kupfer / Eisen sind ca. =. / 8900 / 7850 g/m. ) Wie hoch ist die Wärmeenergie QFe um g Eisen von 0 C zur Weißglut (ca. 000 C) zu erhitzen? Wie hoch ( C) erwärmt sich Liter 0-grädiges Wasser mit derselben Energie? ) Zwei Liter Wasser sollen bei normalem Luftdruc und aumtemperatur 0 C mit einem Tauchsieder der Leistung P = 500 W zum ieden gebracht werden? Wie lange dauert der Vorgang? G4 (Lösung): Erwärmung unterschiedlicher toffe ) T K Q c M T c V T a) Luft: Q J b) Kupfer: Q J c) Eisen: Q J ) 50 (000 0) 49.9 J Q Fe /( M c ) /( 485) 7. K HO Q Fe HO HO 0C HO 7.C. ) Q P t c M T t c M T / P 485 (00 0) / s. Der Vorgang dauert. Minuten! 32 Aufgabensammlung Grundlagen / 4 Energietechni Aufgabe G5: Wasserocher Eine Firma wirbt damit dass der von ihr hergestellte eletrische Wasserocher 0. l Wasser von 0 C in 45 eunden zum Kochen bringt. ) Wie groß ist die erforderliche eletrische Aufnahmeleistung? eicht eine icherung mit A für den entsprechenden trom am etz (0 V; 50 Hz)? Wärmeverluste werden vernachlässigt. ) Wie lange benötigt derselbe Wasserocher für das ieden von l Wasser? ) Beim Erhitzen des Wassers gemäß ) ist die Oberfläche des Wasserochers bei 00 C heißem Wasser etwa 0 = 40 C heiß. chätzen ie ab um wie viel sich die Zeit bis zum ieden des Wassers aufgrund von Wärmeverlusten durch natürliche Konvetion (α = 7 W/(m K)) und Wärmestrahlung (c s = 0-8 W/(m² K 4 )) verzögert ( Worst-Case - Abschätzung)! Die Abmessungen des Wasserochers sind: Höhe h = 5 cm Durchmesser d = 4 cm. Die mgebungstemperatur beträgt amb = 0 C. Aufgabe G5 (Lösung): Wasserocher ) Leistung: m c Q P therm P el t t m V g J c 485 ; 00C -0C 90 K g K 90 Pel W (rein ohm'sch : Heizwiderstand) 45 Pel A A 0 ) Betrachtung von 000 ml: m' t' t 45 5 s min 45 s m 0. ) Worst-case -Abschätzung: maximale Wärmeverluste bei = 40 C: 0 K d 0.4 A d h m 4 4 Wärmeverlustleistung durch Konvetion: P A W Wärmeverlustleistung durch trahlung: Mit T K; T K; 0 7 amb s A T0 Tamb W Ps c Gesamtwärmeverlustleistung: P Ps P W Zusätzliche Zeit: m c m c m c P Ptherm P t* t * P P P P therm therm therm P t' P P therm 0 amb therm therm P 33 Aufgabensammlung Grundlagen / 5 Energietechni t * P 74 therm.0 t' Ptherm P Die Zeit bis zum ieden des Wassers verzögert sich näherungsweise geringfügig um.%; in der ealität aber weniger da mit der Wärmeverlustleistung bei maximaler Temperaturdifferenz Δt = 0 K gerechnet wurde. A ufgabe G: Badeofen Ein Badeofen hat einen Wasserspeicher mit h =. m Höhe und einem Durchmesser d = 0.4 m. ) Wie groß ist die erforderliche Wärmeenergie Q H O die dem Wasser zugeführt werden muss um e s ausgehend von 0 C zum ieden zu bringen? c H O 485 J / g K ) Der altmodische Ofen wird mit Braunohlebrietts (Heizwert H i 0 MJ/g) beheizt. Die Verbrennungswärme ann nur zu 50 % zum Erhitzen des Wassers genutzt werden da der est als Wärme an das Badezimmer und die heißen auchabgase verloren geht! Wie viel g Brietts sind zum Aufheizen des Wassers nötig? ) Die Luft im Badezimmer (Luftvolumen: Länge: 4 m Breite m Höhe:.5 m) bei 0 C Lufttemperatur enthält welche Wärmemenge Q L? (c V = 75 J/(g K)) Wie groß ist das Verhältnis Q / Q? (.7 g / ) L H O L0C m 4) Das Wasservolumen V dehnt sich beim Erwärmen gemäß.07 0 / K aus! m wie viele Liter ΔV hat sich das gemäß ) erhitzte Wasservolumen gedehnt? Wie viele Tropfen zu je 0.5 ml tropfen deshalb aus dem Wasserhahn? Wie oft pro eunde tropft der Wasserhahn wenn der Aufheizvorgang T = h dauert? 5) Ein vergleichbarer eletrisch beheizter Badeofen hat einen Wirungsgrad η el = 0.8. Wie groß sind die erforderliche eletrische Anschlussleistung P und bei = 0 V der ennstrom? Aufgabe G (Lösung): Badeofen ) Wasser siedet bei bar bei 00 C: Q c m m V 4 HO HO HO 4 HO HO d V h 50.8 l C 0 C 80 K Q H O J MJ ) QH O : m 5.05 g Hi ) V L m ml L VL g L K QL c V ml L J 7. MJ (Wärmemenge um Luft von 0 K auf (7.5+0)K zu erhitzen) Q Q 7. / / H O L 34 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni 4) 4 00 C V 0 C l V H O HO V l.5 l l48 Tropfenzahl: 48 Tropfenfrequenz:. Tropfen/ eunde 0.50 l 00 5) Q HO P 875 W P 875 W 8 A T V el A ufgabe G7: chornstein n einem teinohleraftwer ist der chornstein für die auchgase aus dem Kessel H = 50 m hoch. ) Geben ie mit Hilfe der idealen Gasgleichung an um wie viel die Dichte der ϑ i = 80 C heißen Luft im chornstein γ i geringer ist als jene außerhalb (γ 0 ) bei mgebungstemperatur ϑ 0 = 0 C! (γ 0 (0 C) =.0 g/m³) ) Wie groß ist der Luftdruc p i im chornstein im Vergleich zum äußeren Luftdruc p 0 = bar? ) Wie groß wäre auf Grund der Drucdifferenz p0-p i von ) die Geschwindigeit v der unten in den chornstein einströmenden Luft ( Kaminwirung )? A ufgabe G7 (Lösung): chornstein ) p V v m m T m V p vm T Bei onstantem Druc p und onstanter Masse m ist: T onst. 0 T0 T K T K 0 0 T0 0 T i 0.99 g/m³ T Ti 5.5 ) F m g A H g p F / A H g p p bar 0 Pa 0 p 5 0 i g H Pa p0 - pi p 9 i i i g H p i p0 p Pa ) i v² p 0 pi v² p0 pi v p m/s 88.4 m/h i 35 Aufgabensammlung Grundlagen / 7 Energietechni Aufgabe G8: Menschliche Arbeit und Leistung Der Wirungsgrad menschlicher Museln η ausgedrüct durch das Verhältnis aus verrichteter Arbeit W ab und Energiezufuhr W zu in Form von ahrung beträgt ca. η = W ab /W zu = 0.. ) Wie groß ist die verrichtete Arbeit W ab eines 90 g schweren Mannes mit 7 g Kleidung und Gepäc beim Besteigen eines Bergs von 500 m über ormalniveau (..) auf 500 m Gipfelhöhe? Wie groß ist der durchschnittliche Leistungsumsatz P (bezogen auf W zu ) wenn er für 00 m Höhendifferenz 0 Minuten benötigt? ) Eine Portion paghetti (00 g) (ohne Zutaten) hat einen Brennwert von 50 cal. Wie viel Portionen muss der Bergsteifer von ) essen um seinen Energiebedarf von ) zu decen? ) Die Person von ) soll eine bis zum and mit Wasser gefüllte Grube mit rechtecigem Grundriss A = x4 m² mit einem Eimer in eine Abflussrinne ausschöpfen. Wie tief muss die Grube sein dass die Person für ihre Hebearbeit des Wassers dieselbe Energie benötigt wie bei )? 4) Die Person von ) hat etwa A K = m² Körperoberfläche und im Mittel etwa eine d = cm dice chicht des nterhautfettgewebes. Die Wärmeleitfähigeit λ th dieses Fettgewebes beträgt bei einer Körpertemperatur von.5 C etwa λ th = 0.00 W/(cm K)! Wie lange (Zeit T W ) muss sich die Person im Wasser von 0 C aufhalten (nur Badehose!) um durch Wärmeleistung dieselbe Energie W ab von ) als Körperwärme an das Wasser abzugeben! A ufgabe G8 (Lösung): Menschliche Arbeit und Leistung ) m = 90+7 = 97 g h = = 000 m W m g h J 90 J ab T W 0 00 Minuten h 0 min ab 9040 J P 79 W T ) Wab 9040 W zu J 0. Wzu W portion J.5. 5 Portionen paghetti Wportion 4500 ) h h A h HO g mh O g Wab h A HO g Wab Wab 9040 h 5.9 m A g H O 4) W W Wab th AK TW.5 C 0 C.5 K th d cm K m K Wab d TW 9.4 s Minuten A th K 36 Aufgabensammlung Grundlagen / 8 Energietechni Aufgabe G9: adfahrer Ein adfahrer fährt mit einem ad bei vernachlässigter ollreibung mit ideal reibungsfreien Tretlager und adlagern bei Windstille auf einem adweg mit 0 % teigung mit v = m/h. Die Masse des adfahrers beträgt m = 85 g die des Fahrrads m = 8 g. ) Wie groß ist die Fahrleistung P wenn der Luftwiderstand mit dem Widerstandsbeiwert c W =.0 und A p = 0.5 m² als projizierte Querschnittsfläche und der Luftdichte γ L =. g/m³ (bei 0 C) zu berechnen ist? ) Wie lange ann der adfahrer diese Fahrt fortsetzen wenn er bei einem Muselwirungsgrad η = 0. den Tagesalorienbedarf W = 500 cal energetisch umsetzt? ) Bei welcher Fahrgeschwindigeit v ann dieselbe Zeit in der Ebene gefahren werden? 4) Beim realen Fahrrad treten eibungsverluste in den Lagern und die ollreibung der eifen auf! Diese von der Fahrgeschwindigeit v unabhängig angenommene eibungsraft F beträgt 8! Bei welcher Fahrgeschwindigeit v sind in der Ebene bei Windstille die eibungsleistung P und die Leistung P W zufolge des Fahrtwindwiderstandes gleich groß? Wie groß ist die Fahrleistung P? m wie viel Prozent erhöht sich diese Fahrleistung bei einem Gegenwind von 0 m/h? 5) m menschlichen Körper werden beim Verbrennen der in den Zellen gespeicherten Kohlenstoffe ( Zucer ) diese in CO und H O abgebaut und ausgeatmet! g Zucer liefert 7 J. Wie viel Masse verbrennt der menschliche Körper wenn er gemäß 4) bei Gegenwind 0 m/h tunden lang ad fährt? Da der menschliche Körper zu 80 % aus Wasser besteht nehmen ie an dass er anteilig zur Masse an Kohlenwasserstoffen auch Wasser verbraucht (z. B. durch chweiß)! A ufgabe G9 (Lösung): adfahrer ) m ges m m g tan 0. arctan rad Bild G9.: chematische Darstellung der wirenden Kräfte F A mges g sin Windstille: v = Fahrtwind als Gegenwind v m/h.7 m/s c W Ap L v FW 0.8 F A sin sin sin F FA FW 9.0 P F v W ) Wab W J W T ab 59 s.5 Minuten h 4.5 Minuten P 54 37 Aufgabensammlung Grundlagen / 9 Energietechni ) cw Ap L v W 0 : P T ab v c W P A p L m/s 8.8 m/h 4) P v F v c P F A W p L P F F W W v P PW F FW cw Ap L 8 5. m/s 8. m/h. 0.5 P v W 0 m/h v ' v v.78 m/s m/s m/h. m/s FW cw Ap L v' P ' F v FW v' W P' 9.5. Erhöhung um % P 8. 5) W ab P' T J Wab T h W zu J 0. m J Zucer g 7000 J/g m m H O K m m Zucer Zucer mk 80 % + 0 % = 00 % g.0 g v A ufgabe G0: Golfstrom Der Hauptteil des Golfstroms ommt als Karibenstrom aus der 0 m breiten und durchschnittlich m tiefen Meeresenge zwischen Key West (Florida) und Havanna (Kuba) mit einer mittleren Oberflächengeschwindigeit v = 5 m/h. Diese Geschwindigeit nimmt etwa linear zum Meeresboden ab. ) Wie groß ist der mittlere Volumenstrom V in m³/s bzw. Liter/Tag? ) Der Golfstrom bringt bis zur ocall-meeresschwelle zwischen sland und chottland selbst im Januar 5 C warmes Wasser während man auf derselben geographischen Breite (z. B. an der Küste ordamerias) nur ca. 5 C misst. Wie groß ist die vom Golfstrom transportierte Wärmemenge pro Tag in J und als Wärmeleistung in W? ( H O g/dm³ ch O 48 J / g K) ) Die Meeresoberfläche des Golfs von Mexio (A M = m²) und des aribischen Meeres (A K = m²) speisen den Golfstrom! tellen ie mit der extraterrestrischen olaronstante 0 =.8 W/m² die eingestrahlte solare Leistung P der Wärmeleistung des Golfstroms gegenüber (Leistungsbilanz des Golfstroms ohne Wärmeenergie der Zuflüsse aus dem Festland ins aribische Meer und den Golf). 38 Aufgabensammlung Grundlagen / 0 Energietechni Aufgabe G0 (Lösung): Golfstrom ) 5 m m v h s V V t Al A t l t A v A 0 0 m 0 m 0 0 m² V ) 5 C 5 C 0 K m c P P V H O ) A A M P 0 P / P A K.0 J/Tag A / 4.5 H O m² W 9 W m³ 9. 0 s 5 5 Liter Tag W 4.5 PW A ufgabe G: Thermisch-energetische Betrachtung des Menschen Ein erwachsener Mensch benötigt ca. 000 cal Energiezufuhr in Form von ahrung pro Tag für die gesunde Aufrechterhaltung der Körperfuntionen. Diese Energie wird letztlich in Wärme umgesetzt ( cal = 48 J). ) Wie groß ist die mittlere thermische Leistung P des menschlichen Körpers? Berechnen ie die mittlere Heizleistung P th von 0 Personen z. B. in einem Besprechungsraum! ) Wie groß ist die abgestrahlte thermische Leistung P thab eines stillstehenden Mannes in Badehose (z. B. am trand) bei bedectem Himmel und Windstille (= eine onvetive Kühlung) bei einer Lufttemperatur = 5 C? Betrachten ie dazu die Körperoberfläche A K m als schwarzen trahler mit der Haut-Oberflächentemperatur K =.5 C ( = J/(m K 4 s) tefan-boltzmann-trahlungsonstante)! Friert ( Fröstelt ) die Person d.h. verliert sie mehr Wärme als sie erzeugt? Durch Bewegung erhöht sich der toffwechsel der Person von P auf P! Friert die Person? ) Die (stillstehende) Person von ) ist nun mit einer d = 0.5 cm dicen Wollleidung beleidet die durch die in der Wollstrutur eingeschlossenen Luftpolster den Körper thermisch isoliert. Die Wärmeabgabe an die mgebungsluft erfolgt über Wärmeleitung durch die Kleidung (therm. Wärmeleitfähigeit der Luft Luft = 0.04 W/(m. K))! Friert die Person? Welche Dice d muss die Kleidung haben damit die Person bei = -0 C nicht friert? 4) Die (stillstehende) Person in Badehose von ) steht nun an einem heißen Tag =.5 C am trand. st Wärmeabgabe durch Wärmestrahlung Wärmeleitung Konvetion chwitzen (= Verdunstungsühlung) möglich? Wie viele Liter chweiß muss während zwei tunden die Person absondern um die Körpertemperatur onstant zu halten? Die Verdunstungswärme je g Wasser (chweiß) beträgt bei.5 C Q.4 0 J/g ( 000 g/m ). V 5) Die Person von 4) arbeitet bei =.5 C acht tunden lang wodurch sich während der Arbeitstätigeit der toffwechsel verdoppelt (P statt P). Wie viele Liter Wasser muss die Person trinen um den Flüssigeitsverlust durch chwitzen auszugleichen? HO 39 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni ) Der chweiß verdunstet von der Hautoberfläche nur wenn der Wasserdampfgehalt in der mgebungsluft (Lufttemperatur ) geringer ist als der bei maximal mögliche Wasserdampfgehalt (= ättigungsmenge = 00% relative Luftfeuchte ). Diese Wasserdampf-ättigungsmenge beträgt bei =.5 C etwa 40g Wasser/m Luft (= absolute Luftfeuchte ). Was stellt bei diesen Bedingungen z. B. in feuchten Tropengebieten ein Mensch an sich bezüglich der Transpiration fest? Aufgabe G (Lösung): Thermisch-energetische Betrachtung des Menschen ) t 4 h s P W / t / W P th 0 P W ) TH 7.5 K K K T 7.5 K K K Pth ab AK ( TH TK ) ( ) 4.5 W P 97 W : Die Person friert! P th ab 4.5 W P 84 W : Die Person friert nicht sondern sie schwitzt! Durch chweißabsonderung (= Verdunstungsühlung) wird die Wärmeleistung P Pth ab W abgeführt und damit die Körpertemperatur K =.5 C onstant gehalten. ) Pth ab AK Luft ( TH TK ) / d 0.04 ( ) / W P 97 W. Da näherungsweise P th ab 0.4 W P 97 W bleibt die Körpertemperatur onstant; die Person friert nicht! TK 7.5 K K P th ab AK Luft ( TH TK ) / d P d AK Luft ( TH TK ) / P 0.04 ( ) / m.85 cm 4) T K 7.5 K K T H T K 0 : Keine Wärmeabgabe durch Wärmestrahlung Wärmeleitung Konvetion möglich nur durch chwitzen! Q m (.4 0 J/g) m P t J Q V m /(.4 0 ) 0.9 g H O V H O H O mho 0.9 VH 0.9 l O H O 5) P 94 W P * t * 8 h s QV mh P * t* J O mh O P * t * VH. l O H.4 0 O QV H O ) Bei 00% rel. Luftfeuchte verdunstet der chweiß nicht von der Hautoberfläche sondern rinnt infolge der chwerraft in Bächlein an der Körperoberfläche abwärts! 4 4 40 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni Aufgabe G: Entladung einer Gewitterfront Ein loales Wärmegewitter wird durch eine Gewitterwole verursacht die sich in h = m mittlerer Höhe über dem Erdboden befindet und eine Flächenausdehnung A 0 m 0 m hat. ) Wie groß ist in etwa die eletrische Kapazität C der eletrisch geladenen Wole gegenüber dem (schwach) eletrisch leitfähigen Erdboden (Modell: Plattenondensator!)? ) Die mittlere eletrische Durchschlagfeldstäre E D in Luft (ormal bedingung 0 C.0 bar) für lange chlagweiten h im inhomogen verteilten E-Feld zwischen Wole und Erdboden in feuchter Luft wird mit nur E D = V/cm abgeschätzt (Durchschlagsfeldstäre bei trocener Luft und langer chlagweite E D = 5 V/cm). Wie groß muss die eletrische Potentialdifferenz zwischen Wole und Erdboden sein damit ein el. Überschlag ( Blitz ) zustande ommt? Wie groß ist bei dieser pannung die Aufladung der Wole (Ladungsmenge Q) gegenüber Erde gewesen? ) Die Entladung der Gewitterwole erfolgt während des Gewitters schrittweise in z = 00 aufeinander folgenden Blitzen mit der mittleren Blitzdauer T = ms. Welche Ladungsmenge Q und damit welche Blitzstromstäre fließen im Mittel je Blitz zur Erde ab? Wie groß ist die Entladeleistung P je Blitz und die Gesamtleistung P ges näherungsweise (wenn = onst. angenommen wird)? 4) Wie groß ist zu ) die je Blitz umgesetzte Wärmemenge W in der Lichtbogensäule des Blitzes in J und Wh? 5) ehmen ie an dass sich die Gewitterwole in einem einzigen Blitz vollständig entlädt. Berücsichtigen ie daher (gegenüber ) etwas genauer) dass während der Zeit T = ms die pannung u(t) linear auf ull sint und der trom ges onstant ist. Wie groß sind die mittlere Leistung P ges und die thermische Gesamtenergie W? Wie lange muss eine MW- Windenergieanlage im ennpunt betrieben werden um dieselbe el. Energie zu erzeugen? Erachten ie aus auf Basis dieses Vergleichs für lohnend aus Gewitterwolen eletrische Energie zu gewinnen? Aufgabe G (Lösung) : Entladung einer Gewitterfront ) 7 Luft: r C 0 r A/ h (0000) / μF ) ED h V 00 MV Q C C 88.5 A s ) Q Q / z 88.5/ A s Q / T 0.885/0 885 A P GW P ges z P TW 4) W P T / MJ Wh! 5) - Q / T 88.5/ A u( t) ( t / T ) 0 t T ges 41 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni p( t) u( t) ( t / T ) P ges W P T 8 p( t) dt / 0 T ges 0 T / J 9. Wh W 4.4 TW t * W / P /(0 ) 475 s 4. min Auf Grund der relativ geringen Energie ist es technisch nicht lohnend aus Gewitterwolen el. Energie zu gewinnen! Aufgabe G: Energienutzung - Bügeleisen Ein eletrisches Bügeleisen hat bei einer Einphasen-Anschluss-Wechselspannung 0 V (effetiv) 50 Hz eine Wirleistungsaufnahme P = 00 W für die eletrische Widerstandsheizung zum Aufheizen auf = 0 C. Der el. Widerstand ist ein Manganin- Bandleiter mit der Breite b = 8 mm und Dice d = 0.0 mm. Manganin (CuMni) ist der Marenname einer Kupfer-icel-Mangan-Legierung mit einer Massen-Zusammensetzung ca. 8 % Kupfer ca. 4 % Mangan und ca. % icel und hat einen mittleren spezifischen eletrischen Widerstand von ca. = Ω m mit einer geringen (hier vernachlässigten) Temperaturabhängigeit. Die Bügeleisenoberfläche beträgt A B = x 7 cm. ) Wie sind der ennstrom die ennstromdichte J die Verlustdichte P /V im Manganin-Band dessen ohm scher Widerstand bei 0 C und die Bandlänge l ( V ) Während Manganin einen sehr geringe Temperaturabhängigeit ( T ) onst. b d l )? aufweist hat Kupfer mit / 0C 57 M/m und Cu / 55 K.9 0 /K eine relativ große T- Abhängigeit. Welche beiden Gründe sprechen gegen einen Einsatz von Kupfer als Heizbandmaterial? Bestimmen ie dazu die Länge des nötigen Kupferbands lcu bei gleichem b und d! ) st das Bügeleisen auch bei 0 V 0 Hz mit gleicher Leistung einsetzbar? n den A wird aus icherheitsgründen die Einphasen-Haushaltsspannung 0 V bei 0 Hz verwendet. Würde das Bügeleisen auch bei dieser pannung funtionieren? Bestimmen ie dazu die Heizleistung P! 4) Als eise-bügeleisen ist das Bügeleisen bei P umschaltbar für 0V/50Hz- und 0V/0Hz-Betrieb. Dies erfolgt über eine Anzapfung des Heizbands so dass bei 0 V nur ein Teil der Länge bestromt wird. Bei welcher Länge l muss die Anzapfung angebracht werden? Wie groß sind bei 0 V die Werte J und die Verlustdichte P / V? 5) Das Heizband wird (über einen Thermostat) ein- und ausgeschaltet so dass sich im Mittel 0 C an der Metalloberfläche des Bügeleisens einstellen. Wie groß ist die abgestrahlte Wärmeleistung P rad bei 5 C mgebungstemperatur (tefan-boltzmann-konstante = J/(m K 4 s)) wenn die wirsame trahlungsoberfläche A auch teilweise die eitenflächen des Bügeleisens umfasst ( A.8 A )? Aufgabe G (Lösung): Energienutzung Bügeleisen ) P 00 / A /( b d ) 5.5/(8 0.0) 5. A/mm / J B - - 42 Aufgabensammlung Grundlagen / 4 Energietechni P P l / V /( b d l) J b d b d l b d / V (5.0 ) W/m 0.5 W/mm b d / 0 / Ω l /( b d) l. m 0.4 Kontrollrechnung: V b d l. 08 mm P / V 00 / W/mm 0 0 Hinweis: Das lange Widerstandsheizband wird im Bügeleisen in piralen und Mäandern verlegt um innerhalb der Bügeleisenoberfläche x 7 cm Platz zu finden. ) 9 (/ 57) Ω m 0C 0C 0 K 0C 0C 0C Cu 7.54 b d l Cu (.9 0 0) Ω m 7.7 m a) Das Kupferband wäre auf Grund der höheren Leitfähigeit viel zu lang (0-fach!) für das nterbringen im Bügeleisen. b) Wegen P sint mit steigender Temperatur die Heizleistung! 0 ( Cu ) ) Ja da unabhängig von f ist tritt dieselbe Heizleistung auch bei 0 Hz auf. P P / P ( / ) (0/ 0) 0. P W Die Heizleistung P 97 W ist zu lein. Das Bügeleisen wird nicht oder nicht rasch genug heiß; das ist unbrauchbar. 4) 0 b d 9. P /00 9. Ω l l l..7 m 40.7 P / 00 /0.8A /( b d).8 /(8 0.) 7.8A/mm J P / V (7.80 ) J.8 W/mm Der Heizbandabschnitt zwischen Beginn und Anzapfung wird bei 0 V-Betrieb deutlich höher thermisch belastet (ca. vierfach!). 5) T heiss K T alt K tefan-boltzmann-trahlungsgesetz: P A ( T T ).8 A ( T T ) rad heiss 4 alt B (0.5 4 heiss alt ) 497 W Aufgabe G4: Wassererwärmung mit Durchlauferhitzung Für die Warmwasser-utzung im Haushalt soll strömendes Wasser im Durchlauf von 5 C Eintrittstemperatur auf 0 C erhitzt werden. 43 Aufgabensammlung Grundlagen / 5 Energietechni ) Wie groß ist die erforderliche Heizleistung P um einen Volumenstrom von 8 l/min zu erhitzen ( c 4.8 J/(g K) g/l )? H O H O ) Der Durchlauferhitzer wird mit einem Erdgasbrenner betrieben. Berechnen ie den Erdgasverbrauch V Gas für die Entnahme von 80 l heißem Wasser ( H 5 MJ/m )! Wie lange dauert die Wasserentnahme? Wie groß ist die Heizenergie W? ) st der Durchlauferhitzer mit einer eletrischen Widerstandsheizung im Haushalt mit Einphasen-tromreisen die mit A-icherungen abgesichert sind sinnvoll realisierbar? Berechnen ie dazu den effetiven ennstrom der Widerstandsheizung bei 0 V 50 Hz! 4) Wie groß wäre der trombedarf bei einer Drehstrom-Widerstandsheizung? Aufgabe G4 (Lösung): Wassererwärmung mit Durchlauferhitzung ) m V Q m c P Q / t m c / t V c / t c V / t c V K P H O ch O V / 0 5 W 5. W ) t 80 l /(8 l / min) 0 min Q P t J 5.07 MJ Erdgas: Heizwert: H 5 MJ/m V Gas Q / H 5.07 / m W Q 5. MJ ) cos : ph P P ph A A 0 Eine el. Widerstandsheizung ist für Durchlauferhitzer nicht sinnvoll weil die Heizleistung viel zu groß ist so dass sich ein zu großer eletrischer trombedarf ergäbe. 4) P 5 cos : P ph.4 A A ph 0 Auch bei einer Drehstromheizung wäre der eletrische trombedarf für A-icherungen noch zu groß. Aufgabe G5: tromleitung im el. Leiter und solator n den Aluminium-Leitern einer 0 V-Drehstrom-Freileitung (spez. el. Widerstand 8 Al 0C.94 0 Ω m ) fließt Wechselstrom i(t) mit der tromdichte J(t) dem Effetivwert und der Kreisfrequenz f. icht nur dieser trom erregt ein Magnetfeld H um die Leiter sondern gemäß dem Ampere-Maxwell-Gesetz auch die Verschiebungsstromdichte JD ( t) D / t (D: dieletrische Verschiebung). D H ( t) ds i( t) da t C A Dabei ist C eine geschlossene Kurve um die betrachtete Leiterachse und A deren aufgespannte Fläche. 44 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni ) Betrachten ie im Folgenden einen geraden Leiter (Leiterachse = z-achse da da ez e z ) mit der el. tromdichte J J ez mit der diese tromdichte treibenden eletrischen Feldstäre E E ez dem loalen ohm schen Gesetz E J und dem dieletrischen Gesetz D E r 0 ( r Al ). Zeigen ie dass bei f = 50 Hz der Beitrag von J D zur H-Felderregung gegenüber J völlig unerheblich ist! Verwenden ie dazu die omplexe Wechselstromrechnung! ) Die Freileitung überträgt die cheinleistung 0 MVA. Berechnen ie den Leiterstrom je Phase und die von ihm erregte H-Feld-Amplitude am Erdboden: Die Bodenoberfläche befindet sich parallel zur Leiterachse in einer Distanz h = 5 m unter dem Leiter. Wie groß ist die zugehörige magnetische Flussdichteamplitude Bˆ im Vergleich zum Erdmagnetfeld B E 50 μt? ) Bei welcher Betriebsfrequenz f* ist der Beitrag von J D zur H-Felderregung gleich groß wie der von J? 4) Die Leiter sind über Porzellanisolatoren ( 0 Ω m r ) an den Masten befestigt. Auf Grund von fließt wegen E J ein sehr leiner ohm scher Ableitstrom (tromdichte J ) über die solatoren zu den geerdeten Masten. Bei welcher Betriebsfrequenz * f ist der Beitrag der Ableit-Verschiebungsstromdichte JD (verursacht von E ) zur H- Felderregung um den solator gleich groß wie jener der solator-leiterstromdichte J? 5) Wie groß ist bei 50 Hz der resultierende Ableitstrom a durch den solator dessen Durchmesser D = 0 cm und dessen Höhe h = 0 cm betragen? Berechnen ie die von ihm erregte Magnetfeldamplitude Ĥ um den solator im Abstand d = 0 cm von der solatorachse! Hat dieses Feld eine nennenswerte Größenordnung? Aufgabe G5 (Lösung): tromleitung im el. Leiter und solator ) ur auf der Leiterquerschnittsfläche A q innerhalb der Fläche A sind J J D nicht ull: D D i( t) J da J da JD da da da t t A A q A Komplexe Wechselstromrechnung: j j J t J t J e e t J e j ( ) cos( ) e e t J ( t) J j t H ds j D da J da j D da ( J J ) da C A A A A Aq ( J J q q q q q D j D j E j J J D / J JD / J f. J E / J A D A D ) da Bei f = 50 Hz im Alu-Leiter bei 0 C: 8 7 J D / J f Die Verschiebungsstromdichte J D ist um Größenordungen leiner als die Leitungsstromdichte und erregt daher nur den Bruchteil /0 des H-Felds. hre Wirung ist daher vernachlässigbar lein. ) /( ) 0 0 /( 0 0 ) 88.7 A 45 Aufgabensammlung Grundlagen / 7 Energietechni C H ds H ( r) r j D da A q H ( r h) h ˆ ˆ 88.7 A H ( r h) ˆ ˆ 7 B 0 H 4 0. μt h 5 m Bˆ / BE./ ) 5 JD f * J J f *.4 0 Hz ) * * J D f J J f 0.00 Hz Das Magnetfeld um den solator wird bei der Betriebsfrequenz 50 Hz nahezu ausschließlich von der Verschiebungsstromdichte J D im solator erregt. Der Ableitstrom spielt dabei (nahezu) eine olle. 5) ph 0000 / E 5775 V/m 0.58 V/cm h 00 0 J J J E D a / 5775 /0 j f J J j J D J a A/m j J J D J D A/mm j a Ja D / 4 JD D / / 4 7.μA ˆ ˆ a 7. 0 μa H ( r d) 7. d 0. m Das Magnetfeld um den solator hervorgerufen durch den (leinen) Ableitstrom ist vernachlässigbar lein! A/m Aufgabe G: tromverdrängung n den Leiterseilen der Freileitungen und Kabel fließt Wechselstrom (Effetivwert Frequenz f) als utzstrom dessen zeitlich veränderliches Eigenfeld in den Leitern selbst eine el. pannung induziert die Wirbelströme auf geschlossenen trombahnen in den Leitern treibt. Diese schädlichen Wirbelströme verursachen zusätzliche tromwärmeverluste. Die Überlagerung der tromdichteverteilungen von utz- und Wirbelstrom führt bei Leitern mit reisförmigem Querschnitt (Leiterradius ) zu einer erhöhten tromdichte am Leiterrand (J a ) und zu einer verringerten tromdichte in der Leitermitte. Diese tromverdrängung in el. Leitern (Permeabilität Leitfähigeit ) zum Leiterrand hin tritt ab > d E deutlich auf und ann in Abhängigeit der adialoordinate r näherungsweise (für >> d E ) durch die radiale effetive tromdichteverteilung ( r) / d J ( r) J e E a de / f 0 r mit der Eindringtiefe d E beschrieben werden. ) Berechnen ie mit J(r) den Effetivwert des Leiterstroms a) zunächst allgemein und b) mit Beachtung der Bedingung >> d E! 46 Aufgabensammlung Grundlagen / 8 Energietechni ) st bei gegebenem adius die Bedingung >> d E bei hohen oder niedrigen Frequenzen f gut erfüllt? Wie groß muss der Leiterradius eines Kupferleiters ( M/m 57 C 0 Cu 0 Cu ) bei 50 Hz sein damit /d E zumindest größer als.5 ist? ) Zeigen ie dass für ausreichend hohe tromverdrängung (also >> d E ) die tromdichte nahezu gänzlich mit dem Wert J a in einer Leiterschichtdice d E ( Hauteffet ineffet ) fließt! Wie groß ist der sich einstellende el. Widerstand AC eines Leiters mit der Länge l gegenüber dem Gleichstromwiderstand DC ohne tromverdrängung? Geben ie AC / DC für /d E = an! Wie groß sind in diesem Fall die Wirbelstromverluste P Ft im Leiter im Vergleich zu den ohm schen Verlusten bei Gleichstrom DC DC P? 4) Einleiter-Freileitungsseile werden bei 50 Hz typisch mit Aluminium-Querschnittsflächen bis ca. 00 mm ausgeführt ( M/m 4 C 0 Al 0 Cu ). Da die einzelnen Drähte eletrisch parallel geschaltet (und nicht isoliert) sind wiren sie in etwa wie ein vergleichbarer massiver undleiter mit gleicher Querschnittsfläche. st der tromverdrängungseffet dabei signifiant groß oder vernachlässigbar lein? (Abschätzung!) Aufgabe G (Lösung): tromverdrängung ) a) r d r A r r e J r r r J r r r J A J 0 0 ) / ( a 0 0 d d ) ( d d ) ( d E d r d r r e e J 0 / / a d E E Partielle ntegration: u v v u v u d d E / / E E d d d d d e v r u r e v r u d r d r E E E E E / E / E / E / E / d d d r d r d r d r d r e d r e d r e d r e d r r e E / E E 0 / E E ) ( d d e d d r r e d d r E / E E E a e d d d J d b) ) ( 0 : / E E a / E E d d J e d d ) f d d d / ~ / E E E Die Frequenz f muss ausreichend hoch sein damit die Bedingung gut erfüllt ist. / E d 4. mm 0.04 m / 7 Cu 0 E E f d d ) ) ( : / E E a E d d J d Hautstrom -Fläche: ) ( ) ( ) ( E E E E E d d d d d A A d d d d A d ) ( ) / ( E E / E E E a / J A J DC DC l A l ) ( E E AC AC d d l A l A l 47 Aufgabensammlung Grundlagen / 9 Energietechni ADC ADC AC / DC A / ( ) d AC d E A de de E d ( E ) AC / DC / d E ( ) PAC PFt PDC PDC PFt PDC: Die Wirbelstromverluste P Ft sind bei / d E nährungsweise genauso groß wie die Verluste bei Gleichstrom DC =. Bei größeren Werten / d E sind sie höher als die Gleichstrom-Verluste! 4) A A/ 00/ 9.77 mm de 0.0 m. mm f 7 0 Al / de 9.77 /. 0.8 : Der tromverdrängungseinfluss ist bei 00 mm und 50 Hz für Aluminium in erster äherung vernachlässigbar lein. Aufgabe G7: onnenstrahlung Poynting-Vetor Die onne bestrahlt die Erde mit ca. 400 W/m ( extraterrestrische olaronstante ). Diese trahlung ann auf Grund der großen Distanz der Erde von der onne in Erdnähe näherungsweise als ebene eletromagnetische Welle mit unterschiedlichen Frequenzen entsprechend dem solaren trahlungsspetrum beschrieben werden. ) ehmen ie vereinfachend an dass die solare trahlung mit einer einzigen Frequenz erfolgt! Ermitteln ie dazu über den Poynting-Vetor pg die zu ihm und zueinander normal gerichteten Feldvetoren E H dieser onnenstrahlung! utzen ie dazu die Beziehung des Wellenwiderstands Z 00 im Vauum gemäß Ê Z0 0 Ĥ und Z /0. Bedenen ie dass in der ebenen Welle im Vauum E und H bei jeder Kreisfrequenz in Phase schwingen! ) Wie groß ist die dabei auftretende Magnetfeldamplitude im Verhältnis zum Erdmagnetfeld 50 μt? B E ) Vergleichen ie das Ergebnis von ) mit dem Poynting-Vetor pgf einer 0 V- Einphasen-Freileitung für Bahnstrombetrieb.7 Hz die = P = 0 MW el. Wirleistung überträgt! Die beiden Leiter haben einen Leitermittenabstand = 4. m und einen Leiterradius = 0 mm. Vernachlässigen ie den Einfluss des (schwach) el. leitfähigen Erdbodens auf ullpotential für die E-Feldberechnung. Bestimmen ie pgf in der Mitte der Verbindungslinie zwischen den beiden Leitern ( Punt 0 ) und berechnen ie pg / pgf! 4) Wie groß ist der Wellenwiderstand Z 0 der leitungsgeführten Welle der Freileitung von ) im Vergleich zu Z 00 der strahlungsgeführten Welle von )? Aufgabe G7 (Lösung): onnenstrahlung Poynting-Vetor ) Bei jeder Kreisfrequenz gilt: E( t) Eˆ cost H ( t) Hˆ cost E H pg 48 Aufgabensammlung Grundlagen / 0 Energietechni pg E H z. B. E E( t) ex H H ( t) ey E(t H ( t) e e E(t H ( t) e t) e pg 0 pg ) x y ) z pg ( ˆ ˆ ˆ ˆ E H ( t) E cost H cost ( cos(t)) T ˆ ˆ T ˆ ˆ ˆ ˆ E H E H Z00 H 0 H pg ( t) dt ( cos( t)) dt T T 0 0 ˆ H A/m Z Ω E ˆ Z Hˆ V/m 0.0 V/cm 00 ) ˆ ˆ 7 B 0 H μT B ˆ / B E.4/ ) / P / 0 0 /(0 0 ) 545 A. Da reine Wirleistung übertragen wird sind u und i in Phase und folglich auch E ~ u( t) ˆ cos t und H ~ i ˆ cost in Phase: E( t) Eˆ cost H ( t) Hˆ cost. Mit ˆ ˆ und H d s folgt in Punt 0 (bei r = /) (Bild 7. a): H-Feld des Hinleiters: H( t) cost ey ( / ) H-Feld des ücleiters: H( t) cost ey H( t) ( / ) H ( t) H( t) H( t) H( t) cost ey ( / ) ˆ 545 H.8 A/m ( / ) (4./ ) z C 0 a) b) Bild G7.: a) Magnetfeld H zwischen den beiden Leiterströmen b) Dieletrische Verschiebung D zufolge der Leiterladung +Q Mit D d A Q folgt in Punt 0 (Bild G7. b): A Für den Hinleiter: D ( t) l Q( t) Für den ücleiter: D( t) l Q( t) somit 49 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni Q Q D ( t) cost ex D( t) cost ex D ( t) l ( / ) l ( / ) Q D( t) D ( t) D( t) cost ex Q C l ( / ) l 0 Gemäß Kap. V für / = 0/400 = << : C ln( / ) ˆ Q C l 0 0 D l ( / ) l ( / ) ln( / ) l ( / ) ln( / ) ˆ ˆ D 0 0 E 4 V/m ln( / ) 4. ln(4./ 0.0) pg F 0 Eˆ Hˆ / 4.8 / 78 W/m 78 / pg F / pg Die loale Leistungsdichte zwischen den beiden Leitern ist ca. 50-mal größer als die solare Leistungsdichte. Allerdings ist diese Leistungsdichte etwa auf das Gebiet zwischen den Leitern begrenzt während die solare Leistungsdichte auf der gesamten projizierten Erdoberfläche herrscht. 4) 0 Δ Δ ln ln ln L / l 0 Z 0 Z00 C / l 0 0 ln 4. ln ln Z Z Ω Z 0 0 Aufgabe G8: Kochplatte Eine eletrische Kochplatte für = 0 V 50 Hz besteht aus zwei identischen Heizwiderständen je = 0 womit zwei Heizstufen realisiert werden. Bei tufe sind beide Widerstände in erie geschaltet bei tufe beide parallel geschaltet. ) Wie groß sind tromaufnahme und eletrische Leistung P e bei tufe und? ) n einem Metalltopf sollen Liter Wasser auf der Kochplatte ausgehend von 5 C zum ieden bei ormaldruc 0 mbar gebracht werden. Wie lange dauert dieser Vorgang bei tufe und wenn auf Grund der Wärmeverluste an die mgebung nur 75% der eletrischen Leistung für die Erwärmung nutzbar sind ( c 487 J /(g K) H O 000 g/m )? Aufgabe G8 (Lösung): Kochplatte ) tufe : erienschaltung: res 0 0 Ω 0 /0.9 A P W / res e H O 50 Aufgabensammlung Grundlagen / Energietechni tufe : Parallelschaltung: res / 0 / 0 Ω / res 0 / A 4 Pe W 4 Pe ) Wasser siedet bei ormaldruc bei 00 C K th th Pe. 75 V l m V H O g P 0 Pe m ch O Pth T m ch O T th Pe m ch O tufe : T 5 s 5.88 min th Pe m ch O m ch O tufe : T 5/ 4 s 5.88 / 4 min 8.97 min P P th e th 4 e 51 Aufgabensammlung essourcen / Energietechni Aufgabe : Windpar Ein Windpar soll offshore für eine ennleistung P ges = 00 MW installiert werden. Die Windturbinen sind für jeweils P = 5 MW zu bemessen bei einer Wind-enngeschwindigeit von v = m/s bei einer abenhöhe des Turmes von h = 5 m! ) Wie viele Turbinen werden benötigt? Wie groß ist der otorblattdurchmesser D wenn der Leistungsbeiwert c p nur 90 % des theoretisch maximal möglichen Werts beträgt und der Anlagenwirungsgrad η = 0.9 ist (γ L0 C =.9 g/m³)? ) Wie groß ist der Grundflächenbedarf A ges wenn je Windturbine eine quadratische Grundfläche mit der eitenlänge D vorgegeben wird? Wie groß ist die eitenlänge L des auf quadratischer Gesamtfläche A ges angedachten Windpars? ) Wie groß ist die cheinleistung des Windpars wenn die Frequenzumrichter der einzelnen Windraftanlagen eine apazitive Blindleistung Q C von 0 % der ennleistung zur Verfügung stellen? Wie groß ist der cosφ im Verbraucherzählpfeilsystem (Vorzeichen!) im generatorischen Betrieb des Windpars? 4) Je Windraftanlage wird über einen Transformator die 50 Hz-Ausgangsspannung des Frequenzumrichters auf V (verettet) hoch gesetzt! Wie groß ist der effetive ennstrom je Anlage? 5) Die cheinleistung des Windpars wird über einen zentralen V/50 V-Transformator (η T ) und ein dreiphasiges 50 V-AC-eeabel an Land transportiert. Wie groß ist der ennstrom des eeabels? ) Wie groß ist der Jahresenergieertrag W ges bei einer mittleren Volllaststundenzahl je Anlage von 4000 h? Wie viele -Personenhaushalte (el. Jahresenergiebedarf W a = 500 Wh) önnen versorgt werden? Aufgabe (Lösung): Windpar ) z Pges / P 00/5 0Turbinen c / 7 c 0.9 / p max Turbinenleistung: P ) A ges z L Ages ) Q. P C ges p T A v cp L P / PT D m 879m² 8.m² 0 ges ges P 879m² 9m.0m 0.00MW 0MVar Q ges.mva Generator: Verbraucherzählpfeilsystem P 0 : P ges 00MW Pges 00MW cos 0.8 ges.mva 4) ges.mva 5.8MVA z VA V 0A 0 V 5000/ W ³W D² A 9405m² D 09.4m 0.5.9(m / s) 4 52 Aufgabensammlung essourcen / Energietechni 5) ) W z ges H.0 VA 50000V t P W W ges a ges 449A 4000h 00MW 400GWh Wh Wh Aufgabe : Gezeitenturbine Eine Propeller-Gezeitenturbine soll in 5 m Wassertiefe aus der Gezeitenströmung eletrische Energie gewinnen! ) Wie groß ist die Turbinenleistung theoretisch maximal bei einer trömungsgeschwindigeit v = 0 m/h und einem otordurchmesser D = 5 m? ) Wie groß wäre im Vergleich dazu der otor D W einer Windturbine bei gleicher Leistung und v W = m/s? (γ L0 C =.9 g/m³) ) Wie groß ist der Jahresenergieertrag W wenn je Tidenhub die trömungsgeschwindigeit v für 4 h auftritt? Der Gesamtwirungsgrad des Gezeitenraftwers beträgt η KW = 0.8. Wie viele Haushalte zu je W a = 500 Wh/a (Jahresenergienutzung) önnen versorgt werden? 4) Mit wie vielen chwimmern als hohle Zylinder der Länge b = 0 m muss ein Meereswellenraftwer ausgerüstet sein um bei Meereswellen mit der Wellenhöhe H = m und der Wellenlänge λ = 0 m dieselbe theoretische Energieausbeute aufzuweisen wie bei )? Aufgabe (Lösung): Gezeitenturbine ) g 5m 000m P T 0.5 H O A v MW 7 7 m³ 4 00s ) DW PT 0.5 L0C Av 0.5 L0C v.mw W W PT W DW 80m DW 5m g m L0C v W m s ) Flut: Mal pro Tag. Betriebsstunden pro Jahr: t B 5d 4h / d 90h W PT KW tb.mw h.GWh W.GWh ZH 749 Haushalte W a 500Wh 4) P' H g T g 9.8m / s 0m 0m H 0 v ph.95m/s T.5s b v.95m/s H g T g P ' b H 0 0m 000 m P / P'.MW / 90.7W 4 T m 9.8m /s² ph.5s 90.7W 53 Aufgabensammlung essourcen / Energietechni Aufgabe : Dieselraftstoff Dieselraftstoff besteht aus C-H -Moleületten mit ca. 9 C-Atomen je Moleül. Bei der Verbrennungsreation entstehen je CH -Gruppe Wasser (H O) Kohlendioxid (CO ) und Wärmeenergie 50 J/mol. Die Dichte von Diesel beträgt etwa 0.8 g/l. ) Wie viel Wärmeenergie wird bei der Verbrennung von g Diesel frei? ( C-sotop H- Atom). nd wie viel Wh je Liter? ) Wie groß ist dabei die erzeugte Masse an CO -Gas und an Wasserdampf H O (auerstoff: O-sotop) je g verbranntem Dieselraftstoff? ) Wie groß sind diese Werte je Wh freigesetzter Verbrennungswärme? 4) Wie groß ist im Vergleich dazu die freigesetzte Menge an CO bei der Verbrennung von g Anthrazit (Annahme: reiner Kohlenstoff!) (Heizwert: MJ/g) und je Wh Verbrennungswärme? Kommentieren ie den Vergleich der Ergebnisse von 4) mit )! 5) Wie groß ist die erzeugte CO -Masse je eletrisch erzeugter Wh in einem thermischen teinohle-kraftwer im günstigsten Fall wenn die Wirungsgrade aller eingesetzten Komponenten (Generator Turbine Transformator Pumpe Beleuchtung ) 00 % und die Wasserdampfeintritts- und Austrittstemperatur im Clausius-anine-Zylus 50 C und 5 C betragen? ) Bei einem realen ennwirungsgrad eines modernen teinohleraftwers η = 4 % wird je erzeugter Wh eletrischer Energie welche Masse an CO freigesetzt? nd wie viel bei einem dieseleletrischen Kraftwer mit η = 40 %? Aufgabe (Lösung): Dieselraftstoff ) Masse von CH : m m 4 m g m u u 500 J mol.00 Teilchen Energie je CH -Teilchen : W CH.00 g 50 0 J 7 W g WCH J 4.4 MJ m 7 CH Es wird je g verbranntem Diesel 4.4 MJ an Wärmeenergie freigesetzt Wh 4.4MJ Wh 0.J W '.0 g g Diesel : g ˆ.5l 0.8l W ' ) 4.4. Wh l.5 C 0. O Wh l CH : CO : u u u m 44m H O: H O 8 mu g g Anzahl der CH -Teilchen je g: 44mu.4 g CO 4mu 4mu g 8m u.9 g HO 4mu Je g verbranntem Dieselraftstoff werden.4 g CO und.9 g H O freigesetzt! CH 54 Aufgabensammlung essourcen / 4 Energietechni ) 0. Wh/l Je l verbrannter Diesel: CO : H O:.9 g g.9 g.5l.0 g l.4 g g.4 g.5l g.5 l g.5 g CO : l g Wh 0. Wh Wh l g.0 g H O: l 0. Wh 0. Wh l Je Wh erzeugter Wärmeenergie wurden bei der Dieselverbrennung 44 g CO und 00 g H O erzeugt. 4) Anzahl g C-sotope je g reinem Kohlenstoff: c mu 44mu Masse von CO je g verbranntem C: g.7 g mu 0 J.7 g CO 0Wh 7g CO je Wh J.0 0Wh Wh Je g verbranntem Kohlenstoff werden.7 g CO erzeugt; je erzeugter Wh 7 g!.4 Kommentar: Bei der Verbrennung von g Dieselraftstoff wurden nur 85. % der.7 CO -Masse wie bei der Verbrennung von g C erzeugt. Bezogen auf gleiche Verbrennungswärme Wh sind es nur 44 g.5 % da auch die 7g H -Verbrennung zur Wärmeerzeugung bei der Dieselverbrennung beiträgt. 5) Da alle Komponenten-Wirungsgrade 00 % sind verbleibt nur der Wirungsgrad des Clausius-anine-Prozesses. Dieser ist im besten Fall der Carnot-Wirungsgrad (als theoretische Obergrenze): T ab C 0.8 Tzu Für Wh erzeugter eletrischer Energie sind im günstigsten Fall. 47 -mal so viel 0.8 thermische Energie nötig!.47 7g 59g CO je Wh el 55 Aufgabensammlung essourcen / 5 Energietechni ) teinohleraftwer: Dieseleletrisches Kraftwer: 798g 800g CO / Wh el 44 0g CO / Wh el 0.4 Aufgabe 4: Eletrofähre Eine Fähre für den Personen- und Fahrzeugverehr zur Querung eines Fjords in orwegen ( m Distanz) für 0 Personen und 0 Fahrzeuge soll rein eletrische angetrieben werden. ) Welche Arbeit in MJ und Wh müssen die beiden eletrischen Antriebsmotoren verrichten wenn der trömungswiderstand der 80 m langen Leichtbau-Fähre (Aluminium-umpf) 90 beträgt? ) Wie schnell muss die Fähre im Durchschnitt fahren um eine Fahrzeit von 0 min. einzuhalten? Wie groß sind die mittlere Antriebsleistung der Fähre und der beiden Eletromotor-Propeller-Einheiten? ) Mit den Wirungsgraden für Propeller (η p = 85 %) Eletromotor (η E = 9 %) mrichter für die Eletromotoren (η = 97 %) Kabel + Batterie (η B = 90 %) bestimmen ie den Energiebedarf für das Antreiben der Fähre je Fahrt! 4) Welchen Energieinhalt W B muss die Bordbatterie aufweisen wenn ohne achladen 0 Fahrten möglich sein sollen? Berücsichtigen ie für die ebenverbraucher (Beleuchtung Hilfsantriebe Belüftung ) eine mittlere Leistung von P v = 00 W! Welche Masse hat die Li-onen Batterie? (Energiedichte w B = 00 Wh/g) 5) Kann die Batterie die Antriebsleistung zur Verfügung stellen wenn bei otmanövern urzfristig die doppelte Motorleistung benötigt wird? (Leistungsdichte dp B /dm B = 00 W/g) ) orwegen dect seinen eletrischen Energiebedarf zu 00 % aus Wasserraftweren! Wie groß ist (näherungsweise) die für den Fährbetrieb erzeugte CO -Menge pro Jahr? Wie groß wäre sie bei einer Fähre deren beide Propeller durch chiffsdieselmotoren angetrieben würden die auch über geuppelte chiffsgeneratoren die eletrische Energie für die ebenverbraucher bereitstellen? (η Dieselmotor 0.4 Heizwert: Dieselraftstoff: H = 44 MJ/g mit.4 g CO -Erzeugung je g). Berücsichtigen ie 4 Fahrten der Fähre täglich! Wie groß ist der Dieselraftstoffbedarf in Liter je Jahr (γ Diesel 0.8 g/l) 7) n Deutschland werden beim atuellen Energiemix bei der Erzeugung der Energie aus unterschiedlichen Kraftwerstypen etwa 50 g CO je erzeugter Wh eletrischer Energie erzeugt! Wie groß wäre die für den eletrischen Fahrbetrieb der Fähre erzeugte CO -Masse pro Jahr im Vergleich zum chiffsdieselantrieb? Berücsichtigen ie % mwandlungsverluste auf eletrischen Leitungen vom Kraftwer zur Batterieladestation und für das Laden der Batterie ein Wirungsgrad η B = 0.9! Aufgabe 4 (Lösung): Eletrofähre ) W A F s J 50 Wh ) s 000 m m t 0min : v 0 t 00 s h P F v W 900W je Motor 450 W 56 Aufgabensammlung essourcen / Energietechni ) WA Wh je Fahrt p E B ) Je Fahrt: ebenverbraucher: Energiebedarf: Pv t MJ.Wh 0 Fahrten: Energieinhalt der Batterie: W B Wh Wh m B 500 Wh / 00 5g. t g 5) Kurzzeitig: Pmax P W W PB 00 5g 795.W. Pmax : Es existiert also eine ausreichende g Batterieleistungsreserve! ) trom aus Wasserraft: ahezu CO -frei: Die Fähre ist ohne CO -Erzeugung in Betrieb! Alternative: chiffsdiesel: 5 Tage 4 Fahrten 9.7.Wh 970 Wh/a 008MJ/a W W 008MJ/a 5887 g Dieselraftstoff/a 47.5 g/a Dieselmotor H MJ/g Kraftstoffbedarf / Jahr: 8077 Liter 0.8 g g CO -Menge/Jahr: g CO / a 0.5 t/a a g 7) El. Fährbetrieb: Energiebedarf der Fähre ohne Ladeverluste der Batterie: 9 70 Wh/a 970 Mit Ladeverluste: Wh/a 0.9 Mit Übertragungsverlusten: Wh/a Wh/a Erzeugte CO -Masse / Wh in den Kraftweren: Wh/a 0.5 g 94 g CO/a 94.7 t CO/a m Vergleich zum chiffsdieselantrieb: : % edution der 0.5 CO -Erzeugung durch den eletrischen Antrieb! Aufgabe 5: Braunohleraftwer Ein Braunohleraftwer besteht aus zwei Blöcen die jeweils den Kessel zur Erzeugung des Wasserdampfs die Dampfturbinen-Generator-Einheit den Kühlturm und den Bloctransformator zur Einspeisung in das eletrische etz umfassen. Der eletrische Wirungsgrad η el je Bloc im ennpunt als Verhältnis zwischen abgegebener eletrischer Leistung P ab = P el = P = 95 MW und zugeführter Leistung P zu (errechnet aus dem Heizwert der Braunohle) beträgt 4 %. ) Wie groß ist der tägliche Bedarf an ohbraunohle umgerechnet in t bei einem Heizwert von H i = MJ/g? 57 Aufgabensammlung essourcen / 7 Energietechni ) Die Braunohle ( B =.4 g/dm ) wird auf einem m langen und b =.5 m breiten Förderband diret vom Tagebau-Abbauort zum Kraftwer befördert. Wie groß ist der Massestrom m in g/s auf dem Förderband? Wie schnell müsste sich das Förderband bewegen wenn die Braunohle h = 0 cm hoch auf dem Förderband liegt? Wie viel Kohlemasse liegt auf dem Förderband? Wie groß ist die Abgabeleistung PFörder der E- Maschinen für die Kohlebewegung mit dem Förderband wenn die eibungsraft des Bandes % der Gewichtsraft beträgt? ) Mit der Abwärme der Kessel wird Wasser von 5 C auf 0 C bei 5 bar erhitzt das über eine 5 m lange Heißwasserleitung (ohrdurchmesser d = m) eine naheliegende tadt mit Fernwärme mit einer thermischen Leistung von P th = 500 MW versorgt. Wie groß ist der Pel Pth thermische Wirungsgrad des Kraftwers th? Wie groß ist der Heißwasserstrom Pzu in Liter / eunde? Wie groß ist die Fließgeschwindigeit v in m/s und m/h? Warum ist das Wasser auch bei 0 nicht dampfförmig sondern flüssig (spezifische Wärmeapazität von Wasser c = 487 J/(g K)? 4) Das Kraftwer ist für eine Betriebszeit im ennbetrieb von 7500 h/a ausgelegt. Wie groß ist die jährliche tillstandszeit? Wie viele -Personen-Haushalte (W H = 500 Wh el. Energie im Jahr) önnen gleichzeitig versorgt werden? Wie hoch ist dabei der jährliche Bedarf an Braunohle m B des Kraftwers? Wie lange ann das Kraftwer betrieben werden wenn der Kohlevorrat in der Lagerstätte des benachbarten Tagebaus 44 Mt Braunohle umfasst? 5) Wie viel Gramm CO werden je erzeugter Wh eletrischer Energie in die Atmosphäre abgegeben (Verbrennungsreation: C + O CO 94 J/mol mol =.0 0 m u =. 0-7 g sotope: C O). Wie viele t CO sind dies je eletrisch versorgter Person gemäß 4)? Aufgabe 5 (Lösung): Braunohleraftwer ) Pab 950 Erforderliche Leistung: P zu MW el 0.4 Energie pro Tag: ' 9 Wzu Pzu d MW 4 h/d 04.7 GWh/d Wzu Masse pro Tag: m ' 4.0 g/d 458 t/d H i 0 ) Wzu 4.0 g Massestrom: m 95. g/s H i 400 s Fördergeschwindigeit: m 95. m B A v B b h v v 0. m/s. m/h B b h Bewegte Masse: m B A L t Antriebsleistung: F g m g M F r Fg P F v W 47. W r J/d 58 Aufgabensammlung essourcen / 8 Energietechni ) Thermischer Wirungsgrad: Pel Pth th P zu Fließgeschwindigeit des heißen Wassers: Wth m c Pth m c H O V c mit 0 C 5 C 05 K t t Pth V.8 m /s 8 l/s H O c d V.8 V A v v v.45 m/s 5. m/h 4 d 4 4 Aufgrund des hohen Drucs von 5 bar bleibt das Wasser auch bei 0 C flüssig. 4) tillstandszeit: a 5 d 5 4 h 870 h t h 5.5 d Jährliche eletrische Energiebereitstellung: W el Wh 4.05 TWh Energiebedarf eines Haushalts während der Zeit t = 7500 h: ' 7500 W H 500 Wh 99. Wh 870 Versorgte Haushalte während der Zeit t = 7500 h pro Jahr: Wel.4050 n 4.8 Mio. 4.8 Mio. Haushalte d.h.4.04 Mio. Menschen W ' H 99.0 Braunohlebedarf: 7500 m B m' t 0.7 Mt 4 Laufzeit des Kraftwers: 44 0 t 44 0 T 40. a m B Dies entspricht etwa der Lebensdauer der Betriebsmittel. 5) Thermisch freiwerdende Energie je chemischer eation: Wh.5 Whth Ws 8.7 MJ el 0.4 n: Anzahl erforderlicher chemischer eationen C+O : 8.70 J n.48 mol J/mol Moleularmasse je chemischer eation: 7-7 m CO mu mu 44 mu g g CO -Masse je Wh el : -7 n mco g 0.95 g 95 g CO -Masse pro Jahr: 59 Aufgabensammlung essourcen / 9 Energietechni W n m el CO Wh 0.95 g/wh.0 Jährlich werden ca. Mio. t CO ausgestoßen. Emissionen pro Kopf (bezogen auf die vom Kraftwer eletrisch versorgten Personen): 9 '.0 g m CO 94 g / Person Jährlich werden ca. 94 g CO pro eletrisch versorgter Person vom Kraftwer ausgestoßen. 9 g Aufgabe : Aufwindraftwer n Äquatornähe wird ein Aufwindraftwer installiert (siehe Bild.). nter einem reisrunden (adius = 50 m) die onnenstrahlen absorbierenden Dach wird die darunter befindliche Luft erwärmt. n der Mitte dieser Dach-Kolletorfläche A steht ein hoher Kamin (adius r = 5 m < Höhe h = 00 m) in dem die um T L erwärmte Luft auf Grund ihrer gegenüber der Außenluft (Luftdichte L Temperatur T L ) geringeren Luftdichte Li < L nach oben strömt ( Aufwind ). Der Aufwindstrom treibt eine Luftturbine und den mit ihr geuppelten E-Generator an. Die ühlere Außenluft strömt seitlich unter die Kolletorfläche nach wird unter der Kolletorfläche von der onne erwärmt und hält so den Aufwindstrom aufrecht. Bild.: Prinzip-Darstellung eines Aufwindraftwers ) Bestimmen ie mit Hilfe der Gleichung für ideale Gase die Luftdichte Li in Abhängigeit von L T L T L! ) Wie hoch ist der statische Druc p i im nneren am Boden des Kamins in Abhängigeit von h L T L T L? Bestimmen ie die statische Drucabsenung p p pi gegenüber dem äußeren Luftdruc p die die warme Luft im Kamin nach oben treibt ( Kaminwirung jedes chornsteins!). ) Bestimmen ie bei 40 % atmosphärischer eflexion und Absorption der onnenstrahlung die eingestrahlte solare Energie W und mittlere solare Leistung P pro Tag bei einer äquivalenten onnenscheindauer T = h/tag mit der extraterrestrischen olaronstanten 0 9 W/m! 4) Geben ie mit Hilfe der Bernoulli-Gleichung und der statischen Drucdifferenz von ) eine Formel für die Luftgeschwindigeit v i im Kamin an! Die von außen nachströmende Luft hat am Kolletorflächeneingang dabei zunächst noch die Dichte L und eine gegenüber v i vernachlässigbare leine Geschwindigeit v a << v i! 60 Aufgabensammlung essourcen / 0 Energietechni 5) Wie groß sind bei maximaler onneneinstrahlung bei L = 5 C (Außenlufttemperatur) und v i = 0 m/s die Drucdifferenz p p p die Lufterwärmung T L und die Lufttemperatur Li im Kamin ( L ( 5C).4 g/m )? ) Berechnen ie mit der Betz-Formel die dem Aufwind-Luftstrom maximal entziehbare Leistung P Tmax durch die Luftturbine deren otorblatt-adius r 0. 9 r ist ( L( 5C).4 g/m )! Wie groß ist dabei die Geschwindigeit vi der abströmenden von der Turbine gebremsten Luft? 7) Bestimmen ie den Wirungsgrad res des Kraftwers mit dem Turbinenwirungsgrad T 0.85 und dem Wirungsgrad der el. Anlagenteile (Generator Transformator ) el 0.85 bei maximaler onneneinstrahlung! Aufgabe (Lösung) : Aufwindraftwer ) p V m T m / V T / V p /( m ) T T ( m / V ) m p /( m ) Bei onstantem Luftdruc p gilt: TL L onst. Lufterwärmung ändert TL L : d( TL L) L dtl TL d L d( onst.) 0 dtl d L T bzw. bei endlicher Änderung: L L TL L TL L Mit Li L L folgt: L T L Li L L L TL ) F m g h A g Luftdruc einer Luftsäule (Hohe h Fläche A): p h g A A A T p h g L i Li L h g T T p p h g L i ( L Li) L h g L TL ) A eff A r ( r ) (50 5 ) 7007 m W 0 ( 0.4) A eff T P W / d. 0 J / (4 00 s)) 4.07 MW 4) Der Luftdruc p L oberhalb des Kamins ist für die nnen- und Außenluft gleich groß! va vi v L L g h pl L Li g h pl g h i L L Li g h Li TL TL p pi Aus ): ; aus ) T T vi v i L L ( L Li L L ) g h v TL g h ( p p T i i L ( ) / L L L L i Li ) g h ( Li J / ) g h L 61 Aufgabensammlung essourcen / Energietechni 5) v 0 m/s ( p p ) / p p Pa i i L i v T TL 7.5 K L K T i L L.4 K g h Li.4 K L C ) r m A T r 4.5. m A PT max T vi. 0 L W 7 7 vi 0 vi.7 m/s v i 7) olare Leistung bei maximaler onneneinstrahlung: W P 0 ( 0.4) A eff MW T P T max res T el % P 5.0 Aufgabe 7: Thermisches Parabolrinnen-Kraftwer n Äquatornähe wird auf einer Fläche A. m.5 m ein thermisches olarraftwer mit z = innen verspiegelten Parabolrinnen (Länge und Kolletorfläche je inne l = 0 m A p = 5 m ) errichtet. Jede Parabolrinne onzentriert die onnenstrahlen auf ein in der Brennpunt-Linie der inne angeordnetes Absorberrohr in dem ein ynthetiöl fließt das bei onnenhöchststand auf maximal = 40 C erhitzt wird. n einem zentralen Wärmetauscher wird durch das heiße Öl Wasser verdampft. Der D = 80 C heiße Dampf treibt eine Dampfturbine mit E-Generator bei n = 000 /min zur tromerzeugung an. ) Wie groß ist die maximal eingestrahlte solare Leistung P max auf der Fläche A? Berücsichtigen ie 7 % atmosphärische eflexion und Absorption der onnenstrahlung (Extraterrestrische olaronstanten 0 9 W/m )! ) Bestimmen ie die Leistung P wie bei ) jedoch nun genauer mit den Kolletorflächen und einem Kolletorwirungsgrad 00%! Wie groß ist P /P max! Wie groß ist die Grundfläche A je inne? Der Kolletorwirungsgrad beträgt tatsächlich 70%! Wie groß ist die dem Wärmetauscher ( Verdampfer ) maximal zugeführte Wärmeleistung P zuth? ) Der in der Turbine expandierte Dampf wird anschließend bei einer Kühltemperatur K = 0 C im mit Grundwasser geühlten Kondensator ondensiert. Wie groß ist die durch die Turbine zur Verfügung stehende mechanische Leistung P m maximal? 4) Berechnen ie die eletrische Maximalleistung P an der Übergabestelle in das 400 V- etz mit folgenden maximalen Wirungsgraden: Wärmetauscher: WT Turbine: T 0.85 Generator: G Transformator: Tr Der Leistungsbedarf für das Pumpen des Öls im Kreislauf für das peisewasser und das Kühlwasser und weiterer Eigenbedarf mindert den Leistungsertrag des Kraftwers um 5%. Wie groß ist res des Kraftwers bezogen auf P? 5) Gegenüber dem Maximalwert von ) ist die mittlere solare eingestrahlte Leistung am betrachteten tandort um 40% ( = 0.4) geringer bezogen auf die tatsächliche jährliche 62 Aufgabensammlung essourcen / Energietechni onnenscheindauer T = 480 h. Wie groß sind die mittlere solare eingestrahlte Energie w av in Wh je m p.a. und mit den Wirungsgraden von 4) der el. Energieertrag W el p.a.? Berechnen ie auch die Zahl der Voll-Laststunden T! ) Angenommen der Kondensator ist so aufgebaut dass das ühlende Grundwasser bei einer Erwärmung auf 5 C vollständig verdunstet (Verdunstungsühlung) wobei die Verdunstungswärme des Wassers bei 5 C Q V = 444 J/g ist. Wie groß ist die eingesetzte Grundwassermenge V in m p.a.? Aufgabe 7 (Lösung) : Thermisches Parabolrinnen-Kraftwer ) P max 9 0 ( 0.7) A W ) P ( 0.7) z A W 0 p / P max 0./. 0. A A z 00 9 zu th P MW P / 500/ m P ) Maximal mögliche Leistung theoretisch bei 00% Wirungsgrad der Turbine; TH 7.5 K D K TK 7.5 K K K Max. möglicher thermischer Wirungsgrad = Carnot-Wirungsgrad: C TK / TH 0.5/ ! Pm C Pzu th MW 4) EB P P m WT T G Tr EB MW res P / P 54.7 / % 5) wav 0 ( 0.7) ( ) T Wh/(m a) W av wav z Ap GWh/a P av Wav / T 89.7 / MW Pel av P av C WT T G Tr EB P av res MW W P T GWh el el av 9 / T W el P /( ) h ) Abwärme im Dampf: Q 9 9 ( ) ( 0.5) 4.00 Wh W av Q QV mh g O mho VH / 9970 m p.a. O mh O HO 0 9 C 63 Aufgabensammlung essourcen / Energietechni Aufgabe 8: olarthermie n einem solarthermischen Kraftwer wird Wasser durch onneneinstrahlung in öhren in Parabolspiegelrinnen verdampft. Dieser attdampf mit = 50 C fließt durch die Edelstahlrohre eines Wärmetauschers um außen vorbei strömendes Brauchwasser zu Heizzwecen auf = 70 C zu erwärmen. Diese tahlrohre haben einen nnendurchmesser d i = 0 mm und sind t mm dic (Wärmeleitfähigeit von Edelstahl: t 4.5 W/(m K) ). Der in den ohren mit der Geschwindigeit v strömende Dampf überträgt onvetiv seine Wärme auf die innere Oberfläche der tahlrohre mit einer Wärmeübergangszahl die bei dieser Geschwindigeit Dampf 0 W/(m K) beträgt. n gleicher Weise erhält das außen mit der Geschwindigeit v strömende Brauchwasser die Wärme von den tahlrohraußenoberflächen mit der bei dieser Geschwindigeit gültigen Wärmeübergangszahl Wasser 45 W/(m K). Das ohrsystem im Wärmetauscher ist l = 500 m lang. ) Wie groß muss die solar eingestrahlte Leistung P th zumindest sein? ) Wie groß ist die an der ohrwand des Wärmetauschers resultierende Wärmedurchgangszahl Pth /( A ) (A: ohroberfläche als Mittelwert von nnen- und Außenoberfläche : Temperaturdifferenz an der ohrwand)? ) Bestimmen ie die zumindest erforderliche Kolletoroberfläche A der Parabolrinnen bei maximal möglicher onneneinstrahlung und 0 % direter eflexion in der Atmosphäre und einen Wärmeverlusten im Kraftwer! 4) Berechnen ie die erforderliche Grundstücsfläche A G für das Kraftwer bei A G /A = in Hetar! 5) Der Wärmetauscher wird anstelle der tahlrohre mit (teureren) Messingrohren bei gleichem ohr-nnendurchmesser aber mm 9.04 W/(m K) ausgeführt! m wie viel ann die Grundfläche des Kraftwers bei gleicher Heizleistung im Brauchwasser verringert werden? Aufgabe 8 (Lösung): olarthermie ) ohr-nnenoberfläche: Ai di l m ohr-außenoberfläche: Aa ( di t ) l ( ) m 50 C - 70 C 80 K : Diese Temperaturdifferenz an der ohrwand wird durch drei Wärmeübergangsabschnitte festgelegt: (i) Konvetion vom Dampf zur nnen-ohrwand: P th Ai Dampf (i) (ii) Wärmeleitung in der ohrwand: P th A t (ii) /t A ( Ai Aa ) / 5.8 m (iii) Konvetion von der Außen-ohrwand zum Brauchwasser: P th Aa Wasser (iii). ( i) (ii) (iii) Pth Pth t Pth Pth Ai Dampf A t Aa Wasser t Ai Dampf A t Aa 80 P th 50 W Wasser 64 Aufgabensammlung essourcen / 4 Energietechni Die solar eingestrahlte Wärmeleistung muss zumindest. t MW betragen. ) Pth /( A ) : erienschaltung von drei Wärmeübergängen: Pth 50 W 808 A t A A m K Ai Dampf t Aa Wasser ) W Maximal mögliche solare Einstrahlung: Extraterrestrische olaronstante 0 8 m W eflexion 0 %: ( 0.) m Zumindest erforderliche Kolletorfläche (ideale Parabolrinnen eine Wärmeverluste zwischen Parabolrinnen und Wärmetauscher): A Pth / 50 / m 4) A G A m Hetar (ha) = 00 Ar Ar = 00 m ha = m A G.7 ha 5) ohr-nnenoberfläche bleibt unverändert Ai 47. m ohr-außenoberfläche: A ( d ) l ( ) m a i M Mittlere ohroberfläche: A ( Ai Aa ) / 50.5 m 80 Pth 0.00 M Ai Dampf A M Aa Wasser P th 748 W. Für gleiche Brauchwassertemperatur 70 C und gleiche Heizleistung.4 MW (gemäß )) ann die Dampftemperatur von 50 C auf 70 C 80 K (.4 /.74) 4 K verringert werden. Damit sint der Energiebedarf für die Dampferzeugung auf 4 / n gleichem Maß sinen der Flächenbedarf A bzw. A G nämlich um bzw. 4.7 %. Aufgabe 9: Abgas-Wärmenutzung n einem ndustriebetrieb entstehen pro tunde produtionsbedingt g auchgas hauptsächlich bestehend aus Kohlenstoffdioxid und ticoxiden mit einer auchgastemperatur = 0 C und einer spezifischen Wärmeapazität cg 040 J/(g K). Die auchgase werden durch einen Wärmetauscher geleitet der aus Edelstahlrohren besteht in denen Wasser mit 000 g/h fließt. Das Wasser wird durch die thermische Leistung Pth die den heißen auchgasen entzogen wird von 0 C auf 40 C erwärmt und so die auchgas-abwärme tw. sinnvoll genutzt ( c H O 487 J/(g K) ). Der Wärmeübergang vom heißen auchgas auf das ältere Wasser ist durch Konvetion im auchgas und im Wasser einerseits und andrerseits durch Wärmeleitung in den ohrwänden bestimmt. Dieser Wärmeübergang wird durch die niedrige Wärmeübergangszahl des auchgases begrenzt so dass mit A (ohroberfläche des Wärmetauschers) und 65 Aufgabensammlung essourcen / 5 Energietechni (Temperaturdifferenz an der ohrwand) gilt: P th A mit der resultierenden Wärmedurchgangszahl 5 W/(m K). ) Auf welche Temperatur werden die auchgase bei ideal verlustfreiem Wärmetauscher abgeühlt? ) Die Temperaturdifferenz im Wärmetauscher ist am Ort des auchgaseintritts x = 0 (auchgas ist heiß Wasser ist alt) mit ( x 0) groß am Ort des auchgasaustritts x = l (auchgas abgeühlt Wasser erwärmt) mit (x l) leiner. Wenn auchgas (außen) und Wasser (im ohr) parallel in dieselbe ichtung strömen ( Gleichstrom -Wärmetauscher) ist die mittlere Temperaturdifferenz längs des ohrs ( x 0) ( x l) av. ( x 0) ln ( x l) Berechnen ie av und die erforderliche ohroberfläche A! ) Das Wasser wird im Wärmetauscher in z = 0 ohren (mit dem mittleren ohrdurchmesser d = 7 mm) parallel geführt. Welche Länge l muss jedes dieser ohre haben? 4) Bestimmen ie die mittlere Wassergeschwindigeit v in einem ohr ( g/l ) H O0C bei einer Wassertemperatur von 0 C! 5) Für einen guten Wärmeübergang in das Wasser (= hoher Wert ) soll die Wasserströmung nicht laminar sondern turbulent sein (e rit = g/l inematische H O00C Wasserzähigeit H O00C 0.0 m /s ). st dies hier für Wasser mit einer Temperatur von 00 C der Fall? Aufgabe 9 (Lösung): Abgas-Wärmenutzung ) auchgaserwärmung: G 0 C amb mgebungstemperatur: amb 0C Wassererwärmung: H O 40 C 0C 0 K Abgeühltes auchgas: Erwärmung: G G amb auchgas-wärmeenergie: QGas mg cg G Wasser-Wärmenergie: Q H O m H O ch O H O est-wärmeenergie im auchgas: Q Gas r QGas QH O mg cg L G G mg cg G mg cg G mh O c H O H O Je Zeiteinheit: m G cg G m G cg G m H O c H O H O m H O ch O H O HO G G H O G m c G HO m G cg m G cg G 0C 0 75C ) x 0 : G 0C 0C : ( x 0) K H O x l : G 75C 40C : ( x l) K H O 66 Aufgabensammlung essourcen / Energietechni ( x 0) ( x l) 00 5 av. K ( x 0) 00 ln ln ( x l) Pth m H O ch O H O W 00 erienschaltung von drei Wärmeübergängen: Pth A 94 m av 5. ) A 94 A z d l l 44 m z d ) 000 / 00 V H O m H O / H O0 C.7 0 m / s 000 d.7 0 / 0 V H O / z v v.7 m / s / 4 5) 000 / 00 V H O m H O / H O00 C.74 0 m / s 90 d.74 0 / 0 V H O / z v v. m / s / 4 e v d / H O /(0.0 ) 5 0 Die trömung ist turbulent! Aufgabe 0: E-Mobility versus Biosprit n Deutschland sind zurzeit ca Personenraftwagen (PKW) zugelassen (die meisten mit Verbrennungsmotor-Antrieb) mit denen im Mittel je Fahrzeug 700 m Fahrstrece p. a. zurücgelegt werden. Kraftwagen mit Verbrennungsmotor haben den Vorteil der hohen chemischen Energiedichte des Kraftstoffs aber den achteil des geringen Motorwirungsgrads von unter 40% im Bestpunt und als Mittelwert im Fahrspiel tadt- /Überland-Fahrt unter 0%. Alternative E-Automobile haben den achteil der geringen eletrochemischem Energiedichte der Batteriespeicher (z. Zt. zumeist Li-onen-Aus) und langen Au-Ladezeiten aber den Vorteil der hohen Wirungsgrade der eletrischen Antriebsomponenten (meist über 90% im Bestpunt) und hoher Kurzzeit-Drehmomente. Es ergeben sich folgende typische Energiebedarfe im Fahrspiel für 00 m Fahrstrece für Mittellasse-Personenraftwagen: a) Benzinmotor 80 P: v =.4 l/00 m (Motorenbenzin: Heizwert H i = 4.8 MJ/g Dichte: 0.75 g/l) b) Dieselmotor 0 P: v = 4.9 l/00 m (Dieselraftstoff: Heizwert H i = 4.0 MJ/g Dichte: 0.8 g/l) c) Eletroauto 50 W (00 P): w = Wh/00 m (Li-onen-Aumulator W = 0 Wh 45 g) 67 Aufgabensammlung essourcen / 7 Energietechni ) Berechnen ie die mögliche eichweite in m für je einen 55-Liter-Tan für a) und b) im Vergleich zu c) und den zugehörigen Energieumsatz W F des Fahrzeugs! Wie groß ist der spezifische Energieumsatz W F je m? ) Aus Getreide ann durch Fermentierung nachhaltig (= CO -neutral) Äthylalohol (C H 5 OH) genannt Bio-Ethanol (Heizwert H ibe = 8.8 MJ/g Dichte g/l) hergestellt werden wobei in Deutschland etwa v BE = 50 Liter je Hetar und Jahr gewonnen werden önnen. Wenn alle PKWs in Deutschland (Grundfläche A D = 57 8 m ) von Benzin auf Bio-Ethanol umgerüstet würden: Wie hoch wäre der Anbauflächenbedarf A BE für das Getreide in m und in % der deutschen Landfläche? Kommentieren ie das Ergebnis! ) Alternativ ann z. B. aus Ölpflanzen ein Ersatztreibstoff für Dieselraftstoff als Bio-Diesel (z. B. apsöl-methylester Heizwert H ibd = 7 MJ/g Dichte 0.88 g/l) hergestellt werden wobei in Deutschland etwa v BD = 550 Liter je Hetar und Jahr gewonnen werden önnen. Wenn alle PKWs in Deutschland von Diesel auf Bio-Diesel umgerüstet würden: Wie hoch wäre der Anbauflächenbedarf A BD für den aps in m und in % der deutschen Landfläche? Kommentieren ie das Ergebnis! 4) Wir nehmen an: Alle PKW in Deutschland werden auf E-Betrieb umgestellt wobei die für das Fahren nötige eletrische Energie solar mit Photovoltai gewonnen wird (solare Einstrahlung in Deutschland im Mittel W /A= 900 Wh/m p.a.). Diese Energie wird entsprechend gespeichert und mit einem mittleren Wirungsgrad von = 0% von der olarzelle bis zum E-Antrieb bereitgestellt. Wie groß ist der etto-flächenbedarf der olarzellen in m und in % der deutschen Landfläche? Kommentieren ie das Ergebnis! Aufgabe 0 (Lösung): E-Mobility versus Biosprit ) a) V / v 55/(.4/00) 859 m W F MJ b) V / v 55/(4.9/00) m W MJ F c) W / w 0/(/00) 75 m WF W MJ a) WF 74. MJ/859 m MJ/m b) WF 9 MJ/ m.75 MJ/m c) WF MJ/75 m 0.58 MJ/m ) Gesamtenergiebedarf im Jahr für das Fahren mit den PKWs in Deutschland als Benzin- Fahrzeuge: m l MJ g EJ W ges B a 00 m g l a Volumetrischer Bio-Ethanol-Bedarf je Jahr: WgesB EJ 0 V BE l H MJ g ibe BE g l Getreideanbau-Flächenbedarf: 0 VBE l ABE 007. m A BE 007. m 0. 5 v l BE 50 AD 578 m 0000m Mit 5% der deutschen Landfläche als Getreide-Anbaufläche ist die vollständige Bio- Ethanol-Prodution in Deutschland nicht sinnvoll möglich. mporte aus dem Ausland (z. B. Brasilien) sind erforderlich. Der öologische inn (Abholzen von egenwäldern) aber auch der gesellschaftliche Aspet (ahrungsmittel als Treibstoff) ist fragwürdig. 68 Aufgabensammlung essourcen / 8 Energietechni ) Gesamtenergiebedarf im Jahr für das Fahren mit den PKWs in Deutschland als Diesel- Fahrzeuge: m l W ges D a 00 m Volumetrischer Bio-Diesel-Bedarf je Jahr: 4.0 MJ g 0.8 g l EJ Wges D EJ 0 V BD l H MJ g ibd BED g l apsanbau-flächenbedarf: 0 VBD.5.50 l ABE m A BD m v l BD 550 AD 578 m 0000m Es ergeben sich dieselben Gesichtspunte wie bei ). Zwar ist der Energieverbrauch gegenüber ) geringer aber auch der Flächenertrag. 4) Gesamtenergiebedarf im Jahr für das Fahren mit den PKWs in Deutschland als E-Fahrzeuge: m Wh J Wges E EJ a 00 m Wh olarzellen-flächenbedarf: W 8 gese APV 0. m A PV 0. m W AD 578 m A Mit 0.9% der deutschen Landfläche als olarzellenfläche lässt sich der Energiebedarf für einen E-Fahrzeug-PKW-Betrieb in Deutschland durch große olarpars mit ca. 0.8% der deutschen Grundfläche prinzipiell bereitstellen. Allerdings müssten große peicher einer bestimmten Komfort -Größe den volatilen Energieertrag der onne jederzeit abrufbar bereitstellen. 69 Aufgabensammlung Bedarf und Wachstum / Energietechni Aufgabe B: Bevölerungswachstum Tabelle B. zeigt das Wachstum der Weltbevölerung und darunter zwei logistische Wachstumsfuntionen x (t) und x (t) die dieses Wachstum beschreiben sollen. Tabelle B.: Wachstum der Weltbevölerung Jahr Menschenanzahl/0 9 x(t) x (t) x (t) Anzahl der Menschen in Milliarden: x(t) Zeit in Jahren: t.5. x ( t) x ( t 000) / 4.7 ( t) ( t000) / e.8 e ) Ergänzen ie in Tab. die vier fehlenden Werte! Welche der beiden Funtionen approximiert das tatsächliche Wachstum besser? utzen ie dazu die quadratische 8 i ) i Abweichung ( x i x bzw. ( x i x! 8 i ) i ) Welcher maximalen Bevölerungszahl streben die beiden Wachstumsfuntionen x (t) und x (t) zu? m wie viel unterscheiden sich die beiden Werte? ) Wie groß ist gemäß den beiden Wachstumsfuntionen x (t) und x (t) die Weltbevölerung im Jahr 00? m wie viel unterscheiden sich diese beiden Prognosewerte? 4) Wann sind 90% der maximalen Bevölerungszahl gemäß den beiden Wachstumsfuntionen x (t) und x (t) erreicht? Aufgabe B (Lösung): Bevölerungswachstum ) Tabelle B.: Wachstum der Weltbevölerung - ausgefüllt Jahr Menschenanzahl/0 9 x(t) x (t) x (t) ( 0.045) (.49) (.00) ( ) (5 5) ( 5.99) (.5.485) ( ).77 ( 0.0) (.998) (.95) (4 4.7) (5 4.99) ( 5.9) (.5.48) ( ) 0.7 Wachstumsfuntion x (t) approximiert das tatsächliche Wachstum im Zeitraum besser als Wachstumsfuntion x (t). ) ( t000) / lim e 0 lim x t ( t) lim t t ( t000) / e. 5. lim x ( t) lim. ( 000) / lim x ( ) / lim ( )./.5. 9 t t t t x t e t t Der nterschied zwischen beiden Grenzwerten beträgt 9%! 70 Aufgabensammlung Bedarf und Wachstum / Energietechni ) x.5 (00) 0.95 (00000) / e x. (00) 5.7 (00000) / 5.9.8e x ( 00) / x (00) 5.7/ Der nterschied zwischen beiden Grenzwerten beträgt 44%! 4) x0 s s Wachstumsfuntion allgemein: x( t) ( tt ) x e 0 0 s x0 ( tt ) s e 0 x0 x0 s Grenzwert: lim x( t) s Zeit t * t 0 * wenn 0.9 s erreicht sind: t x0 0 x0 s * * x 0.9 s 0 ( 0.9) 0.9 x * 0 e s x0 x0 e x e s x s x x 0 0. s ln ln 0. ln 0.9 s x0 0.9 x0 * t *-t * 0 t t0 s Wachstumsfuntion x (t): /4. 7 t Jahre x0 t * (ln 0. ln 0.807) 07 Jahre s Wachstumsfuntion x (t):. 8 / 5. 9 t Jahre x0 t * (ln 0. ln.4) 8 Jahre. 0 Aufgabe B: Wachstum des Weltenergiebedarfs Tabelle B. zeigt das Wachstum des Weltenergiebedarfs x(t) (inlusive aller mwandlungsverluste) den Energiebedarf pro Person y(t) und darunter eine logistische Wachstumsfuntion y (t) die das Wachstum/Person y(t) näherungsweise beschreibt. Tabelle B.: Wachstum der Weltbevölerung Jahr Weltenergiebedarf/EJ x(t) Energiebedarf/Person/GJ y(t) y (t) / GJ Energiebedarf/Person in GJ: y (t) Zeit in Jahren: t: s y( t) ( tt ) ( 000) / t b e e ) Ergänzen ie in Tab. die zwei fehlenden Werte! Welchem maximalen Energiebedarf/Kopf strebt die Wachstumsfuntion y (t) zu? Wie groß ist dieser Bedarf W bei einer maximalen Anzahl der Weltbevölerung von Mrd. Menschen in EJ und in elation zu 05? 71 Aufgabensammlung Bedarf und Wachstum / Energietechni ) Wie groß wird der Weltenergiebedarf gemäß y im Jahr 05 sein (bei dann erwarteten 8.8 Mrd. Menschen)? Vergleichen ie diesen Wert mit dem Prognosewert 705 EJ der hell-tudie 0! Disutieren ie das Ergebnis! ) chätzen ie den Grenzwert W von ) mit einem icherheitsaufschlag von 00% als W nach oben hin ab! Vergleichen ie diesen Bedarf mit der von der onne jährlich eingestrahlten Energie W (extraterrestrische olaronstante 0.8 W/m Erdradius r E.7 0 m 0% direte eflexion der olarstrahlung in der Atmosphäre)! Aufgabe B (Lösung): Wachstum des Weltenergiebedarfs ) Tabelle B.: Wachstum der Weltbevölerung - ausgefüllt Jahr Weltenergiebedarf/EJ x(t) Energiebedarf/Person/GJ y(t) y (t) / GJ lim y ( t) lim GJ/Person ( 000) / t t t e Bei 0 Menschen: W EJ W / W / : Zunahme um 88%! ) y ( t 05) 7. GJ/Person (05000) / e Bei 8.80 Menschen: W EJ. m Vergleich zur hell-tudie 0 um 5% zu niedrig. Kommentar: Das tatsächliche Wachstum hängt von mehr als nur drei Parametern ab. o wird die Wachstumsrate in der Angabe onstant angenommen / 5.8 pro Jahr. Tatsächlich nimmt sie aber zu da der spezifische Energiebedarf insgesamt durch z. B. die steigenden Komfortansprüche der Einzelpersonen (nternet jederzeit und überall Klimatisierung E- Motorraft statt Muselraft ) zunimmt. nsofern ist der Grenzwert von ) ( GJ/Person ) offenbar zu niedrig! ) W W EJ A E r E (.7 0 ) m 4 W 0.7 A T J/a W / W E 4 /(.0940 ) 84 Die solare Einstrahlung p.a. beträgt das 84-fache des erwarteten maximalen jährlichen Energiebedarfs. 72 Aufgabensammlung Bedarf und Wachstum / 4 Energietechni Aufgabe B Bevölerungszuwachs Das Wachstum der Weltbevölerung wird näherungsweise durch die logistische Wachstumsfuntion x(t) beschrieben. Anzahl der Menschen in Milliarden: x(t) Zeit in Jahren: t.5 x ( t). ( t000) / e ) Zu welchem Grenzwert strebt die Funtion x(t) mit wachsender Zeit t? ) Leiten ie die Funtion des jährlichen Bevölerungszuwachses y ( t) dx( t) / dt daraus ab! ) Zeigen ie dass die maximale Zuwachsrate dann auftritt wenn die Bevölerung 50% des Endwerts erreicht hat! 4) Vergleichen ie die tatsächlichen Zuwachswerte (Tabelle ) mit den Ergebnissen der Formel y ( t) dx( t) / dt aus ) gemäß den Tabellenwerten! Tabelle B.: Welt-Bevölerungszuwachs Jahr Zuwachs / Mio. p.a (Maximum) 78 y(t) Zu welchem Zeitpunt t* trat lt. Formel y(t) gemäß ) das Maximum y max auf? Vergleichen ie mit dem Tabellenwert! Kommentieren ie das Ergebnis! Aufgabe B (Lösung): Bevölerungszuwachs ) s s Allgemein: x( t) bzw. mit t 000 : x( ). ( t000) b e b e s.5 lim x( ) lim s x ( t ). 5 ( 000) / 4.7 b e 0.89 e Es werden nach der Formel x(t) einst.5 Mrd. Menschen auf der Erde leben. ) s b e s b e s b y( ) dx / d ( b e ) b e b e e b b e ) Maximum der Zuwachsrate: dy ( ) / d 0 s b ( e b e ) dy ( ) / d 0 e b e e b e b 0 ( e b b e ) s s s s s * ln( b) / x( *) * ln( b) / lnb b e b e b e ( b / b) 4) / 4.7 pro Jahr s.5 Mrd. b : ( tt ) ( t000) / 4.7 s b e e / e y( t) ( tt ) ( 000) / 4.7 ( 0 t b e ) ( 0.89 e ) ( 0.89e (90000) / e z.b.: y ( t) Mrd. Menschen p.a. (90000) / 4.7 ( 0.89 e ) ( t000) / 4.7 ( t000) / 4.7 ) 73 Aufgabensammlung Bedarf und Wachstum / 5 Energietechni Tabelle B.: Welt-Bevölerungszuwachs - ausgefüllt Jahr Zuwachs / Mio. p.a y(t) / Mio. p.a * t * t0 t * 000 ln( b) / ln(0.89) t * Die Formel gibt den Zuwachs nur ungenau wieder. (i) Das Maximum trat lt. Tabelle 980 auf und nicht erst 99. (ii) Die Zuwächse waren im Zweitraum tatsächlich höher als berechnet. 74 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni Aufgabe P: Wasserraftwer Der Damm des Laufwasserraftwers (Flussraftwer) Wallsee an der Donau in Österreich hat eine tauhöhe H = 9. m. Ein Wasserstrom V = 880 m /s ( 000 g/m ) fließt H O durch die sechs Kaplan-Turbinen. Folgende Wirungsgrade sind zu beachten: Hydraulischer Wirungsgrad der Wasserströmung (eibung in ohren etc.): 0.95 Turbinenwirungsgrad: 0.9 Generatorwirungsgrad: Der Kraftwerseigenbedarf beträgt % der erzeugten eletrischen Leistung. Wie groß ist die abgegebene eletrische Wirleistung Pe des Kraftwers und P G je Generator? Aufgabe P (Lösung) : Wasserraftwer Eigenbedarf entspricht einer Wirungsgradminderung um 0.97; Kraftwerswirungsgrad: KW Potentielle Energie des gestauten Wassers: Wp m g H H OV g H Leistung: Pin Wp / t H O ( V / t) g H H O V g H (V : Durchflussmenge) Eletrische Leistung: Pout Pe KW Pin V H "Faustformel": P e 794 V H 8000 V H P e W V m / s H m P MW P 08./ 4.7 MW e G Aufgabe P: Mischung zweier unterschiedlich warmer Flüssigeiten Zwei in zwei Bechern enthaltene unterschiedliche Flüssigeiten mit den Massen M M den spezifischen Wärmeapazitäten c c haben die (absoluten) Temperaturen T und T. ) Wie groß ist nach vollständiger Durchmischung beider Flüssigeiten (ohne Wärmeabgabe) die sich einstellende (absolute) Temperatur T des Gemisches (Formel herleiten)? ) Wir mischen l altes Wasser (0 C) mit ½ Liter heißem Wasser (0 C). Wie warm ( C) ist das ½ l-gemisch? Aufgabe P (Lösung): Mischung zweier unterschiedlich warmer Flüssigeiten ) Energieerhaltungssatz im angeschlossenen ystem:. c M T c M T c M T c M T c M T c M T T ( Mischungsformel ) c M c M ) M g M 0.5 g T K T K ch O M T ch O M T M T M T T 99.8 K ch M c M M M 0.5 O H O C 75 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni Aufgabe P: Wärmetransport ) Die eletrische solierung eines geraden (l = 80 mm) Kupferleiters mit rechtecigem Querschnitt h Q x b Q = 9 x.5 mm hat die solierstoffdice d =.7 mm. Wie groß ist der Wärmewiderstand durch den solierstoff? ) Wir betrachten zwei parallele gerade (l = 4.8 mm) eletrisch isolierte Kupferleiter mit jeweils rechtecigem Querschnitt h Q x b Q = 4.5 x.5 mm die eletrisch parallel geschaltet sind. Wie groß ist der Wärmewiderstand beider Leiter zur ühleren Luft wenn diese mit v = m/s = 4 m/h vorbei strömt (erzwungene Konvetion)? ) Von einem 00 C heißen eletronischen Bauteil soll die Verlustwärme durch ein angebrachtes schwarzes Blech sowohl a) über natürliche Konvetion ( = 7 W/(m K)) als auch b) über Wärmestrahlung (c s = W/(m K 4 )) an die mgebungsluft (0 C) abgeführt werden. Wie groß sind die Wärmestromdichten von a) und b)? Aufgabe P (Lösung): Wärmetransport ) Leiteroberfläche A ( hq bq ) l (9.5) mm d Wärmewiderstand th 0. K/W th A ) Leiteroberfläche A ( hq bq ) l (4.5.5) mm / 4 / 4 bewegte Luft über eletrisch isolierter Oberfläche: 8 v 8 5. W/m K th 0.5K/W A K/W Beide Leiter th 0. 8K/W ) Temperaturdifferenz = 80 K T = = 9.5 K T = T + = = 7.5 K P a) q th W/m A P b) q th cs ( T T ) 50 ( ) 00. W/m A Aufgabe P4: Erwärmung durch Verlustleistung Eine W-Eletromotor mit der Masse m = 7 g der spezifischen Wärmeapazität der überwiegend aus Eisen bestehenden Bauteeile c = c Fe = 50 J/(g. K) und der ühlwirsamen Motoroberfläche (vergrößert durch Kühlrippen) A = 0.9 m wird mit einer Kühlluftgeschwindigeit infolge des rotierenden Motorlüfters v = 9 m/s = m/h geühlt. ) Wie groß ist die thermische Zeitonstante des Motors? ) Wie groß ist die Erwärmung der Motoroberfläche wenn der Motor 85% Wirungsgrad aufweist? 76 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni Aufgabe P4 (Lösung): Erwärmung durch Verlustleistung ) Lacierte Oberfläche des Motormetallgehäuses: 5v m c 7 50 T Fe 5s 0.9 min A ) P out = W P in = W / W. Verlustleistung: P P P W d in out / 59 / 4.9 W/m K Pd 94 Erwärmung ( t ). K. A mgebungstemperatur 5 C: Temperatur der Motorgehäuseoberfläche 58. C Aufgabe P5: Abwärme in einem thermischen Kraftwer Ein teinohleraftwer hat eine eletrische ennleistung P el = 95 MW. Der Frischdampf hat einen Druc 5 bar bei 00 C der Dampf ondensiert bei 0.0 bar und 5 C. ) Wie groß ist der maximal mögliche Wirungsgrad η th und wie hoch die zugehörige Abwärmeenergie pro eunde Q ab? ) Tatsächlich hat der Heizessel einen Wirungsgrad η K = 0.87 denn 5 % der Energie gehen zum Teil durch die warmen auchgase verloren. Die Dampfturbine hat einen Wirungsgrad η T = 0.88 der ynchrongenerator η G = 0.98 der Bloctransformator η Tr = 0.99 die ohrleitungen des Wasserreislaufs η = 0.97 der Eigenbedarf (vor allem die auchgaswaschanlage) beträgt etwa % von P el. Wie groß ist der reale eletrische Wirungsgrad des Kraftwers? ) Die Abwärme von ) wird mit 5 C altem Kühlwasser (=Flusswasser) dem Dampfreislauf im Kondensator (=Wärmetauscher) entzogen. Wie groß muss der Kühlwasserstrom in Liter / eunde sein wenn er sich um 0 K aufheizen darf? J g ( c H O 485 H O 000 ) g K m³ 4) Das Kraftwer liegt an einem b = 0 m breiten und im Mittel t = 5 m tiefen Fluss der mit v = 7 m/h fließt! Diesem Fluss wird das erwärmte Kühlwasser zugemischt! m wie viel Grad erwärmt sich dadurch das Flusswasser? 5) Mit einem Teil des erwärmten Kühlwassers sollen alternativ zu 4) Gewächshäuser zur Ertragssteigerung beheizt werden. Dazu werden ohre in d = m Tiefe im Erdreich innerhalb der Gewächshäuser verlegt durch die Kühlwasser mit der Temperatur H O 5 C 0 K fließt. Die Luft im Gewächshaus erwärmt sich auf 5 C. Wie groß ist der Wärmestrom je m² W von den ohren an die Bodenoberfläche (Wärmeleitfähigeit des Bodens: 0.5 ) Wie m K groß ist die so beheizbare Fläche A? Aufgabe P5 (Lösung): Abwärme in einem thermischen Kraftwer ) Theoretisch maximal möglicher Wirungsgrad ist der Carnot-Wirungsgrad: T K th C T K K T H K T H 77 Aufgabensammlung Prozesse / 4 Energietechni 98.5 W W Pel th % C 87.5 Qzu Q zu Q zu Pel 95 MW Q zu 49.8 MW Q ab MW J/s th ) Pel Eigenbedarf: EB Pel 0.0 Pel.0 real th K T G Tr EB % ) Q ab V HO cho V.8 m³ / s 8 l / s 4) 7 Fluss: Durchflussmenge ohne Kühlwasser: V F b t v m³ / s. Wärmeinhalt pro s im Flusswasser (5 C): Q F V F H O ch O TF T F K Wärmeinhalt pro s im Kühlwasser: Q K V K H O ch O TK T K K Mischung: V V F V K Q V H O ch O T Q F Q K V F V K T V F TF V K TK V F TF V K TK T 88. K V F V K.8 T C : Aufheizung des Flusswassers um 0.05 C! 5) Fourier-Wärmeleitgesetz: Wärmestromdichte: H O L W 5 C 0 K 5 C W q d m K m m² ab q Q Q ab W A m² m²! A q W 0 m² Aufgabe P: Braunohleraftwer n einem Braunohleraftwer (P el = 95 MW) werden in 4 tunden ca Tonnen Braunohle (H i = 0 MJ/g) verbrannt um Dampf zu erzeugen! ) Wie groß ist der eletrische Wirungsgrad des Kraftwers? ) Wie viele Tonnen Wasserdampf werden im Kessel je Minute aus dem 0 C warmen Kondensatwasser erzeugt? (Kesselwirungsgrad K c H O 485 g K Verdampfungswärme von Wasser bei 00 C bar: 5 J/g) ) Wie groß wäre das Dampfvolumen V wenn der Dampf bei bar frei expandieren önnte? Wie groß ist das Dampfvolumen bei einem Druc von 0 bar und ϑ = 00 C? J 78 Aufgabensammlung Prozesse / 5 Energietechni Aufgabe P (Lösung): Braunohleraftwer ) Qzu J je 4 h! Q zu 750 / MW Pel 95 MW 0.4 Q zu 05.5 MW ) Aufheizen des Wassers der Masse m von 0 C auf 00 C: 80 K : Q m c J Verdampfen des 00 C heißen Wassers bei bar: Q m 5 g Wärmezufuhr je Minute: K Q zu 0 s Q Q Q m m 998 g / min m = 9.98 Tonnen Wasserdampf pro Minute ) Wasser: l/g Wasserdampf bei bar: 700 l/g m³ g m³ V bei ϑ = 00 C g min min p bar V = 78 m³ T = 7 K (00 C) p = 0 bar T = 87 K (00 C) p p V m T onst. V T p T V V 78 p V T p T 0 H O 87 m³ 7 Aufgabe P7: Pelton-Turbine ) Leiten ie aus der Euler-Drehmomentgleichung das Drehmoment M einer idealen (verlustfreien) Pelton-Turbine in Abhängigeit von v = onst. (onstante trahlgeschwindigeit) m (Massestrom) und n (veränderliche Drehzahl) ab. tellen ie den Verlauf M(n) graphisch dar! Beachten ie dabei im ennpunt n = n die Beziehung v = u (trahlgeschwindigeit = doppelte adumfangsgeschwindigeit). Wie hoch ist M(n max ) für n max = n? ) Ein peicherraftwer hat eine Fallhöhe von h = 0 m mit einem Massendurchfluss des Wassers von m = 98 g/s. Wie groß ist die Austrittsgeschwindigeit v am Ende der Drucrohrleitung? ) Das Kraftwer hat drei jeweils sechsdüsige Pelton-Turbinen mit einem mittleren Laufraddurchmesser von d = 4.5 m die drei 4-polige ynchrongeneratoren für das 50 Hz- etz antreiben. Wie groß sind enndrehzahl n und Düsenaustrittsgeschwindigeit v? Wie groß sind die ennleistung P T je Turbine und das ennmoment M? 4) Zeigen ie dass für n = n die Leistung P T von v ³ abhängt! Verwenden ie dazu die Beziehung m m / A v T wobei A der trahlquerschnitt aller sechs Düsen je Turbine ist ( = 000 g/m³). Wie groß ist der trahldurchmesser d s jeder der sechs Wasserstrahlen? 5) Geben ie gemäß ) die M(n)-Kennlinie für 0 n nmax maßstäblich an! Geben ie die allgemeine Formel P T (n) an und sizzieren ie diese maßstäblich! Welche Kurvenformen haben M(n) und P T (n)? 79 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni ) Wie groß ist die spezifische Drehzahl n q der Turbine? Aufgabe P7 (Lösung): Pelton-Turbine ) Euler-Drehmomentgleichung: u u r v r v m M ndex u: mfangsrichtung ndex : bezogen auf das Auftreffen auf das chaufelrad ndex : bezogen auf das Ausströmen aus dem chaufelrad Für Pelton-Turbine: r r r tung zur trahlrich Einheitsvetor tangential mit t t u u e e v v t u u e v v und chaufelrad : elativgeschwindigeit zwischen Wasserstrahl mit w n r u u w v chaufel) eine eibung auf (verlustfrei w w u w v Kraft weist nur tangentiale Komponente auf: u t t t v u w v e u e w e v v u t t t t t - v u w v e u e w e u e w e v v Einsetzen in Drehmomentgleichung: n r v r m u v r m w r m u w u w r m r v r v m M u u m ennpunt: 0 ) ( ) ( / max max n M n n v r m n M v u Bild P7.: Turbinendrehmoment in Abhängigeit von der Drehzahl ) 50 MW h g m P p aus 08.7 m/s W W v h g v ) Geg.: p = 4 p = 7 f = 50 Hz n = f/p = 7.4 s - = min - m/s m/s / ) ( u v n r n u 0 Mm MW 50 / / T n P M P P 80 Aufgabensammlung Prozesse / 7 Energietechni 4) n = n : T / / ) ( v A v v A v v m u v r m n v r m n n M n P T m v P A 0.44 m A d d A s s 5) Drehmomentgleichung: n r v r m M Leistungsgleichung: T v n r r n v m n r v r m n P a) b) Bild P7.: a) Turbinendrehmoment in Abhängigeit von der Drehzahl; b) Turbinenleistung in Abhängigeit von der Drehzahl ) pezifische Drehzahl einer Turbine 0 m m; /s; m 0 0 h h V 0. / 0; / je Turbine s m V V h h m V - 4 / 4 / 0 0 q min / / h h V V n n Aufgabe P8: avonius-läufer ) Eine Windturbine nach dem Widerstandsprinzip hat die beiden Widerstandsbeiwerte c w =. und c w = 0.. Bei welcher chnelllaufzahl λ* wird der Leistungsbeiwert c p maximal? Leiten ie λ* zunächst allgemein her und setzen ie dann die Zahlenwerte ein für λ* und c p (λ*)! w w p c c c ) Wie groß sind bei einer Windgeschwindigeit von v = 40 m/h die mlaufgeschwindigeit u und die elativgeschwindigeiten w und w? ) Der mittlere otordurchmesser für u beträgt d = m daher der Außendurchmesser d a = m. Die Höhe des Läufers beträgt L = m. Wie groß ist die projizierte Fläche A je 81 Aufgabensammlung Prozesse / 8 Energietechni Läuferseite? Wie groß sind Läuferdrehzahl n Turbinenleistung P und Drehmoment M? ( Luft =.4 g/m³ bei 0 C) 4) Wie groß sind die Windräfte F w und F w auf die beiden Läuferhälften? Überprüfen ie damit den Drehmomentwert M aus )! 5) Wie hoch wäre bei gleicher Windangriffsfläche A die maximal dem Wind entziehbare Leistung P max? Welchen Anteil davon erreicht man mit dem avonius-läufer? ) Wie groß muss die Fläche A s eines olar-panels (Wirungsgrad η = 0.8) sein um dieselbe Leistung P wie beim avonius-läufer zu erhalten? ehmen ie als mittlere solare trahlungsleistung je Fläche den Wert q = 800 W/m² an! Aufgabe P8 (Lösung): avonius-läufer ) Optimale chnelllaufzahl: c c c c c p w w w w dcp cw 4 cw 4 0 d 0 c w cw 4cw 4cw cw cw 4cw 4cw cw cw 0 cw cw cw cw ; p c c c q cw cw c c * * w w w cw w w ; c p *.5.. * * : unphysialische Lösung Lösung : * *.; ) Geschwindigeiten am otor: v = 40 m/h =. m/s * u v m/s w v u m/s w v u.. ) Betrachtung von Leistung und Drehmoment: da u. A L m ; u d n n d.4 P Acp v W P M 0.9 m n 0.7 * 0.07 c.4 m/s 0.7 s - p * *.45; c 4.9 min - p 0.09 82 Aufgabensammlung Prozesse / 9 Energietechni 4) Überprüfung der echnung aus ): w 8.8 F w cw A w.4 F w cw A Fw u Fw u P Fw u Fw u n M M 0.8 m n 0.7 (vgl.:0.9 m undungsfehler) 5) Vergleich mit maximalem Leistungsbeiwert:.4 Pmax cpmax Av. 0 W cpmax aus Betz'scher Formel 7 7 cp * 0.09 cp max 8.4% 7 c 0.59 pmax ) Vergleich mit olarpanel: W P q 800 ; 0.8; P q A s As.8 m m q Aufgabe P9: Härteprozess n einer Härterei wird eine tahlwelle für Hochdrehzahlanwendungen mit einer Masse m t = 50 g (c t = 50 J/(g K)) in einem Ofen von 0 C auf ϑ t = 000 C binnen T = h aufgeheizt! ) Wie groß sind die dafür erforderliche Heizleistung P und die Wärmeenergie W wenn der Ofen einen Wirungsgrad von η = 0.85 hat? ) Die Härtung der Welle wird durch plötzliches Abühlen ( Abschrecen ) in einem salzhaltigen Wasserbad (0 C V = 000 Liter H O g/liter ch O 48 J / g K) auf ϑ t = 80 C erreicht! m wie viel Grad Celsius erwärmt sich dabei das Wasserbad? Aufgabe P9 (Lösung): Härteprozess ) 000 C - 0 C 980 K Q mt ct J Q W W J P 4. W 0.85 T 00 ) ' 000 C 80 C 80 K m H O V H O g Q ' mt ct ' mh O ch O H O H O 4.75 K 83 Aufgabensammlung Prozesse / 0 Energietechni Aufgabe P0: Kühlschran Ein Kühlschran mit 50 l Volumen ühlt den nhalt auf 5 C und hat eine eletrische Leistung des Kälteompressors P = 50 W. ) Die Hälfte des Kühlschran-nnenraums wird mit Lebensmitteln (aumtemperatur außen 5 C) befüllt die näherungsweise zu 00% aus Wasser bestehend angenommen werden (z.b. Obst Milch ). Welche Wärmemenge Q wird den Lebensmitteln entzogen (c H0 = 48 J/(g K))? ) tellen ie die Wärmebilanz mit Q zu Q ab für das Abühlen während der Zeit t (Kompressorarbeit W zu = P t) für den technischen Kreisprozess auf! ) ehmen ie für den Wirungsgrad η = Q zu /W zu den idealen Carnot-Wirungsgrad für Kühlprozesse an: Talt Theiß T T alt heiß Talt Wie groß ist dieser Wirungsgrad? Wie lange dauert die Abühlung t des Kühlguts? 4) Wie lange würde ungeühlt die Zeit t zum Aufheizen des Kühlguts von 5 C auf 5 C mit der Heizleistung P = 50 W dauern? 5) Beim realen Kühlschran muss die Heißseite (das sind die schwarzen Wärmetauschgitter hinter dem Kühlschran) deutlich wärmer als die mgebungstemperatur sein damit die Wärme an die mgebungsluft via Konvetion abgegeben werden ann (T heiß 50 C). Wie lange dauert nun der Abühlvorgang t? Aufgabe P0 (Lösung): Kühlschran ) Wärmemenge: 50 V 75 l; m VH 0 H g 5 C - 5 C 0 K Q mh 0 ch J ) Wärmebilanz: Bild P0.: Vereinfachtes Energieflussdiagramm eines Kühlschrans Qzu Q Wzu P t Qab Q P t Qzu Wzu ) Kühlprozess: Theiß K Talt K Qzu Q.9! Wzu P t Theiß 98 Talt 78 Q t 0.5 s 50.9 min P.950 84 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni 4) Aufwärmprozess: Q t ' 480 s 97.7 min.9 - fache Zeit P 50 5) ealer Kühlschran: Theiß 7 50 K Talt K Qzu Q '.8! Wzu P t'' Theiß Talt 78 Q t'' s.9 min ' P.850 Aufgabe P: Wärmepumpe Bei der Wärmepumpe wird eine spezielle Flüssigeit in einem ohrsystem im Erdreich durch die Erdwärme Q zu bei ca. 0 C verdampft. m Gebäude wird sie durch Kompression in einem eletrisch betriebenen Kompressor (Arbeit W zu ) verflüssigt und gibt die Verdampfungswärme als utzwärme Q ab = Q zu + W zu bei ca. 5 C z.b. in einer Fußbodenheizung ab. ach Überströmen aus diesem hohen Drucbereich über ein Drosselventil gelangt die Flüssigeit im Kreislauf wieder zum ohrsystem ins Erdreich. ) Berechnen ie die absolute Temperatur (Kelvin-ala!) der Heiß- und Kaltseite T heiß und T alt! ) Berechnen ie den Carnot-Wirungsgrad η C dieser Kraft-Wärme-Maschine mit Qab Theiß C! Wie groß ist die Wärmemenge Q ab im Verhältnis zu Q zu? Wzu Theiß Talt ) Wie groß ist die Kompressorleistung P zu für eine dem Erdreich entzogene thermische Leistung P = 0 W = Q zu /t? 4) ehmen ie im Folgenden an dass eine reale Wärmepumpe die doppelte Kompressorleistung P zu = P zu von ) benötigt. Welchen Wert der Primärenergie W zu in einem thermischen Kraftwer mit η KW = 0.4 ist für eine Heizenergie Q ab = Wh bei eletrischen Übertragungsverlusten von 8% erforderlich? Wenn diese Primärenergie z.b. in Form von Erdgas diret im Gebäude mit 00% Wirungsgrad verheizt würde: Wäre die Wärmepumpe im Vergleich zu Heizungsarbeit noch energetisch sinnvoll? Aufgabe P (Lösung): Wärmepumpe ) Temperaturen: T heiß K Talt 70 8 K ) Wirungsgrad: C. T 8 alt Theiß 08 Qab Qab Wzu Wzu C C Q zu Wzu Qzu Qab Wzu C C.09 85 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni ) Leistung: Qzu Wzu P Qzu Talt P Pzu ;. t t P heiß 08 zu Wzu Theiß T T alt Talt 8 P 0000 Pzu 88.9 W Qzu. Wzu 4) Vergleich mit thermischem Kraftwer: Qab Qab Wh; Qzu 0.9 Wh Qab.09 Qzu Wzu Qab Qzu Wh Pzu t; Pzu ' Pzu Wzu ' Wzu Wh ü Wzu ' 0. W 0.44 Wh Primärenergie je Wh Heizenergie ü KW W 0.44 Wh Qab Wh : Die Wärmepumpe liefert bei gleichem Primärenergiebedarf W = 0.44 Wh eine höhere Heizenergie ( W > 0.44 Wh) und ist somit energetisch günstiger als das direte Verheizen des Primärenergieträgers bei 00 % Wirungsgrad da sowohl die Kompressorenergie als auch die Erdwärme genutzt werden. Aufgabe P: Wärmepumpe Eine tadt mit z = 0000 Haushalten (40000 Einwohner) soll zentral durch eine große Wärmepumpe mit Heizwärme Q ab über ein Heißwasser-Fernwärme-ohrleitungssystem versorgt werden. Als Wärmespender Q zu ist der durch die tadt mit v = 5 m/h fließende Fluss (Flussbreite/ -tiefe: 50 m/ m) vorgesehen dessen Wassertemperatur im Winter im Mittel 8 C ist. Eine spezielle Flüssigeit wird durch ohre im Flusswasser geleitet und verdampft bei 8 C. Danach wird sie durch einen Kompressor unter Druc verflüssigt (Arbeit W zu ). ie gibt ihre Kondensationswärme Q ab = W zu + Q ab in einem Wärmetauscher an das Fernwärme-Wasser bei 88 C ab und wird nach Drucreduzierung durch ein Drosselventil wieder in das ohrsystem im Fluss gepumpt. ) Wie groß ist das Verhältnis η C = Q ab /W zu = T heiß / (T heiß T alt )? Je W Kompressorleistung werden wie viele W Heizleistung erzielt? ) Wie groß ist die Wärmeleistung P th des Flusses wenn dieser auf 4 C abgeühlt wird (c H0 = 48 J/(g K))? ) Ein Haushalt verbrauchte mit onventioneller Ölheizung während der Heizperiode von sieben Monaten á 0 Tagen V Öl = 5000 l Heizöl (γ Öl = 0.9 g/l; Heizwert: H 0 = J/g). Wie groß ist der Wärmebedarf Q th der tadt je Heizperiode und wie groß die mittlere Heizleistung P th (Wirungsgrad der Ölheizung idealisiert 00%)? 4) Wie groß ist die erforderliche Kompressorleistung P K um gemäß ) die tadt mit der Wärmepumpe zu beheizen? m wie viel C muss der Fluss abgeühlt werden um die tadt zu beheizen? 86 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni 5) Wie groß ist die Einsparung an Primärenergie mit der Wärmepumpe wenn die eletrische Energie für den Kompressor von einem thermischen Kraftwer (η KW = 40%) mit Übertragungsverlusten von 8% bereitgestellt wird? Aufgabe P (Lösung): Wärmepumpe ) Heizleistung Theiß 7 88 K Talt 7 8 8K Qab Theiß C 4.5 Wzu Theiß Talt 8 Qab C Wzu 4.5Wzu Qab Wzu Pab P t t P W Kompressorleistung je Pab 4.5 W abgegebener Heizleistung ) Prozessleistung: 5 V Av m /s. mho m H O H O V H O g/s t Q m zu HO c P W HO t t ) Wärmemenge der tadt: zufluss Qth VÖl Öl H0 z J.575 PJ z 0 000; T s 5 Qth.5750 Pth W T ) Abühlung des Flusses: Pth PK 9.50 W 9. MW Pab / P 4.5/.5 PFluss Pth W 4.5 PFluss ' 4 0. K P zufluss.770 Abühlung von 8 C auf 7.77 C 5) Einsparung an Primärenergie: ü PK W im Vergleich zu W ü KW Einsparung an Primärenergie : 9.79% 87 Aufgabensammlung Prozesse / 4 Energietechni Aufgabe P: tirling-maschine Eine tirling-maschine soll als Motor für einen autonomen Grundwasser-Pumpenantrieb in einem sonnenreichen aber entlegenen Gebiet in Äquatornähe arbeiten. Das in der Maschine befindliche Arbeitsgas wird auf der Heißseite durch einen das onnenlicht onzentrierenden Parabolspiegel auf H 70 C aufgeheizt. An der Kaltseite herrscht die mgebungstemperatur K 5 C. ) Wie groß ist der maximal mögliche Wirungsgrad max einer idealen tirling-maschine bei der msetzung der Wärmeenergie in mechanische Arbeit? ) Die reale tirling-maschine hat auf Grund der eibungs- und Wärmeverluste einen um den Fator geringeren Wirungsgrad. Welche Wärmeleistung P th muss der Maschine zugeführt werden damit für die Pumpenleistung P P = 0 W zur Verfügung stehen? ) Berechnen ie vereinfacht die Fläche A und den Durchmesser D des Parabolspiegels mit der extraterrestrischen olaronstante 0 = 8 W/m und 0 % eflexion der solaren Einstrahlung in der Atmosphäre! 4) Eine ähnliche tirling-maschine soll in einem Labor als Kältemaschine ein Bad aus flüssigem ticstoff (iedetemperatur bei ormal-luftdruc 77.5 K) alt halten. n diesem Kältebad (Kryostat) befindet sich ein Versuchstransformator mit supraleitenden pulen deren ohm scher Widerstand bei 77 K verschwindend lein ist. nfolge des Transformator- Wechselstrombetriebs treten aber Wirbelströme in den upraleiter-pulen auf die gemeinsam mit dem von außen aus der mgebung eintretenden Wärmefluss die Wärmeleistung P th = 550 W im ticstoffbad verursachen. Diese Wärmeleistung soll durch die tirling- Maschine über deren mechanische Antriebsleistung P von T K 77.5 K auf die Heißseite (mgebungstemperatur) H 5 C befördert werden. Wie groß ist dafür der ideale Carnot- Wirungsgrad CKWM P th / P und die (ideale) Kompressorleistung P? Bestimmen ie auch die um den Fator größere reale Kompressorleistung P und den realen Wirungsgrad! KWM Aufgabe P (Lösung): tirling-maschine ) T K K 7.5 K (5 7.5) K 08.5 K T H H 7.5 K (70 7.5) K 44.5 K Wärme-Kraft-Maschine (WKM): dealer maximal möglicher Wirungsgrad = Carnot-Wirungsgrad: T 08.5 K max C % TH 44.5 ) C / 0.04 / 0.5 % P th P / 0000 / W ) Direte eflexion: 0 % 0 ( 0.) W/m A Pth / 985 / m D / 4 D 4 A / 4 0 /. m 4) Kraft-Wärme-Maschine (KWM): C KWM Pth / P ( Pth t) /( P t) Qzu / Wzu Auf der Kaltseite bei T K 77.5 K : Wärmeabfuhr aus dem Bad = der tirling-maschine zugeführte Wärmemenge Q zu ~ T K 88 Aufgabensammlung Prozesse / 5 Energietechni Auf der Heißseite bei T H H 7.5 K (5 7.5) K 98.5 K : Wärmeabfuhr aus der der tirling-maschine an die mgebung: Wärmemenge Q ab ~ T H. dealer Carnot-Wirungsgrad: Qzu Qzu TK 77.5 C KWM 0.49 Wzu Qab Qzu TH TK Erforderliche mechanische Antriebsleistung für die tirling-maschine: deal: P P 550 / W th / C KWM eal: P P W KWM P / P th 550 / % Aufgabe P4: Wärmepumpe Das Erdreich eines Gartens eines Einfamilienhauses dient im Winter mit z. B. 7 C Bodentemperatur als Wärmequelle (Erdwärme) für eine iedrigtemperaturheizung (57 C) z. B. als Fußbodenheizung im Haus. ) Wie groß ist die ideale Leistungszahl CWP (COP C ) der Wärmepumpe? ) Die reale Wärmepumpe benötigt die doppelte mechanische Antriebsleistung als Kompressorleistung! Bestimmen ie die reale Leistungszahl COP! Das Wievielfache der aufgebrachten Antriebsleistung P steht als Heizleistung P H zur Verfügung? ) Die eletrische Leistung für den E-Motor des mechanischen Antriebs der Wärmepumpe (Kompressor) wird in einem Kohle-Kraftwer ( KW = 0.4) zentral erzeugt und mit 8 % Übertragungsverlusten zur Wärmepumpe übertragen. Wie groß ist der erforderliche Primärenergieeinsatz W prim der Kohle je Wh Heizenergie? st es energetisch günstiger die Kohle (W prim ) diret als Heizenergie im Einfamilienhaus (bei einem Heizungswirungsgrad Heiz = 95 %) anstelle der Wärmepumpe einzusetzen? Aufgabe P4 (Lösung): Wärmepumpe ) T K K 7.5 K (7 7.5) K 80.5 K T H H 7.5 K (57 7.5) K 0.5 K Wärmepumpe (WP): Auf der Kaltseite bei T K 80.5 K : Wärmeabfuhr aus dem Erdreich = der Wärmepumpe zugeführte Wärmemenge Q zu ~ T K Auf der Heißseite bei T H 0.5 K : Wärmeabfuhr aus der Wärmepumpe an die Heizung: Wärmemenge Q ab ~ TH. dealer maximal möglicher Wirungsgrad = Carnot-Wirungsgrad: Qab Qab T 0. COP H C WP C.! Wzu Qab Qzu TH TK ) Qab Qab Wzu real Wzu : COP COPC /.. Wzureal Wzu P WE / t P H Q ab / t. P Es steht das.-fache der mechanischen Leistung P als Heizleistung P H zur Verfügung da sowohl Antriebsenergie als auch Erdwärme für die Heizungswärme nutzbar sind! 89 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni ) Heizenergie: Qab COP W zureal Übertragungsverluste: 8 %: ü W W /( ü ) W Q prim Q prim ab zureal W Q ab zureal KW KW ü Q COP ab KW Q Heiz Heiz Wprim Qab ü ab COP 0 Q Q ab KW ab ü ein es ist nicht energetisch günstiger W prim diret zu verheizen sondern die Wärmepumpe zu benutzen! Aufgabe P5: Kolbenverdichter n einem energietechnischen Labor wird für Versuche zur optimalen Flammbildung bei der Verbrennung von Müll zur Energieerzeugung Drucluft mit bar Überdruc benötigt. Diese Drucluft wird mit einem einstufigen Kolbenverdichter je tunde aus 000 m mgebungsluft (diese hat ormalbedingungen: 0 mbar 0 C) erzeugt. Der Zylinderraum des Kolbenverdichters wird mit einer Wassermantelühlung so geühlt dass die Temperatur der Luft bei der Kompression onstant bleibt (= isotherme Verdichtung). ) Bestimmen ie die theoretisch aufzuwendende Verdichterleistung P eines idealen Verdichters! ) Wie groß ist die nötige Kühlwassermenge V H O in l/s wenn es sich ausgehend von einer Eintrittstemperatur H O 0 C um H O 0 K erwärmt ( c H O 48 J/(g K) H O g/l )? ) Wie groß wäre die Verdichterleistung P ad bei ideal adiabatischer Verdichtung infolge eines ideal thermisch isolierten Verdichterzylinders ( Luft. 4 )? Bestimmen ie die prozentuale Änderung P ad /P! Aufgabe P5 (Lösung): Kolbenverdichter ) Luft wird als ideales Gas betrachtet: p V m T Luftzustand vor der Kompression (ndex ): p V T Luftzustand nach der Kompression (ndex ): p V T wobei T T p.0 bar p.0 bar p p p bar V 000 m /h p V m T onst.: T V p T p V T T V p m Kapitel P: sotherme Kompressionsarbeit = Technische Arbeit W t für p p : W t p p p p V dp pv (/ p) dv pv ln( p) pv ln( p / p) pv ln( p / p) p sotherme Kompressionsleistung: P W / dt W p V ln( p / p ) p p d t t 90 Aufgabensammlung Prozesse / 7 Energietechni P.00 ln(.0/ 4.0) 877 W <0 weil es ist eine dem ystem 00 zugeführte mechanische Leistung. Weiter ist bei isothermer Kompression gemäß Kap. P: Wt W wobei W auch die Drucarbeit enthält daher P dwt / dt dw / dt. ) Kapitel G: dq d dw Luft als ideales Gas: ~ T. Wegen T onst. onst. daher: dq dw dq Q dw W. Diese bei der Kompression auftretende Wärmemenge Q muss über den Kühlwassermantel abgeführt werden damit T onst. dq dw dq / dt dw / dt bzw. Q W Q W W t W. Q m H O ch O H O V HO HO ch O H O Q 877 V H O m / s 0.4 l/s H O ch O H O ) p V Kap. P: Adiabate: p V Adiabatische Kompressionsarbeit: W Mit P P p p p / / p V p V V t V dp p V p dp p V p p p ad p V p V p folgt: p V W t p p V p t.0 0 W p P ( W)/(-877 W).5 P / P.5 % ad / ad W W Aufgabe P: Glühofen Durch Abschrecen glühend erhitzter tahlwellen in einem alzbad werden diese Wellen gehärtet und dadurch ihre mechanische Festigeit erhöht. omit eignen sie sich z. B. als Wellen für schnell drehende chwungradspeicher. Der für die Erhitzung der Wellen nötige mit Gasheizung befeuerte Glühofen in einer Härterei hat eine Außenwandfläche A = 4 m die mit einer 0.5 m chamotte-chicht thermisch isoliert ist. Deren Wärmeleitfähigeit beträgt 0.9 W/(m K). Der Ofen wird im nneren auf 000 C erhitzt und rund um die hr im Dreischicht-Betrieb verwendet. ) Wie groß ist der tägliche Wärmeverlust Q in MJ und in cal bei einer aumtemperatur 0 C? amb 91 Aufgabensammlung Prozesse / 8 Energietechni ) m wie viel Prozent verringert sich dieser Wärmeverlust wenn die Außenwand durch eine weitere solierschicht mit sehr geringer thermischer Leitfähigeit (Dice cm 0.09 W/(m K) ) verstärt wird? Aufgabe P (Lösung): Glühofen ) Temperaturdifferenz an der Ofenwand: 000 C 0 C 970 K Wärmeleistung durch Wärmeleitung die durch die Ofenwand fließt (Kap. P): P A / W th / Q Pth T MJ Q.50 / cal ) erienschaltung zweier solierschichten durch die beide dieselbe nunmehr verringerte Wärmeleistung P th fließt: P th A / P th A / P th /( A ) P th /( A ) Gesamte Temperaturdifferenz an der Ofenwand: 970 K Pth A Pth W A P th : Der Wärmeverlust verringert sich um 8. %! P 7.8 th Aufgabe P7: Boiler Ein eletrischer Boiler (Wasserocher) in der Küche eines Privathaushalts hat ein Fassungsvermögen von V = 0 Liter Wasser das mit in = C aus der öffentlichen Wasserversorgung in den Boiler eintritt. Eine el. Widerstandsheizspirale mit den Anschlussdaten = 0 V = 5 A 50 Hz erhitzt das Wasser bei mgebungsdruc auf die iedetemperatur = 00 C wobei 0% der über die pirale zugeführten el. Leistung als Wärmeverlust durch die Boilerwand an die mwelt verloren gehen. ) Berechnen ie die eletrische Anschlussleistung P e und die thermisch für die Aufheizung des Wassers zu Verfügung stehende Heizleistung P th! ) Wie lange benötigt der Boiler zum Aufheizen des Wassers auf 00 C ( 000 g/m ch O 487 J/(g K) )? ) Der Haushaltsstrom-Arbeitspreis beträgt ct. je Wh. Wie hoch sind die trom- Arbeitsosten K für das Aufheizen des Wassers auf 00 C? Aufgabe P7 (Lösung): Boiler ) P e W 0% Wärmeverluste: th P P W th th e H O 92 Aufgabensammlung Prozesse / 9 Energietechni ) Wassererwärmung: m H O V H O 0 0 in 00C C 88 K Wassermasse: g Erforderliche Wärmemenge: Q m c J H O H O Aufheizzeit: Pth Q / T T Q / Pth 8450 / 45 5 s 5.4 min ) We P e T J.4 Wh ct Wh K W ct/wh.4 ct 0. Euro e A ufgabe P8: aumlimatisierung n einem Großraumbüro wird während der alten Jahreszeit eine Lufterwärmung von 8C auf C und eine Luftbefeuchtung von 0. g Wasser je 00 m /h Luftstrom in über eine eletrisch betr iebene Klimaanlage für einen Luftstrom V L 00 m /h eingestellt. owohl die Lufterwärmung als auch die Wasserverdampfung erfolgen über eine eletrische Widerstandsheizung bei = 0 V 50 Hz. ) Berechnen ie die für die Lufterwärmung erforderliche thermische Leistung P thl ( c p.005 J/(g K) L0C.04 g/m )! ) Berechnen ie die für die Wasserverdampfung bei 0 C erforderliche thermische Leistung P thw! Die gemessene Verdampfungswärme von Wasser in Abhängigeit der absoluten Temperatur T wird mit der empirisch ermittelten Formel beschrieben: T T J QV HV QV T K g ) Wie groß ist bei einem thermischen Wirungsgrad th die einphasige eletrische Anschlussleistung P? eicht eine -A- oder eine -A-Absicherung? 4) Der trom-arbeitspreis beträgt ct. je Wh. Wie hoch sind die trom-arbeitsosten K für die Winterperiode von 4 Monaten zu je 0 Tagen (ohne Wochenend- und achtabsenung der Temperatur durch die Heizung)? A ufgabe P8 (Lösung): aumlimatisierung ) Lufterwärmung: in C 8C 4 K P V t c V t c V th L QL / t ( cp L ) / p L ( / ) p L Erforderliche Wärmeleistung: P th L (00 / 00) 84 W ) Wasserverdampfung bei 0 C: T = = 9 K 9 9 J Q V HV g Wassermasse/tunde: m H O 00 m 0. g/h 00 m. g/h 93 Aufgabensammlung Prozesse / 0 Energietechni. Erforderliche Wärmeleistung: Pth W QW / t m H O QV W 00 ) Pe ( PthL PthW ) / th (84 454) / W Pe / 09 / A : Eine -A-icherung reicht nicht aus. Es muss mit A abgesichert werden! 4) T h W P T Wh K W e e e ct/wh Wh ct/wh 94 Euro Aufgabe P9: aumheizung Eine 00 m -Wohnung mit quadratischer Grundfläche A und aumhöhe h =.5 m hat Außenwände aus.5 cm dicen Mauerziegeln. Dadurch ergibt sich eine Wärmestromdichte je K Temperaturdifferenz zwischen nnen- und Außen-Temperatur von P /( A ) 0.8 W/(m K). n diesem 4-Personen-Haushalt werden während 4 h durch die von den Menschen ausgeatmete wasserhaltige Atemluft durch Transpiration durch Kochen Waschen Duschen Baden aber auch durch die Blattatmung der Zimmerpflanzen 0 Liter Wasser an die 0 C warme nnenluft abgegeben. ) Bei 0 C führen 7. g Wasser je m Luft zu 00% relativer Luftfeuchte. Darüber setzt Taubildung an den Wänden ein. ach wie viel tunden (Zeit ) ist dieser Punt ausgehend von absolut trocener Luft (ohne Lüftung) erreicht ( H O 000 g/m )? ) m chimmelbildung zu vermeiden und die verbrauchte Atemluft zu ersetzen muss die nnenluft regelmäßig durch Lüften ausgetauscht werden. Empfohlen wird für Wohnräume ein Luftwechsel von 0.5 m /h je m Luftvolumen im Wohnraum. Wie groß ist der zugehörige Luftvolumenstrom V L beim (theoretisch ontinuierlichem) Luftwechsel? ) Die nnenluft-temperatur soll onstant L C betragen. Berechnen ie für einen Wintermonat bei einer Außen-Temperatur 4C die erforderliche Heizleistung P th amb L0.04 g/m ( cp.005 J/(g K) C )! 4) m wie viel Prozent verringert sich die Heizleistung P th bei Anbringen einer Wärmedämmung (z. B. Polyurethan-Hartschaum) mit P/( A ) 0. W/(m K)? 5) Berechnen ie für 4) die Heizosten pro Monat (= 0 Tage) mit einer Erdgasheizung (Wirungsgrad th 0. 9 Erdgas-Heizwert Hi 0 MJ/m ) wenn m Erdgas 8 ct. ostet ( Arbeitspreis ) und der Grundpreis ( Anschlussgebühr ) Euro/Monat beträgt! st eine eletrische Widerstandsheizung (00% thermischer Wirungsgrad) bei 5 ct./wh ( Arbeitspreis ) und 0 Euro/Monat ( Anschlussgebühr ) billiger? 94 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni Aufgabe P9 (Lösung): aumheizung ) Luftvolumen: VL A h m VH O 0 0 m T 4 h m H O VH O H O / T / g/h 47 g/h 47 g/h g m H O / VL.7 Luftfeuchte 00% : m H Omax 7. g/m 50 m h m m H Omax h m H O / VL.7 ) V L / VL 0.5 / h V L 0.5VL / h m / h 5 m / h ) d d Pth Pth Pth ml cp ml cp A (lin. DGL. Ordnung) dt th dt Wärmespeicherung Wärmeabfuhr L amb ( 4) K 5 Pth m L cp V L L cp W 00 A L L A 00 0 m Außenwandfläche: AL 4 L h m P th AL W P th Pth Pth W 4) P th AL W P th Pth Pth W : Absenung der Heizleistung um 9.% 7.5 5) P P 94.5 / W W P 0T MJ th / th z W / Hi / m K z Euro. Alternativ: Eletrowiderstandsheizung: th Pe Pth / th Pth 94.5 W W Pth 0 T Wh K W Euro 5.4 Euro.9 : Die Eletroheizung ist um 90% teurer als die Gasheizung! 9. Euro 95 Aufgabensammlung Prozesse / Energietechni Aufgabe P0: Kraftwersarten ) Ergänzen ie die nichtvolatilen Kraftwers-Kategorien zu der nachfolgenden Tagesganglinie der etzverbraucherleistung P(t) (Bild P0.). ) ennen ie jeweils einen zugehörigen Kraftwerstyp. Bild P0.: Tagesganglinie der etzverbraucherleistung P(t) Aufgabe P0 (Lösung): Kraftwersarten ) : pitzenlast : Mittellast : Grundlast ) : Gasturbinenraftwer Pumpspeicherraftwer : teinohleraftwer GuD-Kraftwer Biomasse-Kraftwer : Kernraftwer Laufwasserraftwer Braunohleraftwer 96 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni Aufgabe T: Magnetischer Eisenreis Ampère scher Durchflutungssatz Der geblechte magnetische Eisenreis gemäß Bild T. mit dem Querschnitt A = 0x0 mm hat einen Luftspalt = mm. Die Werstoffennlinie des warmgewalzten Eletroblechs B(H) ist in Bild T. Kurve dargestellt. Die Erregerspule mit Windungen führt den Gleichstrom der im Luftspalt eine magnetische Flussdichte B =.8 T erregt. Bild T.: Magnetischer Eisenreis Bild T.: Gleichstrom-Magnetisierungsurven ) Wie groß ist der magnetische Fluss im Luftspalt? ) Wie groß ist die magnetische Flussdichte B Fe im Eisenern entlang der gestrichelt eingezeichneten Feldlinie in Bild T.? ) Wie groß ist die magnetische Feldstäre H im Luftspalt und H Fe im Eisen? Wie groß ist die magnetische Permeabilität im Luftspalt und im Eisen? 4) Wie groß ist die erforderliche eletrische Durchflutung in der Erregerspule um die oben genannte magnetische Flussdichte B =.8 T zu erregen? 5) Wie groß ist der Wert von wenn die pule = 500 Windungen hat? Aufgabe T (Lösung): Magnetischer Eisenreis Ampère scher Durchflutungssatz ) Polfläche im Luftspalt: A mm Magnetischer Fluss im Luftspalt: B da B A A mWb ) Eisenquerschnitt A Fe = Polfläche im Luftspalt A. Da die Flüsse im Luftspalt und Fe im Eisen gleich groß sind (Annahme: ein treufluss vorhanden vgl. Bild T.) gilt: A B A B B B ( A / A ) B. T Fe h Fe Fe Fe Fe 8 ) 7 m Luftspalt gilt: Vs /( Am) H B / 0.8/(4 0 ) 495A/ m m Eisenblech gilt: BFe Fe( H Fe). 8T. Die Kennlinie von Bild T. liefert: 7 97 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni H Fe 80A/ cm 8000A/ m Fe BFe / H Fe.8/ Vs /( Am) 790 4) Ampère scher Durchflutungssatz längs geschlossener Kurve C (Bild T.): H H Fe sfe A Länge von s Fe (0 0) (5 0) 87mm 5) / 79/ A Aufgabe T: Faraday sches ndutionsgesetz - uhindution Ein Magnetreis (Bild T. a) hat die Maße = mm b = l = 0 mm. Die Erregerspule mit = 500 Windungen wird mit Wechselstrom i( t) ˆ sin( f t) f 00Hz ˆ 7. 8A gespeist. Die magnetische Permeabilität des Eisens Fe ann gegenüber dem Wert 0 im Luftspalt näherungsweise als unendlich groß angenommen werden. m Luftspalt des Magnetreises befindet sich eine quadratische pule mit 0 mm eitenlänge und s = 0 Windungen (Bezugsrichtung der orientierten pulenfläche gemäß Bild T. b). ) Berechnen ie B (t) und sizzieren ie den zeitlichen Verlauf von i(t) und der magnetischen Luftspaltflussdichte B (t) maßstäblich! Anmerung: Der magnetische Fluss die magnetische Flussdichte B und die magnetische Feldstäre H werden wegen der nichtlinearen B(H)-Kennlinie des Eisens stets als cheitelwerte angegeben unabhängig von der zeitlichen Kurvenform. Wenn sich z. B. der Fluss (t) zeitlich sinusförmig ändert so ist die Angabe eines Effetivwerts des Flusses physialisch sinnlos da die Eisen-ättigung durch den cheitelwert bestimmt wird. Daher wird in der Bezeichnungsweise nicht zwischen den ymbolen ˆ und unterschieden sondern es ist mit stets der cheitelwert gemeint. ) Wie groß ist die magnetische Flussverettung (t) des von der Erregerspule erzeugten Magnetfelds mit der im Luftspalt befindlichen pule? ) Wie groß ist die induzierte pannung u i (t) die in die Luftspaltspule induziert wird? izzieren ie ihren zeitlichen Verlauf maßstäblich! 4) Berechnen ie die Gegenindutivität M zwischen Erregerspule und Luftspaltspule! a) b) Bild T.: a) pule im Luftspalt eines Magnetreises b) Bezugsrichtung der orientierten pulenfläche 98 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni Aufgabe T (Lösung): Faraday sches ndutionsgesetz uhindution ) Eisenquerschnitt A Fe = Polfläche im Luftspalt A. Da die Flüsse im Luftspalt und im Eisen Fe gleich groß sind (Annahme: ein treufluss vorhanden vgl. Bild T.) gilt: Fe h A B AFeBFe BFe B ( A / AFe) B Wegen der unendlich groß angenommenen Permeabilität des Eisens ist die magnetische Feldstäre im Eisen ull: H Fe B Fe / Fe 0. Ampère scher Durchflutungssatz längs geschlossener Kurve C (Bild T.): i( t) Durchflutung ( t) i( t) H H Fe sfe H B / 0 B ( t) 0 Magnetische Luftspaltflussdichte: sin( 00t) B ( t) 4 0.T sin(00t) 0.00 chwingungsdauer T / f /00 0ms Bild T.: Zeitverläufe des Erregerstroms i der Luftspalt-Flussdichte B und der induzierten pannung u i ) Der Flussdichtevetor ( t) ( t) A s s B tritt gegen die da -ichtung durch die pulenfläche: δ B ( t) sin( 00 t) 0.047Vs sin( 00 t) ) Faraday sches ndutionsgesetz: ( t) d ( t) / dt f ˆ cos(f t) u i ( t) 00( 0.047) cos( 00t) 9.V cos( 00t) u i 4) Die Gegenindutivität M ist als der Verhältnisfator zwischen dem mit der pule veretteten Fluss und dem in der pule erregenden trom wegen der Bezugsrichtung in Bild T. b) negativ. 99 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 4 Energietechni M M ˆ ˆ ( t) sin(f t) i ( t) ˆ sin(f t) ˆ mH Aufgabe T: Faraday sches ndutionsgesetz - Bewegungsindution Ein Magnetreis gemäß Bild T. a) mit quadratische Querschnittsabmessungen b = l = 0 mm wird über eine Erregerspule mit Gleichstrom so erregt dass im Luftspalt eine magnetische Flussdichte B =.8 T auftritt. Die im Luftspalt befindliche quadratische pule (ichtungssinn der Flächennormalen gemäß Bild T. b) c = 0 Windungen 0 mm eitenlänge nnenwiderstand c = 0. ) liegt zum Zeitpunt t = 0 so dass die pulenseiten genau über den Kanten der Polfläche liegen. ) Die Luftspaltspule wird ab dem Zeitpunt t = 0 mit v = 0 m/s nach lins durch eine externe Antriebsraft F m aus dem Luftspalt gezogen (siehe Bild T.). Welcher physialische Effet tritt auf? ) izzieren ie den zeitlichen Verlauf der in die Luftspaltspule induzierten pannung u i (t) von Klemme nach Klemme (Bild T. b)) maßstäblich für den Zeitraum von 0 bis ms. ) Die Luftspaltspule wird mit einem Widerstand = belastet. Zeichnen ie das eletrische Ersatzschaltbild der belasteten pule mit der induzierten pannung wobei ie die positive tromrichtung i c gemäß dem mlaufsinn von Bild T. b) wählen. 4) Berechnen und sizzieren ie maßstäblich den in der pule fließenden trom i c (t)! Der Einfluss der pulenselbstindutivität wird vernachlässigt. Welche Wirung hat der fließende pulenstrom? 5) Wie groß ist die auf die bewegte Luftspaltspule wirende Lorentz-Kraft F? n welche ichtung wirt diese Kraft? ) Wie wirt die bewegte pule als eletromechanischer Energiewandler? Geben ie die Energiebilanz im Erzeugerzählpfeilsystem an und ermitteln ie den Wirungsgrad! Bild T.: ach lins mit v bewegte Luftspaltspule (zu Bild T. a): Blic von oben auf die pule) Aufgabe T (Lösung): Faraday sches ndutionsgesetz - Bewegungsindution ) Es wird durch Bewegungsindution eine pannung u i in der bewegten pule induziert solange sich die rechte pulenseite durch das Magnetfeld im Luftspalt nach lins bewegt (Bild T.). obald die pule den Luftspalt vollständig verlassen hat befindet sie sich im feldfreien aum so dass die induzierte pannung nun ull ist. Eine uhindution tritt wegen der zeitlich onstanten Flussdichte B δ nicht auf: B δ / t 0. 100 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 5 Energietechni ) Von den beiden zu l parallelen pulenseiten befindet sich nur die rechte pulenseite ab t > 0 noch im Luftspalt so dass dort die bewegungsinduzierte Feldstäre Eb v Bδ parallel zum Tangentenvetor ds an die pulenseite der Länge l auftritt. Die anderen beiden pulenseiten liegen parallel zu b und schließen mit der bewegungsinduzierten eletrischen Feldstäre Eb v B δ einen rechten Winel ein so dass Eb ds 0 ist. Folglich ist die induzierte pannung je Windung u v B ds v B ds v B ds v B. i C l δ δ nduzierte pannung für die gesamte pule (Bild T. a)): u v B l V. i c ach der Zeit δ δ δ t b / v 0 0 / 0.5 ms hat die pule den Luftspalt verlassen; die induzierte pannung ist ab diesem Zeitpunt ull. ) u ui c ic u ic da u von nach gezählt wird der pulenstrom i c aber gemäß dem mlaufsinn der Kurve C in Bild T. b): ui ic c ic ui ( c ) ic (Bild T.) Bild T.: Bewegte pule: Eletrisches Ersatzschaltbild der mit dem Widerstand belasteten induzierten pule 4) i 0.8 i c c 9.8 A (Gleichstrom) 0 t t c 0. Der pulenstrom bewirt in der pule die ohm schen Verluste ic 0 t t cc (Bild T. a)) 0. ( 9.8) 9.4W und c ( 9.8) 9.4W im äußeren Belastungswiderstand. Weiter erregt er über die (hier vernachlässigte) pulenselbstindutivität ein Eigen-Magnetfeld das in ichtung von B δ wirt und somit versucht den auf Grund der pulenbewegung abnehmenden pulenfluss c Bδ l ( b v t) 0 t t und c 0 t t aufrecht zu erhalten (Lenz sche egel!). Weiter bewirt der trom eine bremsende Lorentz-Kraft. 101 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni a) b) Bild T.: Bewegte pule: a) Zeitverläufe von induzierter pannung und pulenstrom b) bewegungsinduzierte Feldstäre E b und Lorentz-Kraft F der pule 5) F F c c i c C c ds B l B δ δ c c C ds B δ c 0 ( 9.8) c l ds B δ c c ( l Bδ) Die Lorentz-Kraft F wirt entgegen v und damit entgegen der Bewegungsrichtung der pule (Bild T. b)). ie bremst und muss von der externen Antriebsraft F m = -F = 5. überwunden werden um die Bewegung aufrecht zu erhalten. ) Der Wandler wirt als Generator. Die externe Antriebsraft F m muss die pule gegen die bremsende eletromagnetische Lorentz-Kraft F mit der Geschwindigeit v bewegen. Es wird (in gerundeten Zahlen) der bewegten pule mechanische Leistung P m Fm v W zugeführt die im Erzeugerzählpfeilsystem positiv gezählt wird und in eletrische Leistung umgewandelt P ( 0.8) ( 9.8) 0W die in den ohm schen Widerständen in Wärme umgesetzt wird: ( c ) c 0W. Wirungsgrad: Pout c oder P P 0. in m e c i c Aufgabe T4: Einfacher eletromechanischer Energiewandler Ein eletrischer Leiter (Länge l = m Widerstand = 0. Bild T4.) wird über zwei flexible Zuleitungen aus einer Batterie (Leerlaufspannung B0 = V nnenwiderstand Bi = 0. ) mit Gleichstrom gespeist. Der Leiter befindet sich in einem Luftspalt zwischen zwei normal zur Leiterrichtung sehr langen Permanentmagnet-Polschuhen die im Luftspalt eine senrecht zur Leiterachse nach unten gerichtete magnetische Flussdichte B = 0.8 T erregen. Die elbstindutivität des Leiters und der Drahtanschlüsse wird vernachlässigt. 102 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 7 Energietechni ) Zeichnen ie das eletrische Ersatzschaltbild von Batterie und Leiter und tragen ie die tromflussrichtung im Verbraucherzählpfeilsystem ein. Wie groß ist? ) Welcher physialische Effet tritt bei dem im Luftspalt ruhenden stromdurchflossenen Leiter auf? ) n welche ichtung zeigt die auf den Leiter wirende Lorentz-Kraft F? Wie groß ist sie? Was bewirt sie? 4) Zeichnen ie das eletrische Ersatzschaltbild für die Kombination aus bewegtem Leiter und speisender Batterie und die Verhältnisse am Leiterabschnitt l. Welche zusätzliche eletrische pannung tritt auf? Geben ie die Formel an! Wie wirt sie? 5) Geben ie alternativ zu 4. das Ersatzschaltbild mit Verwendung der Quellenspannung an! Bild T4.: Einfacher eletromechanischer Energiewandler: tromdurchflossener Leiter im Magnetfeld ) Auf welche Endgeschwindigeit v 0 wird der Leiter im Luftspalt durch F beschleunigt wenn eine mechanische Bremsraft auf ihn wirt? Wie groß ist der trom im Leiter nach Erreichen der Endgeschwindigeit? 7) Angenommen der Leiter erfährt durch eibung eine bremsende Kraft F = 0. Auf welche Endgeschwindigeit v beschleunigt nun der Leiter? Wie groß ist der trom im Leiter? 8) Welche mechanische Leistung P m ist erforderlich damit sich der Leiter gegen die bremsende eibungsraft F = 0 mit der unter 7) bestimmten Endgeschwindigeit v bewegen ann? izzieren ie die Kurven v() und v(f) bei veränderlicher Bremsraft F zwischen v 0 und v = 0! 9) Wie groß ist die der Batterie entnommene eletrische Leistung P e zu Punt 7)? Wie groß sind der Wirungsgrad und die Verlustleistung P d bei der msetzung von eletrischer in mechanische Leistung? Wie wirt der Leiter als eletromechanischer Energiewandler? Aufgabe T4 (Lösung): Einfacher eletromechanischer Energiewandler ) Da das Magnetfeld zeitlich onstant ist tritt eine uhindution auf. Es wirt nur die eletrische Batteriespannung gemäß dem Ersatzschaltbild in Bild T4.: B0 40 A. Bi ) Auf den stromdurchflossenen Leiter übt das Magnetfeld eine eletromagnetische Lorentz- Kraft F aus die rechtwinlig zur Feld- und tromflussrichtung wirt. 103 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 8 Energietechni Bild T4.: Eletrisches Ersatzschaltbild für die speisende Batterie und den eletrischen Leiter ) Die Kraft F wirt rechtwinlig zur Feld- und tromflussrichtung also in ichtung der Luftspaltfläche nach rechts (Bild T4. a)). Da tromflussrichtung und Feldrichtung einen rechten Winel miteinander einschließen tritt die maximal mögliche Kraft auf: F l Bδ Da der Leiter über flexible Verbindungen beweglich an die Batterie angeschlossen ist wird er durch die Kraft F im Luftspalt in ihre ichtung nach rechts seitlich beschleunigt. 4) Wird der Leiter durch die Kraft F mit der Geschwindigeit v bewegt so wird durch Bewegungsindution im Leiter auf der Länge l eine Bewegungsfeldstäre Eb v Bδ entgegen der ichtung des Tangentenvetors ds (echtsumlauf in der chleife gemäß der in Bild T4. eingetragenen tromrichtung) induziert so dass zwischen und die induzierte pannung u i auftritt: u v B ds v B ds v B ds v B l. i C δ δ δ δ i m Ersatzschaltbild (Bild T4. b)) wirt die induzierte pannung in erie mit der Batteriespannung: B0 i ( Bi ) B0 v Bδ l. olange v Bδ l leiner als B0 ist ist > 0 und es bleibt die antreibende Kraft F > 0 wirsam. Die induzierte pannung wirt gegen die tromrichtung die über F die rsache der Leiterbewegung ist und wirt somit gegen die rsache ihrer Entstehung (Lenz sche egel Bild T4. c)). a) b) c) Bild T4.: a) Kraftrichtung von F: n diese ichtung wird der Leiter beschleunigt. b) ) eletrisches Ersatzschaltbild des bewegten Leiters mit der induzierten pannung i als äußerer pannung zwischen und c) ichtung der Lorentz-Kraft und der Geschwindigeit v 104 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 9 Energietechni 5) Die induzierte pannung als innere Quellenspannung ist das egative der in 4) berechneten induzierten pannung v B l. Wird nun ersatzweise diese innere pannung als i δ induzierte pannung weiterverwendet so gilt ) /( ) (Bild T4.4 a)). ( B0 i Bi olange diese innere Quellenspannung i leiner als B0 ist ist > 0 und es bleibt die antreibende Kraft F > 0 wirsam (Bild T4.4 b)). a) b) Bild T4.4: Wie Bild T4. b) c) jedoch mit der Darstellung der induzierten pannung i als innerer Quellenspannung: a) Ersatzschaltbild b) Kraft am Leiter ) Die Endgeschwindigeit v 0 im Luftspalt ist erreicht wenn gemäß dem. ewton schen Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) die umme aller auf den Leiter wirenden Kräfte ull ist: F = 0 (Bild T4.5). Ohne mechanische Krafteinwirung ist dies wegen F l Bδ im Luftspalt nur dann der Fall wenn 0 ist. Aus dem Ersatzschaltbild von Punt 5) (Bild T4.4 a)) folgt mit der inneren Quellenspannung i : ( v B l B0 Bi ) i B0 i 0 δ Endgeschwindigeit v B0 0 5 m/s. Bδ l 0.8 nduzierte pannung und Batteriespannung heben sich bei der Endgeschwindigeit v 0 auf so dass die tromaufnahme ull ist. Bild T4.5: Kräftegleichgewicht nach Erreichen der Endgeschwindigeit v 7) Die Endgeschwindigeit v ist erreicht wenn eine weitere beschleunigende Kraft auf den 0 Leiter wirt wenn also F F = 0 ist: F l Bδ F 0.5 A. 0.8 Das Ersatzschaltbild von Punt 5) liefert: B0 ( Bi ) i. Mit i v Bδ l folgt: B0 ( Bi ) 0..5 v 0. m/s. B l 0.8 δ 8) P m F v W Bild T4.. 105 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 0 Energietechni Bild T4.: Leiterendgeschwindigeit v in Abhängigeit des Leiterstroms bzw. der Leiterraft F 9) P P e B W out P 0. m 8.7 % Pin Pe 50 Gesamtverluste: P P P W oder d in out P ( ) W. d Bi Der Leiter bewegt sich gegen die bremsende äußere eibungsraft F. Er wirt als Motor. Er wandelt eletrische Energie aus der Batterie in mechanische Energie um. Aufgabe T5: Drehstromsystem Eine Drehstrom-tecdose stellt x400v/50hz sowie den ternpunt zur Verfügung. ) Welche pannungen sind als Effetivwerte nutzbar? ) Zeichen ie maßstäblich die drei omplexen pannungszeiger der veretteten pannungen u V (t) u VW (t) und u W (t)! Legen ie dabei V in die reelle Achse! ) Leiten ie aus den veretteten pannungen die trangspannungen u (t) u V (t) u W (t) ab. Fertigen ie eine maßstäbliche izze der Lage der trangspannungszeiger an! 4) Berechnen ie mit den omplexen Zeigern das Verhältnis der Amplituden bzw. Effetivwerte von trang- zu veretteter pannung. Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen u V (t) und u (t)? 5) Wie groß sind die pannungsamplituden der trang- und der veretteten pannungen ˆ ph ˆ ver? ) Ein Heizwiderstand = 0 wird zwischen den Klemmen V und angeschlossen. izzieren ie maßstäblich den zeitlichen Verlauf der im Widerstand umgesetzten Momentanleistung p(t) und deren Mittelwert P! Wählen ie den Zeitpunt t = 0 so dass p(0) = 0 ist. Welche Art von Leistung liegt vor? 7) m nterschied zu ) wird je ein Widerstand = 0 zwischen den Klemmen - V- W- als symmetrische Drehstromlast angeschlossen. izzieren ie maßstäblich den zeitlichen Verlauf der in den Widerständen wirsamen gesamten Momentan-Leistung p ges (t) und deren Mittelwert P ges! 106 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni Aufgabe T5 (Lösung): Drehstromsystem ) Zwischen den Klemmen V W sind die veretteten pannungen mit jeweils V = 400 V VW = 400 V W = 400 V. Zwischen V W und sind die trangspannungen 400 / V nutzbar: = = V V = V = V W = W = V. ) u VW (t) eilt u V (t) um 0 el. nach u W (t) eilt u V (t) um x 0 el. = 40 el. nach. 400V nutzbar: ) Bild T5.: ymmetrisches pannungssystem der veretteten pannungen a) b) Bild T5.: Ermittlung der trangspannung aus den veretteten pannungen mit den Varianten a) und b) Darstellung der trangspannungen durch verettete pannungen auf mehrere Arten möglich wobei man sich zunutze macht dass beim symmetrischen Drehstromsystem die umme der drei trang- und der drei veretteten pannungen jeweils ull ist. Dies sieht man sofort indem man z. B. die drei omplexen Zeiger V VW W von Punt ) graphisch addiert. echnung für trangspannung u (t): z. B. Darstellungen Bild T5. a) und b): uvw uv Darstellung A: u uv uv uv uw uvw u uv uw 0 u uv uw uv uv uw Darstellung B: mit uv uvw uw 0 u 107 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni Ergebnis: u u VW u u u V V W u V u W u u u VW VW V u W u V u u u W W VW 4) Komplexe echnung: Verettete pannungen: V V ver VW j ver e Berechnung der trangspannung u z. B. mit Darstellung A: VW V ver j / ver e cos( / ) mit cos( ) j sin( ) j / W ver j sin( / ) j j e j4 / cos( ) j sin( ) ver j / ver j / folgt e e Ergebnis: Die trangspannung u (t) eilt der veretteten pannung u V (t) um 0 el. nach. hre Amplitude und ihr Effetivwert sind um den Fator / leiner als jene der veretteten pannung. 5) Der Zeitverlauf der trang- und der veretteten pannungen ist sinusförmig. Effetivwert einer inusspannung: T ˆ u( t) sin( t) f f / T : ueff u ( t) dt T T ˆ T ˆ ˆ ˆ ( cos( t)) dt dt T T T T 0 0 trangspannung: Amplitude: ˆ ph ph. 7V verettete pannung: Amplitude: ˆ V 0 ver ver 7 ) ˆ ˆ u ( ) V t V V p( t) pv ( t) uv ( t) iv ( t) sin (ft) ( cos(4ft)) p( t) ( cos( 50t) 5.W ( cos( 00t) 0 T T ph ph P p( t) dt ( cos(4 ft)) dt 5.W T T 0 0 ph ( cos(4ft)) Die Momentan-Leistung p(t) pulsiert sinusförmig mit doppelter etzfrequenz 00 Hz zwischen den Werten 0 und 07.W um den Mittelwert 5.W. Dieser Mittelwert stellt 108 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni die Wirleistung dar die im Widerstand in thermische Leistung (Erwärmung des Widerstands) umgesetzt wird. Anmerung: Bei einer ndutivität oder Kapazität ist der Mittelwert der Leistung ull: Die Amplitude der Momentanleistung heißt Blindleistung. a) b) Bild T5.: a) zu ): Pulsierende Einphasen-Leistung im trang V b) zu 7) Konstante Drehstromleistung bei symmetrischem Drehstrom-Verbraucher 7) ph pges ( t) p ( t) pv ( t) pw ( t) 5.. 0W 0 Die mit doppelter etzfrequenz pulsierenden Leistungsanteile sind zueinander phasenverschoben und zwar bezogen auf trang in trang V um 40 el. und im trang W um 480 el. so dass deren umme stets ull ist. Es verbleibt somit die umme der drei T Mittelwerte je trang: Pges pges ( t) dt P. 0W T. 0 Die Momentanleistung p ges (t) die in den drei Widerständen umgesetzt wird ist zeitlich onstant und daher gleichzeitig der Mittelwert P ges der die Wirleistung darstellt die in den Widerständen in thermische Leistung (Heizen!) umgewandelt wird. Aufgabe T: Einphasentransformator - ndutivitäten Der in Bild T. mit den Hauptabmessungen dargestellte Einphasentransformator hat einen geblechten Eisenern (Querschnitt A = 80x80 mm ) aus altgewalztem ornorientierten Eletroblech mit einer Werstoffennlinie B(H) gemäß Bild T. Kurve. Primär- und eundärspule haben die Windungszahlen = 00 = 0 und die ohm schen Widerstände = m und = 0. m. Die magnetische Flussdichte im Eisenern beträgt B Fe =.7 T. ) Wie groß ist der Hauptfluss h? ) Bestimmen ie die magnetische Feldstäre H Fe und die Eisenpermeabilität Fe! ) Wie groß ist die Gegenindutivität M zwischen Primär- und eundärspule? 4) Bestimmen ie die primäre und seundäre Hauptindutivität L h L h! 5) Berechnen ie die primäre und seundäre treuindutivität L L wenn das Verhältnis von treu- zu Hauptfluss / h / h 0. 00beträgt. ) Geben ie das eletrische T-Ersatzschaltbild mit auf die Primärseite umgerechneten Parametern an: a) für beliebige Zeitverläufe von u und i b) für sinusförmige Zeitverläufe. 109 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 4 Energietechni Bild T.: Einphasentransformator in einfachster Bauform (technisch gängige Bauformen siehe Foliensatz) Aufgabe T (Lösung): Einphasentransformator - ndutivitäten ) Querschnittsfläche: A Fe 80x80 400mm. Magnetischer Hauptfluss im Eisenern: h B da BFe AFe mWb A ) m Eisenblech gilt: BFe Fe ( H Fe ). 7T. Die Kennlinie von Bild T. liefert H Fe.5A/ cm 50A/ m Eisenpermeabilität: Fe BFe / H Fe.7 /50 0.0Vs /( Am) 9090 Bild T.: Gleichstrom-Magnetisierungsurven ) Die Gegenindutivität ist der Verhältnisfator zwischen dem mit der pule veretteten Fluss und dem in der pule erregenden trom: ( t) ˆ ˆ sin(f t) M M h i ( t) ˆ sin(f t) ˆ ˆ Mit dem Ampère schen Durchflutungssatz längs einer geschlossenen Kurve C im Eisenreis bei stromdurchflossener Primärspule und stromloser eundärspule folgt: 110 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 5 Energietechni ( t) i ( t) H Fe ( t) ds H Fe( t) l H Fe( t) i ( t) / l C A ˆ FeFe B A A H ˆ h Fe Fe FeFe Fe h l Länge der Kurve C: l 4 (450 80) 480mm AFe 4000 M h Fe mH l.480 4) Die Hauptindutivität ist die elbstindutivität je pule zufolge des mit der pule veretteten und von ihr selbst erregten Hauptflusses. ˆ ˆ h ( t) h sin(f t) h h Primärspule: Lh i ˆ ˆ ˆ ( t) sin(f t) AFe L h h Fe M mh l 0 AFe eundärspule: L h h Fe M mH l 00 5) Die treuindutivität ist die elbstindutivität je pule zufolge des mit der pule veretteten treuflusses. ˆ ˆ ( t) sin(f t) Primärspule: L i ˆ ˆ ˆ ( t) sin(f t) ˆ Mit folgt: ˆ h h h h L h L h mH ˆ h h ˆ h eundärspule: h L h L h mH ˆ ˆ h h h ) T-Ersatzschaltbild Bild T.: ü / 00 /0 0 Parameter: m ü m L 0.488mH Lh L h üm 488. mh L h ü Lh mH Lh ü L mh L 488 eatanzen: fl X fl X h fl h X 111 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni a) b) Bild T.: T-Ersatzschaltbild des Einphasentransformators für a) zeitlich beliebig veränderliche Vorgänge b) zeitlich sinusförmige Vorgänge Aufgabe T7: Einphasentransformator pannungen tröme Ein Einphasentransformator hat folgende Ersatzschaltbild-Parameter bei 50 Hz: m m X 0.55 X h 5.5 X ü = 0. Der ennwert der Primärspannung ist = 50 V (Effetivwert). Der ennstrom beträgt primär = 80 A. Der Transformator wird primär mit ennspannung betrieben. ) Berechnen ie die ennscheinleistung! Wie groß sind ennspannung und ennstrom seundär? ) Bestimmen ie den Effetivwert des Primär-Leerlaufstroms 0! ) Wie groß ist die an den offenen Klemmen der eundärspule gemessene pannung 0? 4) Der Transformator wird seundär urz geschlossen. Wie groß ist der trom primär und seundär? 5) Berechnen ie die bezogene Kurzschlussspannung u! ) Wie groß ist der Wirungsgrad des Transformators bei cos = und ennstrom wenn P Fe = 0 W ist? Aufgabe T7 (Lösung): Einphasentransformator pannungen tröme ) VA / ü 50 /0 5V ü A ) 0 j( X X h ) A ( X X 5.5 h ) 0.0 ( ) ) 0 jx h m jx h 0 0 X h V / ü 49.5/ V 0 0 Die seundäre Leerlaufspannung weicht nur um 0.09% von der ennspannung 5 V ab. 4) Bei Kurzschluss seundär liegt X parallel zu X h ( vernachlässigt) wobei X h >> X ist: X h X X h X 0. 5 X. X X h 112 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 7 Energietechni Folglich ann der Einfluss von X h vernachlässigt werden. Daraus folgt das vereinfachte Ersatzschaltbild (siehe ript): j( X X ) 50 5A ( ) ( X X ) ( ) ( ) Wegen X h >> X folgt: ü 50 50A 5) ( ) ( ) 80 Mit u und 50 ( X X ) ( ) 80 u folgt: 50 u u u ) PCu ( ) ( ) W P 0W P P P W Fe d Cu Fe P P out in Pout P P out d cos cos P d % Aufgabe T8: Drehstromtransformator chaltgruppe tundenziffer Ein Drehstromtransformator hat folgende Leistungsschilddaten: ennscheinleistung = 0 VA verettete ennspannungen: =0.5 V = 400 V Betriebsfrequenz: f = 50 Hz chaltgruppe: Yy Ersatzschaltbildparameter:.875 X X ) izzieren ie die allpolige chaltung des Transformators und bezeichnen ie die Klemmen! ) Begründen ie die Bezeichnung Yy! ) Berechnen ie den primären und seundären ennstrom je trang! 4) Wie groß ist das Übersetzungsverhältnis ü? 5) Bestimmen ie die bezogenen pannungsfälle u u u! Aufgabe T8 (Lösung): Drehstromtransformator chaltgruppe tundenziffer ) a) b) Bild T8.: chaltung Yy: a) Alte b) neue Klemmenbezeichnung für Ober- und nterspannungsseite 113 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 8 Energietechni ) Die trangspannungen je chenel (z. B. ) werden auf Grund der gegenüber der Oberspannungsseite (-X) vertauschten eihenfolge der Anschlusslemmen (x-u statt u-x) unterspannungsseitig gegenphasig zur Oberspannungsseite induziert. Daher eilt u u der pannung u um x0 = 80 el. nach. Dabei wird die Phasenverschiebung durch die tundenziffer angegeben während Yy bedeutet dass die drei Wiclungsstränge der Oberund der nterspannungsseite jeweils in tern geschaltet sind. Bild T8.: Phasenverschiebung 80 (lins) als tundenziffer (rechts) dargestellt ) ph ph ph ver ver ph ph A 400 ver A ) ü ver ver ) u u u ( ( X u ) ph X u ph ph ) % (0500 / ) ph % (0500 / ) Aufgabe T9: Drehstromtransformator pannungsfall bei unterschiedlicher Last Ein Drehstromtransformator mit = 0 VA x0.5 V/x400 V (Effetivwert verettet) 50 Hz Yy u 0.5% u.0% u.0% liegt oberspannungsseitig an 0.5 V ("starres etz") und wird seundär mit ennstrom belastet. Für die folgenden Fragestellungen ann u in guter äherung gegenüber u vernachlässigt werden. ) Wie groß ist der Effetivwert der seundären veretteten pannung ver wenn der Transformator indutiv belastet wird so dass cos = 0 ist? 114 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 9 Energietechni ) m wieviel ist die seundäre pannung ver bei Lastzustand ) leiner als bei seundärem Leerlauf? ) izzieren ie zu ) und ) maßstäblich das trom- und pannungszeigerdiagramm je trang! 4) Wie groß ist die seundäre pannung ver wenn anders als bei ) die Belastung ohm sch erfolgt so daß cos = ist? 5) m wieviel ist die seundäre pannung ver bei Lastzustand ) leiner als bei seundärem Leerlauf? Aufgabe T9 (Lösung): Drehstromtransformator pannungsfall bei unterschiedlicher Last ) u u u u ( X X ) ph / ph ph / 0500 / 0.V ph /( ph ) 0000 /(0.) 4. A X X u / ph / ph 5 Bild T9.: Ersatzschaltbild des Transformators bei seundärer Belastung und Vernachlässigung von u cos = 0 bedeutet dass ph der pannung ph um 90 el. nacheilt: jph ph ph ph ph j X X ) ph ph j( X X ) ( jph) ph ( X X ) ph ü ver / ver 0500/ ph V wenn willürlich in die reelle Achse gelegt wird: ( ver ph ph / ü 598.5/ V ) Leerlauf seundär: = 0. Da der Magnetisierungsstrom vernachlässigt wird (siehe Ersatzschaltbild Bild T9.) gilt: ph0 ph ver0 ph0 ph / ü 0500/.5 400V pannungsdifferenz zwischen Lastzustand ) und Leerlauf ): 0.0 % 400 Die eundärspannung ist bei rein indutiver Belastung mit ennstrom um % leiner als die Leerlaufspannung. Dieser prozentuale pannungsfall entspricht der Kurzschlussspannung u. ) iehe Bild T9. 4) cos = bedeutet dass ph mit der pannung ph in Phase ist: ph wenn ph willürlich in die reelle Achse gelegt wird. ph 115 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 0 Energietechni ph ph j( X X ) ph j( X X ) ph ph 0. j j. 7V ver ph ph / ü 0..7 / V a) b) Bild T9.: pannungs- und tromzeigerdiagramm je trang: a) indutive Last ) b) Leerlauf ) 5) pannungsdifferenz zwischen Lastzustand 4) und Leerlauf ): % 400 Die eundärspannung ist bei rein ohm scher Belastung des Transformators mit ennstrom um 0.8% größer als die Leerlaufspannung also nahezu gleich groß. Aufgabe T0: Einphasiger Trenntransformator Ein leiner Einphasentransformator wird als Trenntransformator eingesetzt und hat folgende Daten: = 0 V = 0 V = 00 VA f = 50 Hz u = 0. u = 0.0. ) Berechnen ie die ennströme und und das Übersetzungsverhältnis ü. ) Wie groß ist der bezogene indutive pannungsfall u? ) Bestimmen ie = + L = X /ω und den Wirungsgrad η des Transformators bei = = und cosφ = wenn die mmagnetisierungsverluste P Fe = 0 W betragen. 4) Auf der eundärseite tritt ein Klemmenurzschluss auf. Wie groß sind die effetiven Dauerurzschlussströme auf der Primär- und eundärseite? ehmen ie Fe X h an! 5) Wie groß sind X σ und X σ? Wie groß ist die Kurzschlussspannung u? Aufgabe T0 (Lösung): Einphasiger Trenntransformator ) / 00/ 0 0.0A ü / 0/ 0 ) u u u 116 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni ) u 0.0 0/ Ω / ( / ) 0.08(0/ 0.9) X u 9.4Ω L X /( f ) 9.4 /( 50) 9.4Ω / 4.5s.5mH P Cu ( ) W P cos 00 00W P /( P PCu PFe) 00/(00 0) % 4) Bild T0.: Ersatzschaltbild des seundär urzgeschlossenen Einphasentransformators für Fe X h Gemäß Bild T0. gilt: X u 9.A 5) ü = : Primär- und eundärwiclung sind etwa identisch aufgebaut daher ü / 4.5/ 7.5Ω X X X ü X X X X X / 9.4/ u 0. 0 V 9.7Ω Aufgabe T: Einphasiger Verteiltransformator Ein Einphasentransformator im Verteilnetz einer Fabri hat die Leistungsschilddaten: / = 0 V/0. V = 50 VA f = 50 Hz u = 7.5 %. Der Kurzschlussversuch bei ennstrom = lieferte die Verluste P = 4 W. ) Berechnen ie die ennströme und das Übersetzungsverhältnis ü. ) Berechnen ie die primäre Kurzschlussspannung und den dabei auftretenden Leistungsfator cosφ! ) Wie groß ist der Dauerurzschlussstrom bei ennspannung? 4) Berechnen ie die erienersatzimpedanzen = + X = X σ + X σ L σ + L σ sowie u u! 5) Wie groß ist die eundärspannung bei rein indutivem Primärstrom cosφ = 0 indutiv =? ehmen ie dazu an: L h Fe und den pannungszeiger reell! Wie groß ist der pannungseinbruch in Prozent gegenüber der ennspannung? Aufgabe T (Lösung): Einphasiger Verteiltransformator ) 50000/ A 50000/ A / / 0000/ 0 ü 0. / 117 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni ) u V cos P / P /( ) 4000/(500.5) 0. ) / u.5/ ) P u u.7a :.-facher ennstrom! P / 4000/.5 / 5..5/ u u u / /.5 L X /(f ) 7.4/( 50) X L Ω.% 7.4Ω 0.7H a) b) Bild T.: Ersatzschaltbild des Einphasentransformators für a) Fe b) Fe X h 5) Bild T.: pannungs- und trom-zeigerdiagramm des Einphasentransformators gemäß Bild T. b) ( Fe X h ) für indutiven Primärstrom Gemäß Bild T. a) für L h Fe folgt Bild T. b): ( jx ) ( jx ). pannungszeiger reell: ( jx ). Wegen cos = 0 indutiv eilt der Primärstrom der Primärspannung um 90 nach: j. j ( j X ) X j X 118 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni V / ü 857./ 0..8V /.8/ 0 0. / pannungseinbruch gegenüber : 7.% Anmerung: Dies entspricht in etwa u 7.5% (vgl. Bild T.)! Aufgabe T: Einphasen-Transformator einer Drehstromban Ein Einphasentransformator einer Drehstromban in den A hat die Daten = 00 MVA = 40 V = 0 V f = 0 Hz. Die T-Ersatzschaltbildparameter sind =.5 Ω L σ = 75 mh L h = 00 H = 0.5 Ω L σ = 5 mh Fe. ) Berechnen ie die beiden ennströme und das Übersetzungsverhältnis ü! Zeichnen ie das Ersatzschaltbild mit den Werten X σ X σ und X h. ) Wie groß ist der primäre Leerlaufstrom 0 bei = ( = 0) in Ampere und in Prozent des ennstroms? ) Berechnen ie X u u und u! 4) Wie groß ist bei rein apazitivem Primärstrom = cosφ = 0 apazitiv = in Volt und in Prozent der seundären ennspannung? Wie groß ist die pannungsüberhöhung in Prozent ( Ferranti -Effet)? ehmen ie dazu L h an und den pannungszeiger reell! Aufgabe T (Lösung): Einphasen-Transformator einer Drehstromban ) / 00 0 /(0 0 ) / f 0 77 / s ü Ω X L Ω X h Lh Ω X L L ü Ω / 000 /(400 ) 04.A 5000A ü 40/0. 8 (EB siehe Bild T.) ) = 0: 0 : 0 j ( X X ) ( X X h).5 ( ) 0 /.9/ % ) u u X u ( ) /.5.7 h (.5.7) 04./ Ω ( X X ) / ( ) 04./ X X Ω u u A 0.58 119 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 4 Energietechni a) b) Bild T.: a) T-Ersatzschaltbild des Einphasentransformators für zeitlich sinusförmige Vorgänge mit b) den Zahlenwerten =.5 Ω =.7 Ω X σ = 8.7 X h = 7700 X σ = 7.5 Fe. 4) L h Fe und pannungszeiger reell: ( jx ). Wegen cos = 0 apazitiv eilt der Primärstrom der Primärspannung um 90 vor: j (vgl. Bild T.) j ( j X ) X j X V / ü 508.5/.8 99V / 99/0000. /. 0. pannungserhöhung gegenüber : % Anmerung: Dies entspricht der pannungszunahme um u %! a) b) Bild T.: a) Ersatzschaltbild des Einphasentransformators für Fe X h b) Zugehöriges pannungsund trom-zeigerdiagramm für apazitiven Primärstrom 120 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 5 Energietechni Aufgabe T: Verlustarmer Einphasen-Transformator An einem speziell verlustarm ausgeführten Einphasentransformator = 0 MVA / = 0 V/. V f = 50 Hz wurden im Hochspannungs-Prüffeld folgende Messungen durchgeführt: - Leerlaufmessung bei peisung der nterspannungsseite mit offenen Primärlemmen: = = 0 = 7 A = 0 P 0 = 0 W - Kurzschlussmessung bei unterspannungsseitigem Klemmenurzschluss: = = 700 V P = 40 W. ) Bestimmen ie die ennströme und das Übersetzungsverhältnis ü sowie das Verhältnis /! ) Bestimmen ie u u u und = + und X = X σ +X σ! ) Wie groß sind Fe und L h wenn ie näherungsweise im Leerlauf den Einfluss von und X σ vernachlässigen? Überprüfen ie die Annahme und X X h Fe auf ihre ichtigeit! 4) Wie groß ist der Magnetisierungsstrom m /? 5) Geben ie das Ersatzschaltbild an wenn näherungsweise X σ X σ angenommen wird! ) Wie groß sind und X σ sowie L σ und L σ? 7) Wie groß wären der primäre und der seundäre Dauerurzschlussstrom und sowie / und /? Aufgabe T (Lösung): Verlustarmer Einphasen-Transformator ) / 0 0 /(.0 ) / ü 4.7 / 0 0 /(0 0 ).A 587.A ü 0/ ) u / 700/ P P / u X u Cu / u / P PCu ( ) 40000/. 0.Ω /( ) / u 40 0 /0 0 u / /. 8.09Ω ) Leerlaufversuch auf der eundärseite: = 0. Wegen und X X h Fe werden der Einfluss von und X σ vernachlässigt. Daher gilt mit Fe m 0 : Fe Fe jx h m und folglich P / ü / ü / P / Ω. 0 Fe Fe Fe 0 0 / ( m / ) ( Fe / ) ( j / X h) (/ Fe) 0 / 0 / (/ X h) (/ Fe) 121 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni X h ü Fe L X /( f ) 08/( 50).95H. h h 08Ω 4494 Kontrolle: X h 08Ω Fe 4494Ω X 8.09Ω 0.Ω ist erfüllt. Bild T.: Ersatzschaltbild des Einphasentransformators für bei primärem Leerlauf und seundärer peisung mit der Vernachlässigung von und X 4) m 0 0 / X h m / /( X /(08.) % h ) /( X 5) / 0./ 0.8Ω X X X / 8.09/ 4.045Ω h ) a) b) Bild T.: a) T-Ersatzschaltbild des Einphasentransformators für zeitlich sinusförmige Vorgänge mit b) den Werten = 0.8 Ω = 0.8 Ω X σ = X h = 08 X σ = Fe = ) ü / ü 0.8/ mΩ ü X X X / ü 4.045/ Ω X /(f ) 4.045/( 50).87mH X /(f ) 0.79/( 50) 0.58mH X L L 122 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 7 Energietechni 7) / u./ A / u 587./ A / / u / 0.09 / / u / 0.09.:.-facher ennstrom!. Aufgabe T4: Drehstromtransformator für einen ndustrieofen Ein Drehstrom-Verteiltransformator / = 0 V/400 V (Außenleiterwerte!) mit der ennscheinleistung = 500 VA und den Daten f = 50 Hz u = 0.0 u = 0.0 chaltung Yy versorgt einen ndustrieofen und weitere symmetrische Verbraucher in einer Fabri. Diese Verbraucher werden durch eine resultierende symmetrische Last bestehend je trang aus der erienschaltung eines ohm schen Widerstands = 0. Ω und einer ndutivität L =.0 mh dargestellt. ) a) Geben ie die allpolige chaltung von Transformator und Last an mit den Klemmen V W u v w und begründen ie Yy. b) Bestimmen ie ph ph und X je trang. ) Bestimmen ie mit dem Übersetzungsverhältnis ü die omplexe Lastimpedanz Z j X je trang. ) Berechnen ie für ph = / als reellen pannungszeiger die tromzeiger die Effetivwerte und / / sowie die seundäre Klemmspannung je trang und / ph (ehmen ie dazu an: L h Fe ). Aufgabe T4 (Lösung): Drehstromtransformator für einen ndustrieofen a) Für Leerlaufbetrieb gilt z. B. für die trangspannungen auf dem chenel W (Bild T4. a)) gezählt von der jeweiligen Klemme W bzw. w zum jeweiligen ternpunt bzw. : w W / ü. Es tritt zwischen den beiden trangspannungen die Phasenverschiebung 80 = x 0 auf also die tundenziffer : Yy. a) b) Bild T4.: a) Allpolige chaltung für die Drehstrom-Transformator-chaltgruppe Yy mit ohm sch-indutiver symmetrischer Belastung in Y-chaltung b) einsträngiges Ersatzschaltbild für Fe X h. 123 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 8 Energietechni b) /( ) 500/( 0) 8.9A /( ) 500/( 0.4) 7.7A / 0000/ 5780V / 400/ V ph ph u ph / ph u ph / / Ω u u u X ( u / u ) (0.05/ 0.0) 4.Ω ) ü 0000/ / j f L 5 0. j j 9.Ω Z j X ü ) ph ph ph : j X Z (4 87.5) j (. 9.) 9.5 j 07. Gemäß Bild T4. b) folgt: 5780 (9.5 j 07.) (.88 j 5.04)A A / Der Transformator ist mit 70% seines ennstroms belastet. / ü 5 (.88 j 5.04) ( 47 j 7)A A 5.4 / / ( j X ) ( j X ) (.88 j 5.04) 87.5 j ) j j 95.V j95./ j.8v ( / ü.9.8.v./ 0. 9 / ph Aufgabe T5: Parallelschaltung zweier Drehstromtransformatoren Zwei Drehstrom-Leistungstransformatoren in einem mspannungswer sind eletrisch parallel geschaltet zwischen der Ober- und nterspannungsseite / = 0 V/0 V und werden mit der f = 50 Hz jeweils mit der chaltgruppe Yy0 betrieben. Transformator : = 5 MVA Transformator = MVA. hre Kurzschlussspannungen u sind identisch (u = 8 %) damit sich die Betriebsströme proportional zu den jeweiligen ennströmen aufteilen also jeder der beiden Transformatoren anteilig im Verhältnis der beiden ennscheinleistungen belastet wird. ) Berechnen ie die primären und seundären ennströme und Übersetzungsverhältnisse beider Transformatoren! ) Zeigen ie dass es erforderlich ist dass beide parallelen Transformatoren gleiche u -Werte haben müssen damit bei Volllast ihre jeweiligen ennströme auftreten. ) Berechnen ie bei = 00 V für eine oberspannungsseitige wirsame Gesamtbelastung von = 40 MVA cosφ = 0 indutiv wobei ie näherungsweise u = u u 0 annehmen 124 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 9 Energietechni a) den Primär- und eundärstrom und für jeden der beiden Transformatoren b) die eundärspannung je trang. ehmen ie dazu ph reell an. Wie groß ist ver /? Aufgabe T5 (Lösung): Parallelschaltung zweier Drehstromtransformatoren ) Transformator : ) 5000 /( 0).A /( /( ) 5000 /( 0) 48.A Transformator : /( ) 000/( 0) 8.98A /( ) 000 /( 0) 07.9A ü ü / 0/0.7 ) Für L h Fe gilt:. Bild T5.: Einsträngige Ersatzschaltung für zwei parallel geschaltete Drehstrom-Transformatoren für Fe X h. Wegen der Parallelschaltung (Bild T5.) folgt: ( jx ) ( jx ) wobei wegen der ternschaltung die trang- und Außenleiterströme identisch sind:. ph ( jx ) ph ( jx ) ph u ph ( j u u jx ) ph u ph ph j u u u ( jx ) ph ph Bei anliegender Ober- und nterspannung önnen beide Transformatoren nur dann ihren jeweiligen ennstrom führen wenn ihre beiden bezogenen Kurzschlussspannungen u u identisch sind. Dabei önnen wie obige Gleichung zeig die Werte u u bzw. u u durchaus unterschiedlich sein denn es gilt u u u u u u mit i. A. u u u u. a) 40MVA 40000/( 0) 09.94A ges ges A ges /( ) 09.94/ A 125 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 0 Energietechni A b) L h Fe : ph ( jx ) jx ph X ph jx ph j ph ph j u ph ph Wegen cos = 0 indutiv eilt der Primär-trangstrom der Primär-trangspannung um 90 nach: ph j / ph j u j ph V u ph u ü / V ver / 5954./ pannungseinbruch gegenüber : / u 0. 9 Aufgabe T: Ortsnetztransformator Ein Drehstrom-Verteiltransformator im Ortsnetz 0 V/400 V = 50 VA f = 50 Hz hat die in Bild T. a) dargestellte chaltung. Bild T. a) Bild T. b) ) Zeichnen ie zu den primär symmetrisch eingeprägten pannungszeigern gemäß Bild T. b) die eundärspannung zwischen den Klemmen und u v w. Welche tundenziffer tritt auf? Wie heißt die chaltung? ) Wie groß ist ü ausgedrüct durch die Windungszahlen je trang? ) Darf der Transformator seundär einphasig belastet werden? Begründen ie die Antwort anhand der chaltung für eine einphasige Belastung zwischen w und. 4) Bestimmen ie /! Wie groß sind und wenn die pannung zwischen zwei Windungen primär 9 V beträgt? Beachten ie dass und ganze Zahlen sein müssen! 5) Wie groß sind die primäre und seundäre enndurchflutung Θ = ph je chenel und Θ h = ( /) ph (h: je halbem chenel) und Θ =. Θ h (je chenel)? (Hinweis: 126 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni Wegen der Durchflutungsausgleichs sollten Θ und Θ identisch sein abgesehen von undungsfehlern!) Aufgabe T (Lösung): Ortsnetztransformator ) Werden die positiven Bezugsrichtungen der primärseitigen pannungszeiger je trang gemäß Bild T. a) gewählt so ergeben sich die Leerlaufspannungen auf der nterspannungsseite gemäß den in Bild T. a) eingezeichneten pannungsrichtungen. Mit den gemäß der primären Dreiecschaltung (D) verschalteten und vom etz vorgegebenen veretteten Primärspannungszeiger V VW W aus Bild T. b) sind folglich diese jeweiligen nterspannungszeiger u u parallel zu V weiter v v parallel zu VW und w w parallel zu W. Diese werden nun gemäß der seundärseitigen Ziczac-chaltung (Bild. a)) verschaltet (Bild T. c)). Damit wie auf der Primärseite die veretteten pannungen z. B. von u nach v positiv gezählt werden müssen die Phasenspannungen von z. B. u nach positiv gezählt werden so dass sich die seundäre Phasenspannung ergibt. u u u w a) b) c) d) Bild T.: Konstrution des dreiphasigen pannungszeigerdiagramms der eundärspannungen der chaltgruppe Dz: a) allpolige chaltung b) Primär- und unverschaltete eundärspannungszeiger c) gemäß Ziczac verschaltete eundärspannungszeiger d) zugehörige verettete pannungen seundär Die veretteten pannungen uv vw wu aus diesen Phasenspannungen sind zu den primären veretteten pannungen um 80 = x 0 phasenverschoben was der tundenziffer entspricht. Daher heißt die chaltgruppe Dz. 127 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni Beachten ie dass auch bei Wahl der umgeehrten Bezugsrichtung der pannungszeiger primärseitig dasselbe Ergebnis erhalten wird auch wenn die pannungszeigerdiagramme seundär dann spiegelverehrt erscheinen wie Bild T. zeigt. ) ü / / /( ) /( ) ü ) / ver ver V uv V u V u V u / a) b) c) d) Bild T.: Wie Bild T. jedoch mit umgeehrten Bezugsrichtungen der pannungszeiger in der allpoligen chaltung a) so dass mit den wie in Bild T. b) angegebenen Primär- und unverschalteten eundärspannungszeiger sich die c) gemäß Ziczac verschaltete eundärspannungszeiger und die d) zugehörigen veretteten pannungen seundär ergeben. Das Ergebnis die chaltgruppe Dz ist dasselbe! Ja weil für jeden der drei Eisenschenel entweder Durchflutungsausgleich oder Leerlaufbetrieb auftritt so dass der ennfluss und damit die ennsättigung je chenel auch bei seundär einphasiger Belastung erhalten bleiben. Gemäß Bild T.4 fließt bei der Klemme W der trom zu wobei der Magnetisierungsstrom W a b mw a b mw 0 den chenel W mit dem ennfluss magnetisiert. Der trom a ist auf dem chenel W im Durchflutungsausgleich mit in der Wiclung w: a. Der trom b ist auf dem chenel V im Durchflutungsausgleich mit in der Wiclung v: b. Der chenel wird mit dem Magnetisierungsstrom m 0 magnetisiert. An der Klemme fließt folglich der trom a m a. Der chenel V wird mit dem Magnetisierungsstrom 0 magnetisiert. An der Klemme V fließt der trom V b mv b. mv 128 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni Bild T.4: tromfluss in der chaltgruppe Dz bei einphasiger Belastung seundärseitig zwischen w und 4) / 0000/ ü 75 9V 0000V 0000/ / ) /( ) /( 0000) 7.A ph / 7./ 4.A A ph ) 50000/( 400) 0.8A h ( / ) ph (4/ ) A /( h A ph Aufgabe T7: 0Hz-Drehstromtransformator Ein Drehstromtransformator in den A mit den Daten = 5 MVA / = 0 V/7 V f = 0 Hz u = 0.09 hat die in Bild T7. a) dargestellte chaltung die primär von den drei trangspannungen V W gemäß Bild T7. b) gespeist wird. ) Zeichnen ie das Zeigerdiagramm der eundärspannungen und bestimmen ie die chaltgruppe mit der tundenziffer! Wie groß ist der Effetivwert der primären trangspannung ph? ) Drücen ie das Übersetzungsverhältnis ü durch das Windungszahlverhältnis / je trang aus und berechnen ie /! ) Wie groß ist die resultierende treuindutivität L σ + L σ je trang wenn u = 0.05 ist? 4) Berechnen ie den Wirungsgrad bei ennbetrieb η für cosφ = 0.9 wenn die mmagnetisierungsverluste P Fe =.0 MW und die Kühlleistung P Kühl = 50 W betragen! 5) Welche verettete Kurzschlussspannung ver muss im Prüffeld primärseitig angelegt werden damit der halbe ennstrom fließt? 129 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 4 Energietechni a) b) Bild T7.: a) chaltungsgruppe b)eingeprägtes Primärstrangspannungssystem Aufgabe T7 (Lösung): 0Hz-Drehstromtransformator ) Bild T7.: Konstrution des dreiphasigen pannungszeigerdiagramms der eundärspannungen der chaltgruppe Yd5: a) allpolige chaltung b) Primär- und unverschaltete eundärspannungszeiger c) gemäß Dreiec verschaltete eundärspannungszeiger Werden die positiven Bezugsrichtungen der primärseitigen pannungszeiger je trang gemäß Bild T7. a) gewählt so ergeben sich die Leerlaufspannungen auf der nterspannungsseite gemäß den in Bild T7. a) eingezeichneten pannungsrichtungen. Mit den gemäß der primären ternschaltung (Y) vom etz vorgegebenen veretteten Primärspannungszeiger V VW W und deren trangspannungszeigern V W aus Bild T7. b) sind folglich diese jeweiligen nterspannungszeiger uv parallel zu V weiter vw parallel zu W und wu parallel zu. Diese werden nun gemäß der seundärseitigen Dreiec-chaltung (Bild T7. a)) verschaltet (Bild T7. c)). Diese veretteten pannungen uv vw wu sind zu den primären veretteten pannungen V VW W um 50 = 5 x 0 phasenverschoben was der tundenziffer 5 entspricht. Daher heißt die chaltgruppe Yd5. 130 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 5 Energietechni Beachten ie: Damit auf der Primärseite die veretteten pannungen z. B. von nach V positiv gezählt werden müssen die Phasenspannungen von z. B. zum ternpunt positiv gezählt werden so dass sich die Phasenspannung ergibt. Aber auch bei Wahl der umgeehrten Bezugsrichtung der pannungszeiger primärseitig wird dasselbe Ergebnis Yd5 erhalten auch wenn die pannungszeigerdiagramme dann spiegelverehrt erscheinen wie Bild T7. zeigt. Bild T7.: Wie Bild T7. jedoch mit umgeehrten Bezugsrichtungen der pannungszeiger in der allpoligen chaltung a). Das Ergebnis die chaltgruppe Yd5 ist dasselbe! ) ü / / / ( ) / ( / ) ( / ) ver ver V uv V uv V uv ü 0/ ü / / / ph / 0/ 9.8V ) u u u / /( ) 5000/( 0) 0.4A X u / ) u ( / ) (980/ 0.4) L 4) ( ph ph ph L X /(f ) 0.8/( 0) 7.mH u 0.8Ω ( ph / ph) u ( ph / ) 0.05 (980/ 0.4).78Ω Cu P MW P cos MW 5) P P Cu P P Fe P j X / ) ( Kühl % ver X ( / ) Z ( Z 0.09 u ver ver u 0 5.4V ph / ) 131 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni Es ist die halbe verettete Kurzschlussspannung anzulegen damit bei seundärem Kurzschluss der halbe ennstrom fließt. Aufgabe T8: 0Hz-Drehstromtransformator in einem mspannwer Ein Drehstromtransformator in einem mspannwer in den A hat die Daten = V (Außenleiterwert) = 4 V (Außenleiterwert) = 0 MVA f = 0 Hz u = 0. u = 0.05 chaltung Yy0. ) Berechnen ie den bezogenen indutiven pannungsfall u und das Übersetzungsverhältnis ü! ) Der Transformator liegt oberspannungsseitig an ennspannung und wird mit 80 % des ennstroms so belastet dass sich cosφ = einstellt. a) Zeichnen ie maßstäblich das zugehörige Zeigerdiagramm ( ) für einen trang (für L h Fe = ist reell cm 5 V cm 0 A). b) Welchen Wert besitzt die eundärspannung (trangwert) aus der Zeichnung abgelesen? c) Welchen Wert besitzt der eundärstrom (trangwert)? Geben ie den Außenleiterwert des tromeffetivwerts und den seundären veretteten pannungseffetivwert sowohl in A bzw. V als auch in % des jeweiligen ennwerts an! d) Bestimmen ie rechnerisch und vergleichen ie mit b). Wie groß ist ver /? ) Der Transformator soll am europäischen 50 Hz-etz eingesetzt werden. Bestimmen ie die neuen pannungen sowie die neue cheinleistung. Beachten ie dass auf Grund der vorhandenen pulenleiterquerschnitte die ennströme gleich bleiben. 4) Wie wäre das maßstäbliche Zeigerdiagramm je Phase zu zeichnen wenn die chaltung Yd5 ist? Wie groß ist dann der trangwert? Aufgabe T8 (Lösung): 0Hz-Drehstromtransformator in einem mspannwer ) u u u ü / / a) /( ) 0000/( ).A ph A 0.5cm ph 0 / / 7.V 5.4cm ph j X reell folgt bei cosφ = : j X Gemäß Bild T8. folgt: Mit Bild T8.: Transformator-Ersatzschaltbild je trang bei symmetrischer Belastung für L h Fe Bei 0. 8 ist je trang 0.8 u V. ph 132 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 7 Energietechni u ph V 0.cm X.8 X 0.8 u V.4cm 0 ph Mit diesen Werten wird das maßstäbliche Zeigerdiagramm Bild T8. gezeichnet. b) Aus Bild T8. wird abgelesen: :4.5cm 7.5V. Diese pannung ist aus der primären trangspannung ermittelt worden und ist wegen Yy-chaltung ebenfalls ein trangwert. Der echte seundäre trangwert ist wegen ü = / bei Yy-chaltung: / ü 7.5/ 5.5.8V c) / ü ü A als trangwert. Wegen der Yy- chaltung ist dies auch gleichzeitig der Außenleiterwert. eundäre ternschaltung: Verettete pannung: ver.8.8v Außenleiter / % A ver / /( ) 0000/( 4) 7.7A / 577./ d) ( ) ( X ) (7..05) V 4.7cm / ü 7.5/ 5.5.V ver..5v Auf Grund der Zeichenungenauigeit ergibt sich zeichnerisch eine um (4.5/4.7)=0.0 eine.% leinere pannung..5/ % ver / Bild T8.: Maßstäbliches trom- und pannungszeigerdiagramm je trang bei primärem Leistungsfator ( pannungs-einheit 5 V: = 5.4 Einheiten trom-einheit 0 A: = 0.5 Einheiten) 133 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 8 Energietechni ) Bei gleichbleibenden trömen ph ph bleiben die Durchflutungen je chenel und damit die magnetisierende Durchflutung je chenel unverändert:. Damit bleiben magnetische Feldstäre Flussdichte und m ph ph Fluss im Eisen unverändert: H Fe m / sfe BFe Fe H Fe h AFe BFe. Das gleiche gilt für den primären und seundären treufluss und den primären und seundären Wiclungswiderstand. Es ändert sich nur die Betriebsfrequenz f weshalb die primären und seundären pannungen ~ f proportional zu (50/0) = 0. leiner werden: 50/ 0) 0.8 0V 50/ 0) V. 50 ( 50 ( (50/ 0) MVA 4) Bei Yd5 ist zu beachten dass seundär wegen der Dreiecschaltung die trangspannungen gleichzeitig die veretteten pannungen sind was durch das Übersetzungsverhältnis ü als Verhältnis der veretteten pannungen von Primär- und eundärseite automatisch berücsichtigt wird. Man zeichnet deshalb das Zeigerdiagramm gleich mit den veretteten pannungen und daher auch mit den Außenleiterströmen! Mit gegenüber ) um vergrößerten pannungsmaßstab cm 8.5 V aber unverändertem trommaßstab (da ph ) cm 0 A erhalten wir: Für die Außenleiterströme: /( ) 0000/( ). A ph /( ) 0000/( 4) 7.7A A 0.5cm Für die Außenleiterspannungen: V 5.4cm ver j X ver ver ver 0.8 ver 0.8 u V X ver 0.8 X ver 0.8 u V 0.cm.4cm Es ergibt sich in cm dasselbe Zeigerdiagramm wie in Bild T8. aber mit dem neuen pannungsmaßstab! Der trangwert :4.5cm V ist gleichzeitig der verettete Wert ver 5.V. Es ergibt sich übereinstimmend mit ): ver ver / ü 5./5.5.8V ver /.8/ %. / ü ü A als Außenleiterwert: 577.A 577./ Außenleiter / Wegen der Yd-chaltung ist der trangwert ph / 577./.A. Fazit: Bei symmetrischer Belastung verhalten sich Drehstromtransformatoren mit unterschiedlichen chaltgruppen aber identischen Außenleiter-Bemessungsdaten identisch hinsichtlich ihrer netzbelastenden Größen. Aufgabe T9: 50Hz-Drehstrom-Verteiltransformator Bei einem Drehstrom-Verteiltransformator = 500 VA / = V/0.4 V f = 50 Hz mit der chaltung gemäß Bild T9. a) wurde im Prüffeld ein Kurzschlussversuch mit 134 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 9 Energietechni ennstrom durchgeführt. Es ergaben sich eine primäre Kurzschlussspannung = 0 V und Verluste P = 8.4 W. ) Zeichnen ie die seundären Phasenspannungen und veretteten pannungen bei Leerlauf! Wie heißt die chaltgruppe? Wie groß ist die tundenziffer? ) Geben ie die Außenleiter- und trangströme ph ph sowie verettete und Phasen-pannungen ph ph auf der Ober- und nterspannungsseite als enngrößen an und bestimmen ie das Übersetzungsverhältnis ü! Bestimmen ie ü in Abhängigeit des Windungszahlverhältnisses /! Wie groß ist /? ) Bestimmen ie aus dem Kurzschlussversuch u u u und cosφ! Leiten ie die Ausdrüce u = P / u = P / her und zeigen ie damit dass u u und damit u cosφ unabhängig von der chaltungsart (Y oder D) sind. 4) Geben ie X für ein Ersatzschaltbild an bei dem die primäre D-chaltung auf eine äquivalente Y-chaltung umgerechnet wurde damit ein primär in Y geschaltetes etz rechnerisch berücsichtigt werden ann (siehe 5)). 5) Verwenden ie 4) um den primären Kurzschlussstrom und / bei seundärem allpoligen Kurzschluss der Klemmen u v w zu berechnen wobei das speisende etz durch eine Y-chaltung der Quellenspannungen u q = / und eine ndutivität L L = 4 mh je trang der etzzuleitung bestimmt ist. Bild T9. a) Bild T9. b) Aufgabe T9 (Lösung): 50Hz-Drehstrom-Verteiltransformator ) Werden die positiven Bezugsrichtungen der primärseitigen pannungszeiger je trang willürlich gemäß Bild T9. a) gewählt so ergeben sich die Leerlaufspannungen auf der nterspannungsseite gemäß den in Bild T9. a) eingezeichneten pannungsrichtungen. Mit den gemäß der primären Dreiecschaltung (D) vom etz vorgegebenen veretteten Primärspannungszeiger V VW W aus Bild T9. b) sind folglich diese jeweiligen nterspannungszeiger - u parallel zu V (Bild T9. b)) weiter - v parallel zu VW und - w parallel zu W. Diese werden nun gemäß der seundärseitigen ternschaltung (Bild T9. a)) verschaltet (Bild T9. c)). Die zugehörigen veretteten pannungen vw wu sind zu den primären veretteten pannungen V VW W um 50 = 5 x 0 phasenverschoben was der tundenziffer 5 entspricht. Daher heißt die chaltgruppe Dy5. ) Primär Dreiecschaltung: V ph Außenleiterstrom: /( ) 500/( ) 48.A uv 135 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 40 Energietechni trangstrom: ph / 48./ 7.77A eundär ternschaltung: 0.4V ph / V Außenleiterstrom = trangstrom: ph /( ) 500/( 0.4) 7.7A ü / ver / ver / ü / / /( ) V ver ver V uv V u ü 5 u a) b) c) d) Bild T9.: Konstrution des dreiphasigen pannungszeigerdiagramms der eundärspannungen der chaltgruppe Dy5: a) allpolige chaltung b) Primär- und unverschaltete eundärspannungszeiger c) gemäß tern verschaltete eundärspannungszeiger d) Phasenverschiebung zwischen primärer und seundärer veretteter pannung ) ph ph P X ph X ph Q u P u ph phph ph phph Diese beiden Ausdrüce sind unabhängig von der chaltgruppe! 136 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 4 Energietechni P u 0.08 u u u u P 8400 cos P ) Ersatz-ternschaltung: Fitive primäre tern-trangspannung: / 000/ 44V ph u ph u Ω X 4.5Ω 48. u ) X L q ph f L Ω L j ( X X ) L 44 q ( X L X ). (.5 4.5) 5.A Bild T9.: Ersatz-ternschaltung mit fitiven primären tern-trangspannungen q Aufgabe T0: 50Hz-Drehstrom-mspann-Transformator Ein Drehstromtransformator 00 MVA 0 V/0 V Dy5 f = 50 Hz in einem mspannwer hat im Prüffeld eine gemessene Kurzschlussspannung 05 = 050 V bei primär halbem ennstrom und P 05 = 50 W. ) Berechnen ie ü ph und ph ph ph! ) Bestimmen ie u u u und cosφ! ) Bestimmen ie X aus ) für die Außenleiterwerte der primären Dreiecschaltung 4) Wie groß ist die seundäre verettete pannung ver im Vergleich zu wenn seundär eine rein apazitive Belastung mit dem ennstrom auftritt? Verwenden ie die Ersatzschaltbildparameter von ) und ü von )! Aufgabe T0 (Lösung): 50Hz-Drehstrom-mspann-Transformator ) Primär Dreiecschaltung: 0V ph Außenleiterstrom: /( ) 00 0 /( 0) 54.8A 137 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 4 Energietechni trangstrom: ph / 54.8/ 0A eundär ternschaltung: 0V ph / 0/ 7.V Außenleiterstrom = trangstrom: ph /( ) 00 0 /( 0) 94.5A ü / 0 / 0.7 / ver ver ) echnen mit Außenleiterströmen und veretteten pannungen: Bei = /: 0.5 Z ( / ) 050V Bei = : Z Z ( / ) V 00 u P 0. 5 / P 4 P W P u u u u P / 0.0 cos P u u 0.09 / / u 0. ) u u.09ω 54.8 X 4) u u Ω 0.0 a) b) Bild T0.: a) Ersatzschaltung je trang bei apazitiver seundärer Belastung b) Prinzipsizze des pannungsund tromzeigerdiagramms je trang jc j C j / XC j X j XC j X j ( X XC j ( X XC ) / ) 138 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 4 Energietechni / / ( X XC ) ( X XC ) ( / ) X X X C ( / ) ( / ) XC 0 XC X ( / ) X C.95 (0000 / 54.8).09.54Ω Da X aus den Außenleiterwerten bestimmt wurden ergibt sich mit ü diret die pannung als verettete pannung ver. X C V / ü ver 08.7 /.7 ver / 5/ u 5V Es ergibt sich auf Grund der apazitiven Belastung eine seundäre pannungsüberhöhung (Ferranti-Effet Bild T0.).. Aufgabe T: Auslegungsparameter eines Drehstromtransformators Ein Drehstrom-Verteiltransformator für die enn-cheinleistung = 50 VA / = 0 V/0.55 V Yy0 u = 0.05 u = 0.0 besitzt einen Eisenschenelquerschnitt A = cm². Die Flussdichteamplitude beträgt B Fe =. T bei einer Frequenz f = 50 Hz. ) Berechnen ie die primären und seundären ennströme! ) izzieren ie die allpolige chaltung und begründen ie die o.g. chaltgruppe mit dem Zeigerdiagramm der drei pannungen für Ober- und nterspannung im Leerlauf des Transformators! ) Berechnen ie das Übersetzungsverhältnis ü! 4) Berechnen ie die Windungszahlen je trang und! Vernachlässigen ie dazu den treufluss und die ohm schen pannungsfälle! Wie groß ist die pannung zwischen zwei benachbarten Windungen primär und seundär? 5) Überprüfen ie und mit ü aus ). ) Der Transformator wird seundär so belastet dass primär 70 % des ennstroms bei cosφ = 0.8 indutiv (nacheilender Primärstrangstrom zur Primärstrangspannung) auftritt. Wie groß sind ph und ver zwischen zwei eundärlemmen? Wie groß ist die relative seundäre pannungsänderung gegenüber der ennspannung? ehmen ie ph = ph reell an. Aufgabe T (Lösung): Auslegungsparameter eines Drehstromtransformators ) /( ) 50 0 /( 0 0 ) 4.4A /( ) 50 0 /( 55) 74.9A ) Primär- und eundärseite sind in tern geschaltet (Bild T. a)). Werden die positiven Bezugsrichtungen der primärseitigen pannungszeiger je trang willürlich gemäß Bild T. a) gewählt so ergeben sich die Leerlauf-trangspannungen auf der nterspannungsseite gemäß den in Bild T. a) eingezeichneten pannungsrichtungen. Mit den gemäß der primären ternschaltung (Y) vom etz vorgegebenen Primärspannungszeiger V W aus Bild T. b) sind folglich die jeweiligen nterspannungszeiger u parallel 139 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 44 Energietechni zu weiter v parallel zu V und w parallel zu W. Diese werden nun gemäß der seundärseitigen ternschaltung (Bild T. a)) verschaltet. Die zugehörigen veretteten pannungen uv vw wu sind mit den primären veretteten pannungen V VW W in Phase was der tundenziffer 0 entspricht. Daher heißt die chaltgruppe Yy0. a) b) Bild T.: a) Allpolige chaltung der chaltgruppe Yy0 b) Primär- und eundärspannungszeiger ) ü / / 0/ ver ver 4) Leerlauf treufluss vernachlässigt: B A ph f ph 0000/ f 4 BFeAFe ph ph 0000 Windungsspannung: 0000/ 55/ windung ph / 4.8V windung ph / 4.8V 95 5) Kontrolle: ü 95/ / ) u u u u ph Ω u X 8.4Ω 0. 7 w cos 0. 8 u 0.0 sin (cos) sin 0. b Fe Fe nacheilender trom (Bild T.): w j b. Es sei ph ph reell. 140 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 45 Energietechni j X ph w j b j X w X b j X w b 0.8 X 0. j X j ph ph ph j 00. (5597. j 00.)V V / ü 5598./ V ph V 509./ ver ph ver / elative pannungsänderung gegenüber Leerlauf: % pannungsabnahme a) b) Bild T.: a) Einsträngiges Ersatzschaltbild bei ohm sch-indutiver Belastung b) Prinzipsizze des pannungsund tromzeigerdiagramms je trang Aufgabe T: Prüffeldmessungen bei einem Drehstromtransformator An einem Drehstromtransformator mit der ennscheinleistung = 00 MVA = 0 V = 0 V f = 50 Hz Yy0 wurden im Prüffeld folgende Tests durchgeführt: Leerlaufmessung: P 0 = 0. MW 0 = = 0 V 0 = 7. A = 0 Kurzschlussmessung: P =.0 MW = 0 V primär = 0 seundär =.4 A. ) Bestimmen ie den primären und seundären ennstrom das Übersetzungsverhältnis ü und das trangwindungszahlverhältnis /! ) Bestimmen ie aus dem Leerlaufversuch L h X h Fe je trang wobei ie wegen X σ Fe X h den Einfluss von X σ vernachlässigen! ) Berechnen ie u u u X je trang aus dem Kurzschlussversuch! 4) Geben ie das Ersatzschaltbild je trang an mit = X σ = X σ! 5) Wie groß ist der Dauerurzschlussstrom / bei und seundärem Kurzschluss? ) Wie groß ist die seundäre Klemmspannung ver / bei ennstrom ennspannung und cosφ = 0.8 indutiv? Verwenden ie Fe X h wegen X Fe X h! 7) Bestimmen ie den ennwirungsgrad bezogen auf cosφ = bei einer Verlustleistung der Kühlaggregate P ühl von % der Gesamtverlustleistung P 0 + P! 141 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 4 Energietechni Aufgabe T (Lösung): Prüffeldmessungen bei einem Drehstromtransformator ) /( ) 00 0 /( 0 0 ).4A /( ) 00 0 /( 0 0 ) 54.8A ü / 0/0 Yy: / ph / ph ( / ) /( / ) / ü ) X σ Fe X h reell gewählt: ( jx ) ph ph ph Fe Fe m h Fe m 0 Fe m 0 (Bild T.) 0 ph / Fe / Fe Fe / P0 (0 0 ) /(0 0 ) P Fe /( Fe) 0000 /( 550) 0.84A 0 Fe A m X /( ) 0000 /( 7.8) 787.5Ω L h h X 0 m h /( f ) 787.5/( 50) 5.H 550Ω a) b) Bild T.: a) Einsträngiges Ersatzschaltbild des leerlaufenden Transformators bei vernachlässigten Primärwiderstand und treureatanz b) Prinzipsizze des trom-pannungs-zeigerdiagramms ) 0000 u Es ist.4a gemäß ) und der Angabe daher ist (Bild T.) P P 4.84Ω u 0.0Ω u u u / u X 4.7Ω u 0.0 Alternativer echnungsgang: 142 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 47 Energietechni P cos sin (cos ) X X je trang: 0000 cos 0. 70V / 70/ Ω 0000 sin V X X / 477 /.4 4.7Ω Bild T.: Einsträngiges Ersatzschaltbild des seundär urzgeschlossenen Transformators bei vernachlässigten Fe X h 4) /.4Ω X X X /.87Ω (Bild T.) a) b) Bild T.: a) T-Ersatzschaltbild je trang des Drehstrom-Transformators für zeitlich sinusförmige Vorgänge mit b) den Werten =.4 Ω =.4 Ω X σ =.87 X h = X σ =.87 Fe = ) / / u / ) Fe X h : wir cos blind sin indutiv = nacheilender trom: j. Achtung: wir blind sind in Phase. wir blind ph j X ph wir j blind j X X j X ph wir blind wir blind 143 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 48 Energietechni X X ph wir blind wir blind cos A sin (cos) wir sin A / 0000/ 707V blind V ver /( ü ) ( 94.) /(0000 ) ph a) b) Bild T.4: a) : Einsträngiges Ersatzschaltbild des Transformators bei vernachlässigten Fe X h b) prinzipielles trom-pannungs-zeigerdiagramm bei ohm sch-indutiver Belastung 7) P ühl 0.0 ( P0 P ) 0.0 (0 000) W P cos 00MW P P 0 P P P ühl % Aufgabe T: Turbogenerator - Betriebsdaten n einem Dampfraftwer erzeugt ein eletrischer ynchrongenerator (Turbogenerator) eletrische Energie. Der zweipolige Turbogenerator ist für = 5 MVA cheinleistung = 0.5 V (verettet) und f s = 50 Hz bemessen. Die tänderwiclung ist wie bei Generatoren üblich in tern geschaltet. Der Generator hat folgende Auslegungsmermale: Länge des Blechpaets l =.94 m tatorinnendurchmesser d si = 040 mm Luftspalt = 0 mm ideelle Polbedecung e = 0. Windungszahl je trang s =. Der cheitelwert der magnetischen Flussdichte im Luftspalt bei Leerlauf ist B = 0.88 T. ) Wie groß ist die ynchrondrehzahl n syn? ) Berechnen ie die Polteilung p! ) Bestimmen ie die mfangsgeschwindigeit des Läufers v r in m/h und m/s! 4) Wie groß ist der magnetische Luftspaltfluss pro Pol im Leerlauf p? 5) Geben ie den Effetivwert der Leerlaufspannung des Generators als trangwert an. ) Der Generator soll mit einem Leistungsfator cos = 0.88 indutive Verbraucher im etz mit ennstrom und ennspannung versorgen. Berechnen ie den Generatornennstrom und die eletrische Generatorwirleistung P e! 7) Wie groß ist die erforderliche mechanische Wirleistung P min die die Dampfturbine dem Generator an der Welle zuführen muss wenn der Generatorwirungsgrad = 98.7% beträgt? 144 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 49 Energietechni 8) Die Dampfturbine ist diret mit dem Generator geuppelt. Für welches Drehmoment muss die Kupplung zumindest bemessen sein? 9) Welche eletromagnetische Läufer-mfangsraft F e (Lorentz-Kraft) tritt im Luftspalt des ynchrongenerators bei Belastung gemäß Punt ) und 7) auf? (Hinweis: Vernachlässigen ie das bremsende Verlustmoment im Generator.) 0) Wie groß ist der primäre Leistungsbedarf P prim des Kraftwers (modernes Braunohleraftwer) zu Punt ) 7) wenn dessen Gesamtwirungsgrad ges = 45% beträgt? ) Wie groß ist die für eine mögliche Fernwärmenutzung zur Verfügung stehende thermische Leistung zu Punt 0)? ) Wie schwer ist der otor des ynchrongenerators wenn zwecs vereinfachter Abschätzung nur die Masse m im Bereich des Blechpaets berücsichtigt wird? (Dichte des Eisens: Fe = 7850 g/m³) Aufgabe T (Lösung): Turbogenerator - Betriebsdaten ) fs 50 Zweipolige Maschine: p = nsyn 50 / s 000 / min p ) d Polteilung: si 040 p. mm p ) ynchronmaschine: ynchrondrehzahl n syn = Läuferdrehzahl n: vr dr n ( dsi ) n ( ) m / s 50.m / h 4) p e p l B Wb 5) i 0 fs s p V ) ennstromberechnung aus ennscheinleistung: ph ph ver 87. A ver 0500 ennwirleistung: Pe P cos MW 7) Pe 0 Pout Turbine Pm in. 45MW ) Die Kupplung muss für das im Betrieb auftretende maximale Drehmoment bemessen sein sonst wird sie überlastet und bricht. Das maximal mögliche Betriebsmoment tritt bei maximaler Wirleistungsabgabe des Generators (ennstrom ennspannung cos = ) auf. Mit der Annahme dass der Wirungsgrad des Generators bei cos = 0.88 und bei cos = derselbe ist (was in etwa stimmt) ergibt sich für das maximale Betriebsdrehmoment: cos M 408m 40. m n Für dieses Drehmoment ist die Kupplung zumindest zu bemessen. 145 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 50 Energietechni Anmerung: Auf Grund von Drehmoment spitzen bei törfällen wie z. B. plötzlichem Kurzschluss an den Generatorlemmen ist die Kupplung in der Praxis für deutlich höhere Momente zu bemessen. 9) Bei Vernachlässigung des bremsenden Verlustmoments (z. B. infolge eibung) im Generator sind das antreibende Moment an der Welle M und das bremsende eletromagnetische Luftspaltmoment M e gleich groß. Für den Lastpunt gemäß Punt 7) gilt: Pm in M M M m F e 5475 e 5475 e 770 n 50 dr / 0.9 / Anmerung: m sich die Größe dieser Kraft zu veranschaulichen bedenen ie bitte: Die Masse einer der eletrischen mfangsraft entsprechenden Erdanziehungsraft beträgt: Fe 770 m 78g 78.Tonnen! g 9.8 0) Pe out Pprim W MW ges 0.45 ) Folgende thermische Verlustleistung muss aus der Dampfturbine abgeführt werden: P P P MW th prim m in Diese im heißen Dampf gespeicherte Wärme ann als thermische Leistung für eine Fernwärmeheizung genutzt werden. ) Masse des otors: Abschätzung: Vollzylinder aus Eisen mit Länge l =.94 m Durchmesser d r = 0.9 m Dichte Fe : d r 0.9 m Fe l g 4 4 Die tatsächliche Gesamtmasse des Läufers mit Berücsichtigung der Masse der Wellenenden und der Kupplung beträgt ca. 7 Tonnen. Aufgabe T4: Turbogenerator Zeigerdiagramm Kippmoment Ein zweipoliger ynchrongenerator mit = 5 MVA ennscheinleistung = 0.5 V ennspannung (verettet) speist bei 50 Hz tänderfrequenz mit in tern geschalteter tänderwiclung das eletrische Verbundnetz so dass indutive Verbraucher mit einem resultierenden Leistungsfator cos = 0.88 versorgt werden önnen. Als Ersatzschaltbildparameter ist im Folgenden ausschließlich die ynchronindutivität L d = 5. mh je trang zu berücsichtigen während der ohm sche tänderwiderstand s je trang vernachlässigt werden ann. ) Berechnen ie die ynchronreatanz X d! ) Zeichnen ie maßstäblich das Zeigerdiagramm je trang bei Betrieb mit ennspannung ennstrom und cos = 0.88 (pannungsmaßstab: = 000V/cm trommaßstab: = 000A/cm) und lesen ie aus dem Zeigerdiagramm den Effetivwert der Polradspannung p ab! Wie groß ist die eletrische Blindleistung Q? ) Bestimmen ie mit ) den Polradwinel! 4) Berechnen ie das zu ) zugehörige synchrone Kippmoment M p0! 146 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 5 Energietechni Aufgabe T4 (Lösung): Turbogenerator Zeigerdiagramm Kippmoment ) X d f s Ld ) ebenrechnungen: a) ennstrom: ph A ver 0500 b) X d V. 0cm ver 0500 c) Generatorstrangspannung: ph 0V. 0cm d) Abgegebene eletrische Leistung (Generatorleistung) ist im Verbraucher-Zählpfeilsystem negativ: Pe ph cos 0 cos arccos( 0.88) 5. gezählt vom trom zur pannung positiv im mathematisch positiven Zählsinn daher negativ weil der trom der pannung voreilt (Generator verhält sich als apazitiver Verbraucher). Bild T4.: Zeigerdiagramm des ynchrongenerators mit tranggrößen von trom und pannung 147 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 5 Energietechni e) Damit der Generator indutive Verbraucher versorgen ann muss er selbst im Verbraucher-Zählpfeilsystem als Kapazität wiren und daher eine negative Blindleistung aufweisen. Q sin sin( 5.) 59. MVAr ph 7 Aus dem Zeigerdiagramm (Bild T4.) folgt: p : cm p 000V ) Polradwinel = 4 > 0 (gezählt von der trangspannung zur Polradspannung positiv im mathematisch positiven Zählsinn) 4) s p Zweipolige Maschine: p = Polrad-Kippwinel = 90 : M p0 n X ph p M p0 55m 5. m fs X 50 d.7 p syn d Aufgabe T5: Blindleistungsompensation in einem ndustriebetrieb An einem iederspannungs-drehstromnetz x 90 V 50 Hz sind parallel drei symmetrische Verbraucher angeschlossen: - Asynchronmotor: P = 0 W cosφ = 0.85 η = 0.9 Y - Drehstromofen: P = 50 W cosφ = Y - Ohm sch-apazitiver Verbraucher: P = 40 W cosφ = 095 Y ) Berechnen ie die Wir- Blind- und cheinleistungsaufnahme P Q am etzanschlusspunt! ) Wie groß ist der resultierende Leistungsfator cosφ ges? ) Wie groß sind die etzströme je trang der drei Verbraucher und der resultierende etzstrom etz am etzanschlusspunt? 4) Bestimmen ie die Größe der Kapazitäten C D die - im Dreiec geschaltet - den cosφ ges = einstellen sollen! 5) Wie groß ist der trom C je Kapazität C D und der resultierende etzstrom etz? Wie groß ist die relative tromänderung Δ etz / etz gegenüber )? Aufgabe T5 (Lösung): Blindleistungsompensation in einem ndustriebetrieb ) P ( P / ) P P (0/ 0.9) W P 0 4.VA P / 0/ W cos s P / VAr Q (indutiv) Q 0 cos 40/ VA P / Q P VAr (apazitiv) 148 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 5 Energietechni Q Q Q Q VAr P Q VA ) cos res P / 0.88/ ) /( ) 4./( 0.9) A /( ) P /( ) 50/( 0.9) 4.8A /( ) 4./( 0.9) 5.5A 4) Q C 5) etz C C D /( ) 9.7/( 0.9) 8.85A Q.75VAr CD Q mF C D A C cos P : P /( ) 0.88/( 0.9) 7.4A etz res etz ( ) / ( ) / % etz etz etz D Aufgabe T: ynchrongenerator in einem peicherraftwer Ein Drehstrom-ynchrongenerator in einem peichersee-wasserraftwer in den anadischen ocy Mountains hat die Daten = 45 MVA f = 0 Hz = V Y cosφ = 0.8 übererregt. Der Wirungsgrad η ist näherungsweise d.h. alle Generatorverluste sind vernachlässigt. Die Turbinendrehzahl ist n = 900 min -! ) Wie groß ist die Polzahl des Generators? Wie groß ist die ynchrondrehzahl des tator- Drehfelds n syn? ) Wie groß ist der ennstrom je trang s? ) Wie groß ist der Phasenwinel φ von s zu s gezählt im mathematisch positiven Zählsinn? 4) Die ynchronreatanz beträgt X d = 8.5Ω! Wie groß ist die Polradspannung p und p je trang im ennpunt wenn s = s reell angenommen wird! Verwenden ie das Verbraucherzählpfeilsystem! 5) Zeichnen ie maßstäblich das trom-pannungs-zeigerdiagramm je trang und ermitteln ie p über s s X d und φ grafisch. Überprüfen ie p grafisch mit dem Ergebnis von 4). Bestimmen ie ϑ grafisch! (50 A cm 500 V cm) ) Bestimmen ie das Kippmoment M p0 und das Drehmoment M an der Welle a) rechnerisch und b) mit ϑ grafisch! 7) Wie groß ist die generatorische Überlastbareit M p0 /M? 149 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 54 Energietechni Aufgabe T (Lösung): ynchrongenerator in einem peicherraftwer ) / 0/(900/ 0) 8 n syn n 900/ min ) s /( ) 45000/( ) 7A ) cos 0.8 : a) Generatorbetrieb im Verbraucher-Zählpfeilsystem: cos 0 da die ins etz gelieferte eletrische Leistung negativ gezählt wird b) übererregt: Maschine wirt apazitiv s eilt s vor: sin 0. cos gezählt vom trom s zur pannung s im mathematisch positiven Zählsinn! Kontrolle: sin (cos) ( 0.8) 0. sin 0. sin ) / 000/ 4V s s sw s sb s j cos j sin cos 7 ( 0.8) 989.A sin 7 ( 0.) 74.A sw s sb s s 0 : p jx d s s p s jx d s s d s d p s j X d s cos j sin X sin j X cos p j (84.7 j 84.)V p V 5) Zeigerdiagramm siehe Bild T. 4V 4.85cm 7A 4.95cm s s s X d s V 4.cm. 87. Aus Bild T. liest man ab: a) p 8.cm p 0500V Zeichenungenauigeit: ( ) / 0..% b) 4 Zeigerdiagramm siehe Bild T. ) syn n syn (900/ 0) 94.48/s s p 4 0 M p m X syn d P / cos 450 ( 0.8) a) : M 897m syn syn Das Drehmoment ist negativ also im VZ antreibend (Turbinenmoment!) b) : M M p0 sin sin(4) 7455m Zeichenungenauigeit für führt auf ( 897 ( 7455))/( 897) % 150 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 55 Energietechni 7) M 0 / 99894/ p M Bild T.: Maßstäbliches pannungs- und trom-zeigerdiagramm für Generatorbetrieb (im Verbraucher- Zählpfeilsystem) und ohm sche Belastung ( s = 7 A s = 4 V) s = 0 Aufgabe T7: ynchrongenerator in einem Pumpspeicherraftwer Ein ynchrongenerator = 450 MVA cosφ = 0.85 übererregt = 4 V Y f = 50 Hz mit dem Wirungsgrad η X d =. Ω in einem Pumpspeicher-Wasserraftwer ist sechspolig ausgeführt. ) Berechnen ie die enndrehzahl n in /s und /min! Wie groß sind ennmoment M und ennstrom s? ) Wie groß ist p je trang beim generatorischen Leerlauf? ) Der Generator speist über einen Transformator und eine lange Hochspannungsleitung L = 80 V ein weit entferntes Verbraucherzentrum. Der Transformator ist bei Belastung näherungsweise durch X = 0. Ω bezogen auf 4 V beschrieben (Bild T7.). eine Verluste werden vernachlässigt! Die Hochspannungsleitung wird vereinfacht je trang durch das Ersatzschaltbild von Bild T7. dargestellt wobei C L = 0 μf und L L = 0.4 mh auf die 4 V-pannungsebene umgerechnet. Wie groß muss p beziehungsweise p / s sein damit am Freileitungsende L = L = 80/ V 0 V ist und die Phasenverschiebung bei ennstrom zwischen L und L 80 beträgt was einer Wirleistung am Verbraucher entspricht? etzen ie L = L reell! Wie groß ist die pannung s an den Generatorlemmen? 4) Die Hochspannungsleitung wird nun vom Verbraucherzentrum getrennt so dass gilt L = - C und wird über den Generator im tand-by -Modus betrieben. Wie groß wäre L wenn die Generatorspannung onstant auf s = s geregelt wird? Kommentieren ie das Ergebnis! 5) Wie groß ist in diesem Fall p bzw. p / s? ) Zeichnen ie das pannungs-trom-zeigerdiagramm mit p L und s C je trang ( cm 00 V cm 00 A) 151 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 5 Energietechni Bild T7.: Ersatzschaltbild je trang des ynchrongenerators (lins) des Bloctransformators (Mitte) und der Freileitung (rechts) jeweils als verlustfreie Komponenten Aufgabe T7 (Lösung): ynchrongenerator in einem Pumpspeicherraftwer ) n f / p 50/.7 /s 000/ min : M P / syn cos n ( 0.85) 50m.7 s /( ) /( 4000) 08A ) s 0 : p s0 / 4000/ 85V ) L L / 80/ 0V 4 L ü L V 80 X L f LL Ω X X X X Ω d L L L L L p jx d s L s L s jx 85 j.8 08 (845 j 500)V p L d L V / 047 / p s s p j X X ) p s X ( L s L s L ( L) L L j X ( X X ) 85 ( ) V L L s / s 497 / ) etzstrom ist ull: L C X C.5Ω C L s j ( X X L XC ) C s C j ( X X XC ) C C X s X X L / 58./ % C s C L A X (.5) 85 C s L 4007V X X X L C 152 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 57 Energietechni 4007 L L / ü 775V.7V L / s 4007 / /80 Auf Grund der apazitiven Belastung nimmt die pannung am Ende der Freileitung um 0.8% zu (Ferranti-Effet). 5) j ( X XC ) ( ) s p j X XC C j ( X X X ) ( X X ) (.8.5) 85 C s p 75V X X X L C L p / s 75/ ) 4007V 5.cm 75V 5.cm 58.A 5.8cm X L s V 0.cm p C C s Bild T7.: Maßstäbliches pannungs- und trom-zeigerdiagramm für Generatorbetrieb (im Verbraucher- Zählpfeilsystem) und apazitive Belastung durch die leerlaufende Freileitung ( s = 58. A p = 75 V) (verlustfreie Komponenten angenommen) Aufgabe T8: Parallel arbeitende ynchrongeneratoren Zwei baugleiche zweipolige ynchrongeneratoren in den A mit je = 00 MVA = 8 V Y f = 0 Hz speisen in einem thermischen Kraftwer eletrisch parallel mit cosφ = 0.8 übererregt in das eletrische etz. Die ynchronindutivität je Generator beträgt L d = 0 mh. Die Generatorverluste werden vernachlässigt! ) Wie groß sind bei ennlast die ennspannung je trang s der tator-trangstrom s das erforderliche Turbinenmoment M und der Phasenwinel φ (gezählt von s zu s im mathematisch positiven Zählsinn)! ) Berechnen ie das synchrone Kippmoment M p0 das bezogene synchrone Kippmoment M p0 /M und den Polradwinel ϑ! ) Einer der beiden Generatoren fällt durch eine törung in der antreibenden Gasturbine aus. Welche maximale Wirleistung P ann eletrisch noch an das etz geliefert werden? Wie groß ist das Verhältnis P p0 /(P )? 153 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 58 Energietechni 4) m wie viel Prozent muss die Polradspannung des verbleibenden Generators erhöht werden um zumindest urzzeitig mit P p0 = P das etz zu versorgen vorausgesetzt die Turbine ann diese Überlast-Leistung urzfristig zur Verfügung stellen? Aufgabe T8 (Lösung): Parallel arbeitende ynchrongeneratoren ) Je Generator: /( ) 00 0 /( 80 ) 07A s / 8000/ 09V n f / p 0/ 0/s 00/ min s cos 0.8 : a) Generatorbetrieb im Verbraucher-Zählpfeilsystem: cos 0 da die ins etz gelieferte eletrische Leistung negativ gezählt wird b) übererregt: Maschine wirt apazitiv s eilt s vor: sin 0. cos gezählt vom trom s zur pannung s im mathematisch positiven Zählsinn! Kontrolle: sin (cos) ( 0.8) 0. sin 0. sin P cos 00 ( 0.8) 80MW M P /( n ) 80 0 /( 0) 07m cos gezählt vom trom s zur pannung s im mathematisch positiven Zählsinn! ) Für die Bestimmung des Kippmoments M p0 muss die Polradspannung p berechnet werden wobei s = 0 ist. p j X d s s s sw j sb s cos j sin Mit gewähltem reellen folgt: p s j X d s cos j sin X sin j X cos s d s s s d s X f L Ω X V d p d d s ( 0.) j 480 ( 0.8) (4900 j 944)V p V s p 09 5 M p0 458 s = 0: M p0 458m. X M 07 syn d : M M p0 sin arcsin( /.) ) : 90 P M n sin( ) MW max p0 p0 syn max p0 /( P ) 0.7 /( ( 80)) 0.85 P 4) : max 90 : P P M p0 neu nsyn sin( max) M p0 neu nsyn M p0 neu s syn X p neu d p neu M p0 neu P ( 80 0 ). 7 M M n p p0 p0 syn 154 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 59 Energietechni Es ist eine Erhöhung der Polradspannung um mindestens.7% über einen erhöhten Erregerstrom f erforderlich um mit einem Generator die doppelte Bemessungsleistung zumindest urzzeitig ins etz liefern zu önnen. atürlich muss die entsprechende Erhöhung der Turbinenleistung möglich sein. Aufgabe T9: ynchrongenerator und Bloctransformator Ein 4-poliger Drehstromgenerator in einem Flusslaufraftwer hat die Daten = 0 V Y = 45 MVA X d = Ω f = 50 Hz. Die Verluste im Generator werden vernachlässigt. Der Generator speist über einen Drehstrom-Bloctransformator mit den Daten = 45 MVA f = 50 Hz / = 0 V/0 V Dy5 u = % in das 0 V-etz ein! Der Magnetisierungsstrom und die Verluste im Transformator werden vernachlässigt. ) Berechnen ie die enndrehzahl n und den ennstrom des Generators s sowie den primären und seundären ennstrom des Transformators und die eatanz X je trang. ) Der ynchrongenerator wird mit ennspannung und ennstrom untererregt mit cosφ s = 0.75 betrieben. Wie groß ist φ s? Berechnen ie die Polradspannung je trang p und p / s! ) ehmen ie s = / reell an. Zeichnen ie das pannungs-trom-zeigerdiagramm je trang maßstäblich ( cm 000 V cm 500 A) ausgehend von s s X d und φ s und ermitteln ie p grafisch. Vergleichen ie das Ergebnis mit dem von ). Wie groß ist ϑ? 4) Berechnen ie das enndrehmoment M das synchrone Kippmoment M p0 und daraus ϑ! Vergleichen ie das Ergebnis mit ). Wie groß ist die Kippreserve M p0 /M? Kommentieren ie das Ergebnis! 5) Wie groß ist die statische Kippleistung P p0 = -π n M p0 (ϑ = 90 ) bei onstanter Generatorlemmenspannung = 0 V? Bestimmen ie dabei die verettete eundärspannung des Transformators ver und ver / grafisch! Wie groß ist im Kipppunt s / s? ) Wie groß ist die statische Kippleistung P p0 für dieselbe Polradspannung wenn durch das starre etz die eundärspannung des Transformators = 0 V onstant ist? Bestimmen ie dazu grafisch die Generatorlemmspannung s / s! Wie groß sind nun s / s bzw. M p0? Aufgabe T9 (Lösung): ynchrongenerator und Bloctransformator ) 45 0 f 50 s 598A n 4.7 /s 50/ min 0 0 p A A 0 0 Berechnung der Transformator-Ersatzschaltbildparameter für eine äquivalente ternschaltung passend zur ternschaltung der Generatorwiclung: 0000 X u X u Ω 598 ) a) Generatorbetrieb im Verbraucher-Zählpfeilsystem: cos s 0 da die ins etz gelieferte eletrische Leistung negativ gezählt wird 155 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 0 Energietechni b) untererregt: Maschine wirt indutiv s eilt s nach: sin 0. cos s s 8. 5 gezählt vom trom s zur pannung s im mathematisch positiven Zählsinn! Kontrolle: sin sin (cos j sin ) p p p j X s d X s s d s s s s sin j X d / s s s cos s j 598 ( 0.75) (.7 j 897)V V / 454.9/(0000/ ) p ) Mit p s 0000/ 577.5V 5.77cm X V 5.9cm s 598A 5.9cm und 8. 5 erhalten wir gemäß Bild T9. die s s Polradspannung 4500V 4.5cm und den Polradwinel. Es ergibt sich eine p s d s Zeichenungenauigeit ( ) / %. s s Bild T9.: Maßstäbliches pannungs- und trom-zeigerdiagramm für Generatorbetrieb (im Verbraucher- Zählpfeilsystem) und ntererregung ( s = 598 A s = V) 4) P cos ( 45) MW M P /( n ) 8955m 50 0 s p (0000/ ) M p0 500m 50 syn X d 0 156 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni M p0 / M 500/ Die Drehmomentreserve ist mit.7% sehr lein da die Maschine untererregt also mit verringertem Polradfeld betrieben wird. 5) M 90) M p sin(90 M ( 0 ) p0 50 P p0 syn M ( 90) n M p MW 0 m Kipp-Punt gilt mit 577.5V 5.77cm 454.9V 4.54cm und s 90 das pannungszeigerdiagramm Bild T9. a). Daraus lesen wir ab: X 700V 7.cm. Daraus folgt: d s X s ( X / X d ) ( X d s) (0.7 / ) 7.cm 0.97cm. Dies wird in Bild T9. a) in Verlängerung von jx eingetragen und wir lesen ab: 500V.5 cm. d s ver / ü) (500/(0/0)) 84V ( ver / 84/ s p ( X ) / X 700/ 50A / 50/ s s d s d a) b) Bild T9.: Maßstäbliches pannungs- und trom-zeigerdiagramm für untererregten Generatorbetrieb (im Verbraucher-Zählpfeilsystem) im Kipp-Punt: a) Generatorspannung s = V b) eundärspannung des Bloctransformators = V ) Wegen onst. als eingeprägter pannung ist nun als neue ynchronreatanz X X d X anstelle von X d gültig. Die ynchronmaschine ippt folglich wenn der neue Polradwinel zwischen und p den Wert 90 erreicht (Bild T9. b)). p j X X ) / X X d X 0.7.7Ω. Mit ( d s / 577V 5.77cm p 454.9V 4.54cm und = 90 0 wird das Zeigerdiagramm 9.b onstruiert. 157 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni Wir lesen ab: X s 7.cm X s 700V. Daher ist: X d s ( X d / X ) ( X s) ( X d / X ) 7.cm (/.7) 7..44cm. Mit diesem Wert lesen wir aus Bild T9. b) ab: 5.cm und erhalten / 5./ s s s p (0000/ ) M ( ) M p 0 sin M 0 54m 50 syn X.7 0 M p0 M p0 gemäß 4) da X X d! M 90) M ( p0 p 50 Pp 0 n ( M p 0) W - 4.7MW. Dieser Wert 0 ist leiner als P p0 gemäß 4) da M p0 M p0. s ( X s) / X 700/.7 0A s / s 0/ Dieser Wert ist leiner als bei 5) da X X. d Aufgabe T0: Einphasen-Transformator-Massen Die Wechselflussdichte B in einem Transformator-Eisenern (Bild T0.) soll die Amplitude ˆ. T B nicht überschreiten um zu hohe Eisensättigung zu vermeiden. Bild T0.: Vereinfachter Einphasen-Transformator-Querschnitt (A = D /4) ) Berechnen ie dazu die effetive induzierte pannung je Windung i bezogen auf die Eisenern-Querschnittsfläche A bei f = 50 Hz! Wie viele Windungen werden für die ennspannung allgemein benötigt wenn pannungsfälle durch den pulenwiderstand und die treuflussverettung vernachlässigt werden? ) Geben ie den verfügbaren pulenquerschnitt AL D l (bei Vernachlässigung der Leiterisolierung) in Abhängigeit von A D / 4 unter Beachtung von l D (Bild T0.) an. Wie groß ist dann (mit dem Leiterquerschnitt A q AL / einer Windung) und der mittleren pulenwindungslänge lm Dm Dm D D / D der ohm sche Widerstand einer pule in Abhängigeit von der Leitfähigeit und der Abmessung D? ) Berechnen ie allgemein das Leitervolumen V Cu und das Eisenvolumen VFe A sfe in Abhängigeit von D und bestimmen ie das Verhältnis V Cu /V Fe! 4) Zeigen ie dass die tromwärmeverluste je Wiclung P d P d (Oberspannung und nterspannung) mit den hier getroffenen Vereinfachungen und / ü / 158 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni identisch sind! Diese Verluste P d P d sollen bezogen auf die Transformatorscheinleistung nur den Bruchteil betragen. Geben ie mit ) ) eine Dimensionierungsformel für D in Abhängigeit von f und Bˆ an. 5) Geben ie mit D aus 4) eine Formel für die Transformatormasse m (mit den Dichten Fe Cu ) gemäß ) in Abhängigeit von f und Bˆ an! ) Wie schwer ist (mit M/m 4 C 80 Cu g/l Cu 8.9 g/l Fe 7.8 ) für.5 % resultierende tromwärmeverluste ( /!) ein 00 MVA-Einphasen-Transformator bezüglich seiner Ativmasse aus Wiclungsupfer und Eisenern bei f = 50 Hz? Welche weiteren Massen ommen bei einem realen Großtransformator noch hinzu? Wie saliert die Ativmasse mit der ennscheinleistung ) ( m allgemein und für die beiden Werte 00 VA und VA 00? 7) m wie viel sind Bahntransformatoren in Deutschland (f =.7 Hz) schwerer als vergleichbare etztransformatoren (f = 50 Hz) bei gleicher cheinleistung? Aufgabe T0 (Lösung): Einphasen-Transformator-Massen ) i i V/m ˆ / ˆ B f A B A f i 55.4 V/m ˆ ˆ A B f A B A f ) 4 / D A L A A A D D D l D A D D D A D A D A l L L m q m / ) Fe Fe 4) / ( 4 D D D D A s A V Cu 8 4 / 9 4 / ) ( D D D D D l V.7 8 / ) ) /( (8 / Fe Cu D D V V 4) / ü d P ü ü / / d d P ü ü P d d P P d / / / / / P Aus ) folgt: D D Aus ) folgt: ˆ 4 ˆ B D f B A f 5 ) ˆ ( 8 ) ˆ 4 ( B f D D B D f 159 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 4 Energietechni D 0.7 5) 0. ( f Bˆ m Cu VCu Fe VFe D Fe (8 / ) Cu Fe ( f Bˆ ) 0..4 Fe (8 / Cu ˆ. ( ) f B ) ) m (8 / ) m 4 ) m 780 (8 / ) g 0.4 t (50.) Es ommen als inative Massen jene des tahlessels der Ölfüllung der Papierisolation für die Wiclungen der Durchführungsisolatoren des Ölausdehnungsgefäßes der Ölühler der chutzeinrichtungen und des Wiclungsstufenschalters hinzu. m 7) 0. ( ) ~ 00 VA 00 VA 00 MVA m 5 g 4 g 0 47 g m m.7 Cu Aufgabe T: Einphasen-Transformator-Dimensionierung Bild T.: Vereinfachter Einphasen-Transformator-Querschnitt (A = D /4) Ein Einphasentransformator = VA soll für = 0 V = V f = 50 Hz grob dimensioniert werden wobei die magnetische Wechselflussdichte B im Transformator- Eisenern (Bild T.) die Amplitude B ˆ.4 T aufweisen soll um zu hohe Eisensättigung zu vermeiden. ) Wie groß ist das Übersetzungsverhältnis ü? Bestimmen ie bei Vernachlässigung der tromwärmeverluste und der treuflüsse das Windungszahlverhältnis /! Wie groß sind primärer und seundärer ennstrom? Der Eisenernquerschnitt A hat eine Kreisform mit dem Durchmesser D die Primär- und eundärspule als Kupfer-Zylinderspulen gemäß 160 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 5 Energietechni Bild. den nnen- und Außendurchmesser D i /D a = D/(D) und die Höhe l = D. solationsvolumina werden im Folgenden vernachlässigt die Leiterstromdichte wird zu J =.5 A/mm gewählt! Wie groß sind die Leiterquerschnittsflächen A q A q primär und seundär? ) Berechnen ie mit den Annahmen und Ergebnissen von ) die Windungszahlen und! Verwenden ie dazu den Begriff der mittleren Windungslänge l m ( Da Di) / und den verfügbaren pulenquerschnitt AL D l Aq Aq (bei Vernachlässigung der Leiterisolierung)! Wie groß ist D? ) Geben ie die gemäß Bild T. aus ) zu berechnenden Hauptabmessungen (in gerundeten mm-werten) für Länge Breite und Höhe L B H und die mittlere Länge s Fe des Weges im Eisenern an! Bestimmen ie damit die Kupfer- und Eisenmasse m Cu und m Fe von Wiclungen und Kern (Eisenvolumen VFe A sfe Cu 8.9 g/l Fe 7.8 g/l )! 4) Berechnen ie und die zugehörigen tromwärmeverluste P Cu+ bei ennbetrieb! Verwenden ie dazu den Begriff der mittleren pulenwindungslänge lm Dm Dm ( Da Di ) / und die el. Leitfähigeit Cu 80C 4 M/m! 5) Wie groß ist der Transformator-Gesamtwirungsgrad T bei Betrieb mit cos = und ennstrom wenn die mmagnetisierungsverluste P Fe 50 % der tromwärmeverluste betragen? ) Wie verändert sich T in Abhängigeit des eundärstroms 0 bei cos = und seundärer ennspannung = (und daher P Fe = onst. = P Fe )? izzieren ie T ( x ) mit x / mit den tützstellen x ! Bei welchem Wert x* ist T ( x *) maximal und wie groß? Aufgabe T (Lösung): Einphasen-Transformator-Dimensionierung ) 0 ü 0 Bei Vernachlässigung von L L gilt beim Einphasen-Transformator: ü 0. / / J / Aq / Aq.5 A/mm Aq / J 4.5/.5.74 mm 000 / A 000 / 4.5 A A q / J 4.5/ mm ) (a) Aq AL / D D /.74 mm D /.74 mm (b) Mit Vernachlässigung von L L gilt: m ˆ ˆ f A B A f B A 50.4 D / 4 i Aus (a) + (b) folgt: 0.74 m 4 D /.74 mm D mm D / 4 D 0. mm 0. / / ü 04/0 04 4 161 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / Energietechni ) L Da D 80. mm B D D 90. mm H l D D D 4 D 0.4 mm s 4 D. mm m m Fe Fe V Fe a Fe Fe A sfe Fe D D 780(0.0 ).0 g 4 Cu l Da Di Cu D ( D) D Cu D 4 4 Cu Cu VCu 8 m Cu (0.0 ). g 4) Mit der mittleren Windungslänge l m folgt: l D D ) / (D D) / D m ( a i lm D Ω A A Cu80 q Cu80 Cu / ü.4 / Ω P q 5) P.5 P W 4.5 Fe 0 Cu cos cos W P ) T P P out in P P P P Cu P Fe.4 9. W % Bild T.: Wirungsgradverlauf des 000 VA-Einphasen-Transformators bei = cos = in Abhängigeit von x = / Pout P cos T P in P PCu PFe cos ( ü ) P ( ) ( / ) cos T ( ) ( / ) cos ( ü ) ( / ) PFe P 000 cos : ( ) x x T x P x P x P 000 x 9. x 4. Cu Fe Fe 162 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 7 Energietechni x / ( ) (%) T x dt ( x) 0 : dx P x P P Cu x P Fe P ( P x ( P x P x PCu x PFe P x PCu x 0 P x x* P P Fe x* Cu 0.5 / P P Fe Cu P Cu Cu x Cu x) P ) Fe P x P. Die Lösung x < 0 ist unphysialisch! T ( x*) Fe Aufgabe T: Einphasen-Mantel-Transformator Ein (ideal angenommener) Einphasen-Mantel-Transformator (Bild T.) für el. Bahnen ( = 90 VA / = V/ 4 V) hat die Eisenpermeabilität Fe und wird mit Wechselspannung bei der el. Frequenz.7 Hz betrieben. Das Windungszahlverhältnis ist 800/50. Die treuspaltbreite beträgt 0 mm die pulenbreiten / sind i a 70 mm. Die weiteren Abmessungen sind 00 mm a i a / i a i h 800 mm 80 mm /0 mm 70 mm / 00 mm. a / i Bild T.: Einphasen-Mantel-Transformator ) Welche Beziehung herrscht bei Belastung zwischen der Primärdurchflutung und der eundärdurchflutung? ) Geben ie eine Formel für die Amplitude der magnetischen treuflussdichte ˆB σ im treuspalt zwischen Ober- und nterspannungswiclung an! 163 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 8 Energietechni ) Geben ie im ennpunt die Zahlenwerte für und ˆB σ an! 4) Wie groß ist die Amplitude der Hauptflussdichte ˆB Fe im Eisenern bei Vernachlässigung von treufluss und tromwärme? 5) Berechnen ie die induzierte pannung i je Windung (effetiv)! Bestimmen ie den cheitelwert der eletrischen Wirbel-Feldstäre Ê zufolge der Hauptflussänderung d h / dt beim mittleren adius r* ( a i) /! ) Berechnen ie bei diesem adius r* den Poynting-Vetor aus ˆB σ und ichtung zeigt er? Warum? Aufgabe T (Lösung): Einphasen-Mantel-Transformator ) Zeitlich sinusförmiger Vorgang omplexe echnung: B H H B 0 H s 0 Fe Fe Fe Fe Fe / Fe C Fe Wi d Ê Wi! n welche bzw. ) H σ d s H σ h H h H B σ σ σ 0 h h C Bˆ σ 0 bzw. mit Bˆ σ 0 h h Diese magn. treuflussdichte tritt homogen verteilt im treuspalt auf und ist vertial orientiert (in Zylinderoordinaten z-ichtung): ˆ Bσ ( t) Bσ cos( t i ) ez. Da B σ ( t) ~ i ( t) tritt der tromphasenwinel i auf. ) A / 90 0 / A / 90 0 / 4 49 A A h 4 0 ˆ 7 σ 0 B 4) 4000 / T Annahmen: B ˆσ h f Φh Φh ˆB Fe ˆ 000 B Fe.84 T f ) Faraday sches ndutionsgesetz: K E Wi ( t) ds ui ( t) dφh / dt. Mit ui( t) dφh / dt i j Φh / und i i h / je pulenwindung erhalten wir: ˆ i f BFe V. Geschlossene Kurve K im treuspalt um pule : E ds E r * r ( ) / (80 00) / 90 mm * a i K Wi i Wi 164 Aufgabensammlung Transformatoren und Generatoren / 9 Energietechni 5.08 V/m * ˆ i Wi r E. Diese el. Feldstäre tritt in der Mitte des treuspalts auf und ist in mfangsrichtung orientiert (in Zylinderoordinaten -ichtung): e t E t E ) cos( ˆ ) ( u Wi Wi. Da h i Wi / ) ( ) / ( ) ( ~ ) ( t u t u t u t E tritt der pannungsphasenwinel u auf (der meist ull gesetzt wird). ) r pg z pg 0 σ Wi σ Wi pg ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( e t e e t t B t E t H t E t Der Poynting-Vetor ist von pule (innen) zu pule (außen) gerichtet (r-ichtung) und gibt die ichtung des Leistungsflusses von Primär- zu eundärspule an. Anmerung: 0 ) / cos( ˆ ) cos( ˆ ) ( i u Wi pg t B t E t ) cos( ) cos( ˆ ˆ ) ( i u i u 0 σ Wi pg t B E t / T T T t t T B E t t T 0 i u i u 0 σ Wi 0 pg av pg d ) cos( ) cos( ˆ ˆ d ) ( cos ˆ ˆ ) cos( ˆ ˆ 0 σ Wi i u 0 σ Wi av pg B E B E cos * cos * cos * h i 0 i 0 av pg h r h r h r Durch die Hüllfläche h r A * tritt der Leistungsfluss im treuspalt von pule zu pule hindurch und ist tatsächlich die Transformatorwirleistung! 0 h pgav pgav pgav d P cos cos r* h A A P A 165 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni Aufgabe V: nsymmetrische Last ternschaltung Eine wissenschaftliche große Forschungsanlage belastet das speisende 0 V-etz ( x 0 V 50 Hz) unsymmetrisch. m trang findet eine rein ohm sche Belastung statt ( = 00 Ω) trang wird rein indutiv belastet (X L = ω L L = 00 Ω) und trang T rein apazitiv (X C = C = -00 Ω). ) Berechnen ie die trangströme T wobei das speisende etz als = = 0 V T = e -j0 T = e -j40 gegeben ist. Die drei Lasten X L X C sind im tern geschaltet mit isoliertem ternpunt! Wie groß sind die Effetivwerte T? ) Wie groß sind die drei trangspannungen T und die Effetivwerte T? ) Zeichnen ie das Zeigerdiagramm zu ) und ) maßstäblich! (trommaßstab 0 A cm; pannungsmaßstab V cm) 4) Zeichnen ie zu ) zur Kontrolle die veretteten pannungen T T ein! 5) Wie groß sind P Q und der cosφ der gesamten Versuchsanlage? ) Lesen ie die Verlagerungsspannung grafisch aus 4) ab! Aufgabe V (Lösung): nsymmetrische Last ternschaltung ) Bild V.: Ersatzschaltbild der chaltung L X j () T C L T 0 T X j X j e j () T T 0 () () L T T L X j X j () () 0 T C L T L j e X j X j X j L L C L L L L C L L 0 T X X j X j X j X j j X j X X j X j X j e j T C L C L L L X X j X X X j X 166 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni Mit X L = X C = - folgt: T j j j j j X j X j L T L T j j j j j j j T 00 A V j 00 A A j j j 7 A A T Beachten ie: A 0.5 T A 00 ) j j j j j j X j L j j j X j T C T j j V V j V j j 700 V V T 0000 V V 058 T ) + 4) μ = V/cm μ = 0 A/cm 0 V 8. V. cm 4 Bild V.: Projetion der pannungs- und tromzeiger in der omplexen Ebene 167 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni 5) MW 4 W A T P P P P T C L T T T X X Q Q P T 4 4 MVA 4 A Beachten ie: Wegen X C = -X L und = T heben sich L L X Q und L T C C Q X Q auf! = P 0 P Q / cos P Aufgabe V: nsymmetrischer Verbraucher Dreiecschaltung Ein unsymmetrischer Verbraucher mit den mpedanzen im trang X L = ωl im trang und X C = C im trang T wird in Dreiecschaltung an das symmetrische 50 Hz-etz x 0 V angeschlossen: = T = e -j0 T = e -j40 = 0 V. ) Berechnen ie die drei etzströme T für = X L = -X C = 00 Ω und die Effetivwerte T! ) Wie groß sind die etzströme T und ihre Effetivwerte? st die tromsumme der trangströme und der etzströme jeweils ull? ) Zeichnen ie das Zeigerdiagramm zu ) und )! (trommaßstab 50 A cm; pannungsmaßstab 4 V cm) 4) Bestimmen ie P Q cosφ der Anordnung. Aufgabe V (Lösung): nsymmetrischer Verbraucher Dreiecschaltung ) Bild V.: Ersatzschaltbild der chaltung 0 L 0 L T j j j e j X j e X j j 168 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 4 Energietechni C 40 C T T j j j X j e X j j 00 A V A 00 A A - 00 A j j A A - 00 A T j j 00 A A 00 A 00 T ) T j j j j +: 0 T j j j T T 0 T j j! A A j j A A j j A A T j A T 00 ) μ = 4 V/cm μ = 50 A/cm Bild V.: Projetion der pannungs- und tromzeiger in der omplexen Ebene 4) 4 MW V P 169 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 5 Energietechni Q 0 T 4 MVAr Q Q T T Q 4 MVAr X X P P T 0 T L P P P P P Q Q Q Q 0 P Q P P 4 MW Q 0 4 MVA cos P / C T Aufgabe V: nsymmetrischer Verbraucher ternschaltung Ein unsymmetrischer Verbraucher mit den mpedanzen im trang X L = ωl im trang und X C = im trang T wird in ternschaltung durch das Drehstrom-Vierleiternetz C x 0 V 50 Hz mit angeschlossenem ternpunt versorgt. ) Bestimmen ie die trangströme T und ihre Effetivwerte T bei eingeprägtem trangspannungssystem = ph = ph e -j0 T = ph e -j40 mit ph = / 0000 / 547 V wenn = X L = -X C = 00 Ω ist. Wie groß ist im ternpuntsleiter und sein Effetivwert? ) Zeichnen ie das tromzeigerdiagramm zu ) mit dem trommaßsstab μ = 5 A/cm. ) Wie groß sind P Q cosφ des Gesamtsystems. 4) Geben ie den Zeitverlauf der Momentanleistung p(t) als Formel an! Wie groß ist die Amplitude des mit f pendelnden Leistungsanteils im Verhältnis zum Mittelwert? Aufgabe V (Lösung): nsymmetrischer Verbraucher ternschaltung ) T ph j X L T j X C ph ph e j0 j e j40 j Bild V.: Ersatzschaltbild der chaltung ph ph ph j j j j j ph j 170 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni 5.5 A 00 A V A A A j j j A A A T j j j 00 A = 00 A = A A T A ph ph ph T j j 84. A ) μ = 5 A/cm Bild V.: Projetion der tromzeiger in der omplexen Ebene ). MW MW 4 00 A T P P P P P 0 0 T Q Q Q Q Q Q P. MVA / cos P 4) t i t u t i t u t i t u t p T T ) ( t t u cos ˆ ph ph ph cos ˆ cos ˆ cos ˆ cos ˆ ) ( t t t t t p T T ph cos ˆ 4 cos ˆ t t ph T ˆ ˆ ˆ ˆ 50 / / arctan 80 T 0 / / arctan 80 Additionstheorem: cos cos cos cos 0 cos 0 cos 90 cos 0 cos 0 cos t t t t 171 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 7 Energietechni cos p t ˆ ˆ ph ph cos t cost 0 cost 0 ˆ ˆ ph ph cos t cos t sin t cos t sin t t 40 cos t 50 cos90 cost 90 cost 0 ph ph cost P cost P~.7 fach Pav 0 V 00 A P av ph ph. MW P ~.7. MW. MW Aufgabe V4: Heizlüfter Ein Einphasenmotor und ein Heizlüfter werden in einer Werstatt eines Gewerbebetriebs über ein Verlängerungsabel (einfache Länge l = 00 m q Cu =.5 mm² κ Cu = 5 M/m bei 50 C) am 0V-etz 50 Hz betrieben. Gerätedaten: Einphasenmotor: P el = 400 W n = 400 min - = 0V cosφ = 0.5 Heizlüfter: H = 5 A = 0V cosφ = ) Wie groß ist die pannung an den Gerätelemmen L- der beiden parallel geschalteten Geräte? Hinweis: Verwenden ie für den Motor eine eletrische Ersatzserienschaltung aus m und L m. Die Leitung ist rein ohm sch anzunehmen. ) Wie groß ist die tatsächliche tromaufnahme des Motors M und des Heizlüfters H? m wie viel Prozent sint die Wirleistung in den beiden Geräten gegenüber der jeweiligen ennleistung? ) Wie groß sind die tromdichte J und die ohm schen Verluste P Cul in der Leitung? Wie groß ist der %-Anteil dieser Verluste an der gesamten Wirleistungsaufnahme aus dem etz? Aufgabe V4 (Lösung): Heizlüfter ) H 0 V 4 5 A H P / cos 400 W / V el m.4 A Q P 74. VAr Ersatzschaltung aus m und X m Lm : P el m m m 4. 4 Q 58 X m m X m.4.4 l 00 l 5. q Cu Cu 172 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 8 Energietechni Bild V4.: Ersatzschaltbild der chaltung Z 8.9 j etz l Z j.49.5 H m m j Z H m j X m j j j V V ) j X 44.4 j 58 j H 4. A m.95 A H 4 X PH 4. Pel 0.75 Motor: m m PH 5.0 Pel Pel % % Die Wirleistung sint um 5 %! ) m m j X m m j X m m X m m X m l H m H j X X l l J q l Cu Cu l l P P P P etz Cul etz m m A A mm P Cul l P m m W H P m.5 ˆ 5.4 % m m A W 173 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 9 Energietechni Aufgabe V5: Fabri n einer Fabri werden an das Drehstromnetz x 400 V (verettet) 50 Hz mit herausgeführtem ternpunt (Klemmen L L L ) folgende Verbraucher angeschlossen: a) Ein Drehstrom-Asynchronmotor mit der eletrischen ennspannung = 400 V Y und mechanischen ennleistung P = 7.5 W dem Wirungsgrad η = 0.8 und einem indutiven Blindleistungsbedarf gemäß cosφ = 0.85; b) Je trang (Phase) 0 Glühlampen eletrisch parallel mit einer Wirleistungsaufnahme P L = 0 W bei ph = 0V; c) ein symmetrischer apazitiver Verbraucher mit der ennspannung = 400 V Y P el = 4 W cosφ c = ) Wie groß sind die Wir- Blind- und cheinleistungsaufnahme P Q aus dem Drehstromnetz sowie der resultierende Leistungsfator cosφ res? ) Wie groß sind die Effetivwerte der etzstrangströme a b c von a) b) c) je trang und der gesamte etzstrangstrom am Einspeisepunt? st der trom je trang die umme aus a b c? Begründung! ) Berechnen ie die erforderlichen Kapazitätswerte C einer Wechselstromondensatoranordnung in Dreiecschaltung für = 400 V damit die gesamte Blindleistung ull ist: Q = 0! Wie groß sind P und? m wie viel hat sich der Wert in % verändert? Aufgabe V5 (Lösung): Fabri ) 7500 a) P el a P 975 W 0.8 cos P Q tan P sin Q Q a P ela tan P ela cos cos 975 a Pela / cos 09 VA 0.85 b) P el b PL W Q b 0 b Pelb 5400 VA c) P P 4000 W Q el c c el c P elc el Pelc cos tan c c P elc cos cos VA 0.95 c 975 c VAr VAr P Pel a Pelb Pelc W Q Q Q Q VAr 0 indutive Blindleistung a b c 174 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 0 Energietechni P cos ges ) a b c Q P / 8775 / a a P b elb ph ph c A A VA A A 0 a b c 7.87 A A Die tröme a b c haben wegen cosφ a = 0.85 cosφ b = cosφ c = unterschiedliche Phasenlagen zur trangspannung ph sodass deren Zeigersumme als Betrag a + b + c = leiner als die algebraische umme a + b + c ist. ) L L LL Bild V5.: Ersatzschaltbild der Kondensatoranordnung LL Q C 0 apazitive Blindleistung cos : Q Q 4495 VAr Q 400 V res C C C C C C X C C QC C f C μf Aufgabe V: ndustriebetrieb n einem ndustriebetrieb soll eine Klimaammer mit einer eletrischen Heizung (P = 45 W) aus dem ndustrienetz ( x 90 V 50 Hz) als einphasige Last über eine l =.5 m lange Kupfer-Doppelleitung (κ Cu (0 C) = 49 M/m) mit dem Leitungsquerschnitt q Cu = mm² versorgt werden. Diese Leitung wird näherungsweise rein ohm sch betrachtet! ) Wie groß ist die erforderliche pannung am Beginn der Leitung? ) Bleibt die eletrische tromdichte J unter dem zulässigen Wert A/mm²? 175 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni ) Wie groß muss das Übertragungsverhältnis ü eines (ideal angenommenen) Einphasen- Transformators sein damit die Eingangsspannung dem ennwert nicht überschreitet? Wie groß sind nun tromdichte J und die Leistung P in der Klimaammer? Wie groß ist der etzstrom etz? Aufgabe V (Lösung): ndustriebetrieb ) l P ) J q Cu l q Cu 49 0 P l A V 5. A A/mm A/mm Cu mm ) ü? 90 V 99.8 V 90 V ü 99.8 V (z.b.: 7 = 00) P und J bleiben unverändert. etz ü 5. A etz 88.8 A ü 0.74 Aufgabe V7: Freileitungsschaden Ein Leiterseil (adius = 0 mm) einer 0 V-Hochspannungsfreileitung für f = 50 Hz ist im turm gerissen und ein eilende berührt den Boden ohne dass der Leitungsschutzschalter die pannung abgeschaltet hat. ) Geben ie die näherungsweise halbugel-symmetrisch sich ausbildende el. Potentialverteilung (r) um den Berührpunt im Erdreich an! Das Erdreich hat sehr weit weg vom Berührpunt (r ) das Potential ull. ) n welchem Abstand r* vom Berührpunt ist die effetive chrittspannung (chrittweite = 80 cm) leiner als 0 V? ) Wenn das abgerissene Freileitungsseil mit einer Länge l = 00 m am Boden aufliegt so ist entlang l das zylindersymmetrische E-Feld des geladenen Linienleiters wirsam. Geben ie die el. Potentialverteilung (r) im Erdreich an! ehmen ie dazu an dass die Zylindersymmetrie wegen der begrenzten Leitungslänge l nur bis zu einer seitlichen Distanz r = l vom eil gültig ist und dass dort (r = l) = 0 ist. 4) n welchem Abstand r* seitlich vom liegenden eil ist die zu ) analog zu bestimmende chrittspannung 0 V? st dieser Abstand größer oder leiner als bei )? Begründung! 176 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni Aufgabe V7 (Lösung) : Freileitungsschaden ) Ansatz gemäß Kapitel V5 Personenschutz und etzformen ( r ) ( ) / r ( r ) ( ) / 0 cm : ( ) ˆ cos( f t) ˆ ˆ ph / 0 0 / 89.8 V ˆ eff ( ) /.5 V ) ( r*) eff ( r*) eff ( r * ) eff ( ) zul 0 V r * r * zul 0 Abürzung: a / m ( ) eff zul a * r r * 0 r * r * ( ) r * ( r * ) a r eff * r * 4 a Es verbleibt: Kontrolle: r * 4 a 0 : nphysialische Lösung ( ).5 V ( r * ).5 V 0 / V ) eff eff eff m ( r * ).5 V 0 /( ) 90. V V Bild V7.: Logarithmischer Potentialverlauf (E-Feld zylindersymmetrisch) D Q D E D da Q D l r E r r r l r A E Er er er ( r) Q E Er er grad er ( r) Er dr r K r ln l Q Q ( r l) 0 lnl K K lnl l l Q Q Lösung: ( r) lnl ln r ln( l / r r l l l ) Q ( ) ( l) ( ) 0 ( ) ln( l / ) l 177 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni ln( l / r) ( r) r l (Bild V7.) ln( l / ) 4) ph ( r*) eff ( r*) eff ( r * ) ln( l / ) ph eff ( ) 0/.5 V r*) r * ln( l / ) ln e r * ( (ln( l / )) / ph ph e r * (ln( l / )) / ph r * r * ph ln( l / r*) ln( l /( r * )) ln r * r * / / ph ln( l / ) ph l e 4 / 0 / ph r * ln( l / ) 0.8 r* 9.5 m / l ph Kontrolle: eff ( r* 9.5m).4 V eff ( r * 9. m) V Der sichere Abstand zum spannungsführenden eil ist mit 9.5 m deutlich größer als bei ) mit.54 m da das el. Potential nur mit ln(r) abnimmt und nicht mit /r. Bei liegenden eilen muss gegenüber ) ein 9.5/.54 = -facher icherheitsabstand eingehalten werden. Aufgabe V8: Freileitung Eine tadt mit z = Einwohnern hat einen typischen el. Leistungsbedarf W/Einwohner wenn der industrielle trombedarf eingerechnet wird. Diese tadt soll durch zwei parallele jeweils l = 00 m lange 0 V-Drehstrom-Freileitungen (f = 50 Hz) eletrisch von einem Großraftwer versorgt werden. Berücsichtigen ie einen überwiegend indutiven Blindleistungsbedarf cos = 0.8! ) Wie hoch ist der ennstrom (Effetivwert) je Freileitungssystem? Wie groß ist der Aluminium-Leiterquerschnitt A bei einer ennstromdichte J = A/mm? Der tromtraganteil des tahlseilerns wird vernachlässigt. ) Berechnen ie für die gesamten Übertragungsverluste P d im MW und in % des Leistungsbedarf der tadt bei einer Leitertemperatur 50 C wenn der Wirungsgrad der beiden mspanntransformatoren stadt- und raftwersseitig Tr = 0.97 beträgt ( Alu50 C = 0.5 M/m)! Die pannungsfälle auf der Leitung und in den beiden Transformatoren werden durch pannungsanhebung am Kraftwersgenerator ompensiert so dass ennstrom fließt und im mspannwer der tadt seundär am Transformator ennspannung auftritt. ) Wie groß ist die maximale E-Feldstäre an der Leiteroberfläche (glatter Zylinderleiter angenommen) wenn der Leitermittenabstand = 4.5 m näherungsweise zwischen den drei Phasenleitern T gleich groß ist? st dieser Wert leiner als der zulässige Wert 5 V/cm? 4) Bestimmen ie die Betriebsapazität C B der beiden Freileitungssysteme und den apazitiven Ladestrom der leerlaufenden Leitungen je Phase C in A und % von! Vernachlässigen ie für C die Längsindutivität und Verluste der Leitungen. 178 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 4 Energietechni Aufgabe V8 (Lösung): Freileitung ) P tadt 5 8 z W W je Leitung: P 7 Ptadt / 50 W P / cos 7 50 / MVA /( ).5 0 /( 0 0 ) 8 A A / J 8/ 8 mm ) l 00 0 Leitung: ndex L: L 50C Alu50 C A Ω Wirleistung auf beiden Leitungen mit stadtseitigem Transformator: PL Ptadt / Tr P / Tr. 0 P P Alu L MW Zusätzlich mit raftwerseitigem Transformator: Kraftwersleistung: PKW ( PL PAlu ) / Tr 7 ( ) / MW P d PKW Ptadt MW P d / Ptadt.8 /00.8 % ) Ansatz gemäß Kapitel V5 A d / 4 d 4 A/ 4 8/ 0.4 mm 0. mm soliermedium Luft: r ˆ ph 0 0 / Emax 4400 V/m 4.4 V/cm 5 V/cm ln( / ) 0. 0 ln(4.50 /0.) 4) Ansatz gemäß Kapitel V5 5 0 r l CB 0.9 μf ln( / ) ln(4.5 0 /0.) ph C X f CB / / 8. A C C % 8 Aufgabe V9: Wasserraftwer und Freileitung n einem tausee beträgt die tauhöhe des gestauten Wasser h = 00 m über dem nterwasserspiegel nach dem Turbinenauslauf. Pro eunde fließen V 5 m /s durch die Wasserturbinen ( H O g/l ). ) Berechnen ie die erzeugte eletrische Leistung P el bei einem Turbinenwirungsgrad T = 0.9 einem resultierenden Generator- und Transformator-Wirungsgrad el = 0.95 einem hydraulischen Wirungsgrad (durch Wasserreibung in den ohrleitungen) = 0.95 und % von P el als Kraftwers-Eigenbedarf! ) Die eletrische Leistung P el wird über eine Distanz l = 00 m mit einer tahl-aluminium- Drehstrom-Freileitung x 0 V 50 Hz übertragen. Wie groß sind die tromwärmeverluste P d in % von P el bei einer tromdichte J = 0. A/mm im Aluminium ( Al 4 M/m )? Der tahldrahtquerschnitt ist näherungsweise stromfrei. Auf Grund des Blindleistungsbedarfs der 179 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 5 Energietechni Verbraucher ist der cos = 0.75 (indutiv)! m wie viel Grad eilt der trom ph in Phase der Phasenspannung und der veretteten pannung V vor oder nach? ) Bestimmen ie mit dem Phasenleiter-Abstand = 4. m den ndutivitäts- Kapazitätsund Widerstandsbelag L B /l C B /l B /l je m Leitungslänge! Vernachlässigen ie für den Leiterradius den tahldrahtanteil! Wie groß sind der Wellenwiderstand Z 0 ( B vernachlässigt) und die natürliche Leistung P at? Wird die Leitung unter- oder oberhalb ihrer natürlichen Leistung betrieben? 4) Wie groß ist die pannung (l) je Phase am Ende der Leitung bei offenem Leitungsende wenn am Eingang verettet = 0 V eingespeist werden? Bestimmen ie ( l) / (0) mit ( 0) (0/ ) V a) mit dem T-Ersatzschaltbild der Leitung mit L B C B und symmetrisch aufgeteiltem B und b) mit den Leitungsgleichungen für B = 0! Wie groß ist der Fehler von Ergebnis b) gegenüber a)? Aufgabe V9 (Lösung): Wasserraftwer und Freileitung ) Wp m g h P Wp / t m g h H O V g h W P T el Pel P T el 0.0 Pel Pel 7.7 MW ) P / cos 7.7 / MVA el /( ) 0.0 /( 0 0 ) 54. A ph Leiterquerschnitt (Aluminium): Leiterwiderstand/Phase: ph A / J 54./ mm ph l /( A) 00 0 /( ) 0.87 Ω B Al P d B ph W Pd / Pel / % Kontrollrechnung: P / V J / (0. 0 ) /(4 0 ) 7.5 W/m Al d Al V A l m Al P d VAl ( Pd / VAl) W/m Der Phasenstrom ph im Leiter eilt der Phasenspannung um den Winel arccos(cos) 4. 4 nach. a) b) Bild V9.: a) ymmetrische Drehspannungs-Phasenspannungen und verettete pannungen b) T- Ersatzschaltbild der Leitung mit symmetrische aufgeteiltem Phasenwiderstand B 180 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni Mit V V folgt gemäß Bild V9. a) dass V der pannung um 0 voreilt. Daher eilt der Phasenstrom ph im Leiter der veretteten pannung V um den Winel nach. ) B / l 0.87 / Ω/m A / / 9. mm. Mit den Formeln aus Kap. V folgt: LB / l LB ln ln. 0 H/m. mh/m CB / l CB F/m 9.4 nf/m 4. ln ln 9.0 L. 0 0 : B B Z0 5. Ω C ph B (0 0 ) Pat. MW Pel 7.74 MW. Die Leitung wird Z0 Z0 5. unterhalb ihrer natürlichen Leistung betrieben (niedrige tromdichte 0. A/mm = chwachlastbetrieb)! 4) a) B f LB Z L j j (5.4 j 9.) Ω ( l) X C X C j 48. Ω j f C 9 j (0) Z X ( l) (0) Z b) L B X C X C Verlustlose Leitung: Z L X C X C (9. 48.) c.9950 m/s L B CB f / c 50 /(.9950 ) / m l ( l) B 0 : (0) cos( l) cos( ) Ferranti-Effet: 0.55 % pannungserhöhung am offenen Ende der Leitung! ( l) b) F ( l) a).0055 Der Fehler F durch die Vernachlässigung von B ist von der Größenordnung 0 - und damit vernachlässigbar lein! 8 L 5 C Aufgabe V0: Planung einer Freileitung Der eletrische Leistungsbedarf im besiedelten ländlichen Großraum wird mit der für Mitteleuropa typischen Annahme von P = W el. Leistungsbedarf je Einwohner und einer Bevölerungsdichte B = 00 Personen/m abgeschätzt. 181 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 7 Energietechni ) Berechnen ie den eletrischen Leistungsbedarf für ein Gebiet mit der Fläche l = 00 x 00 m! Wie groß ist die flächenbezogene Leistungsdichte /A? ) Eine Drehstrom-Freileitung soll das o.g. Gebiet mit der Leistung versorgen. Die tromwärmeverluste P d entlang der Freileitung sollen nur = % von betragen. Entwiceln ie eine Formel für den Leitungsquerschnitt A in Abhängigeit der Leitungslänge l des spezifischen el. Widerstands des Leitermaterials der Leistung und der Phasenspannung ph! ) Bestimmen ie das erforderliche Leitervolumen V Al für den Leistungsbedarf C l gemäß ) in Abhängigeit von l und ph! 4) Die Kosten für die Errichtung der Freileitung umfassen die Kosten für das Leitermaterial KL V (mit Euro/m ) und die Kosten K für die solatoren und die Masten. Deren Größe und damit Kosten steigen mit der Leitungslänge l und dem pannungsniveau gemäß K B l ph (mit B 0.0 Euro/(m V) ). Ermitteln ie die wirtschaftlichste pannungshöhe phopt für minimale Kosten K K L K min. zunächst allgemein als 8 Formel und dann für die o.g. Daten (l = 00 m Al.94 0 Ω m )! 5) Wie groß sind die Errichtungsosten für ph 80 V? ) Können ie mit 4) die egel bestätigen dass mit wachsender Leitungslänge l die ostenoptimale Betriebsspannung ph linear zunimmt: ph opt ~ l? Aufgabe V0 (Lösung): Planung einer Freileitung ) C / l P B W/m 0. W/m C l ) P d B 0.0 B ph 4 0 Pd l l / A A 0 9 B W GW B ph l ph ) 4 l l C V Al ph ph 4) 4 l C K K K B l ph ph B ph ph dk min. d B L ph ph ph l C C 00 0 ph opt l 50 B B 5) V / 9 9 V K L 80 ph opt 4 l C ph (0 ) K B l Mio.Euro ph 5 4 ph ph /( ph ph ) l C 0 B l ph V Mio.Euro ph 182 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 8 Energietechni K K ) L K Mio.Euro für = GW bei = 80 V C l ph opt ph opt ~ l ist gemäß 4) bestätigt! B Aufgabe V: Magnetfeld einer Freileitung Eine 0 V-Drehstrom-Freileitung mit der Leiteranordnung gemäß Bild V. überträgt bei 50 Hz die cheinleistung 0 MVA. Bild V.: Leiteranordnung einer 0 V-Drehstrom-Freileitung ) Berechnen ie a) den Leiterstrom je Phase und b) am Erdboden diret unter dem Leiter im Punt 0 für Leiterstrom den vom Leiterstrom erregten H-Feldvetor H0( t) ( H x ( t) H y( t) Hz ( t)). Die Leiterachse verläuft parallel zur Bodenoberfläche in z-ichtung in einer Höhe h = 5 m unter dem Leiter (Bild V.). Hat das Feld einen zeitlich onstanten Anteil? Mit welcher Frequenz pulsiert das Feld? c) Wie groß ist die zur Feldamplitude Ĥ zugehörige magnetische Flussdichteamplitude Bˆ im Vergleich zum Erdmagnetfeld B E 50 μt? ) Die drei Phasenleiter sind nebeneinander im Abstand = m (= Abstand zwischen den Leiterachsen) am Mast angeordnet (Bild V.). a) Berechnen ie für das Drehstromsystem j / e j4 / T e den resultierenden Feldstäre-Vetor H ( H x H y H z ) erregt von allen drei Phasenleiterströmen an der Erdbodenoberfläche unter dem mittleren Phasenleiter als allgemeine Formel! b) Geben ie diese Formel als H ( t) ( H x ( t) H y( t) Hz ( t)) im Zeitbereich an! c) Bestimmen ie den Maximalwert Ĥ max des (zeitabhängigen) Betrags H (t)! Geben ie das Verhältnis Hˆ / Hˆ max bezüglich des Ergebnisses von ) und das Verhältnis B ˆ max / BE an! Wirt sich das Drehstromsystem gegenüber dem Einzelleiter felderhöhend aus? ) Verwenden ie die Formel für Ĥ max von ) für eine 80 V-Drehstrom-Freileitung mit 700 MVA h = 9 m = 9 m um B ˆ max / BE zu bestimmen! timmt es dass trotz dieser 183 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 9 Energietechni hohen Leistung das maximale Magnetfeld auf der Erdoberfläche leiner als das Erdmagnetfeld ist? Aufgabe V (Lösung): Magnetfeld einer Freileitung ) a) /( ) 0 0 /( 0 0 ) 88.7 A b) Die Verschiebungsstromdichte ann wegen der niedrigen Frequenz 50 Hz vernachlässigt werden. Daher gilt der Ampere sche Durchflutungssatz: H ( t) ds i( t). Da die Leiterachse C in z-ichtung orientiert ist tritt eine H z -Komponenten auf: H ( t) ( H x ( t) H y( t) 0). m Abstand r um den Leiter ist aus ymmetriegründen H ( t) H r ( t) er onstant: H ds H r ( r) r H r ( r h) h C m Punt 0 ist H (t) in y-ichtung orientiert: H t) (0 H ( ) 0). i ( t) e 0( y t j / jt e e cos( t / ) cos( t / ) H y ( t) h Das Feld hat einen zeitlich onstanten Anteil und pulsiert mit etzfrequenz. ˆ A c) Feldamplitude: ˆ ˆ 88.7 H y ( r h) H h 5 m ˆ ˆ 7 B 0 H 4 0. μt B ˆ / BE./ ) a) Komplexe adialfeldstäre im Punt 0: H r H r H Tr h h h T a) b) Bild V.: a) Magnetische Feldstäre des Leiterstroms im Punt 0 b) tromzeigerdiagramm Gemäß Bild V. a) ist der omplexe Feldstärevetor im Punt 0: H ( H x H y 0) ( H r sin H r cos 0) H 0 H 0) H ( H sin H cos 0) ( r T Tr sin / h cos h / h h h Tr 184 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 0 Energietechni esultierender omplexer Vetor: 0 cos ) ( sin ) ( r Tr r Tr r T H H H H H H H H H Mit Bild V. b) folgt: 0 T T h h h h H T / T j e 0 ) / ( / h h h e h H j / j e h h h h / / 0 ) / ( / / j j e h e h H b) esultierender Vetor im Zeitbereich: 0 ) / cos( ) / ( /) cos( ) ( t h t h t H c) Quadrat des Betrags des Vetors: /) ( cos ) / ( /) ( cos ) ( t h t h t H Mit ) cos( ) ( cos folgt: /) 4 cos( ) / ( ) / ( ) / cos( ) ( t h h t h t H. Mit sin sin cos cos ) cos( folgt: )) 4 sin( sin ) 4 cos( (cos )) sin( sin ) cos( (cos ) ( t t h t t h h t H ) sin cos ( ) sin cos ( ) ( t t h t t h h t H ) sin ) ( cos ) ( ) ( t h t h h h t H Maximalwert des Feldstärebetrags zum Zeitpunt t* während der Periode T = /f: tatt 0 d / ) ( d t t H wird einfacher 0 d / ) ( d t t H gerechnet: * tan 0 cos ) ( sin ) ( h h t t h t h * cos * sin * * tan t t t t 185 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni ˆ H max H ( t*) ( ) cost * ( ) sin t * h h h h ˆ H max H ( t*) A/m (5 ) 5 H ˆ ˆ max / H 7.78 / 0. ˆ ˆ 7 B 0 Hmax μt B ˆ / B E 9.8/ Gegenüber dem Feld eines Leiterstroms KT die resultierende Feldamplitude beim Zusammenwiren der Felder aller drei Leiterströme auf Grund deren Phasenverschiebungen zueinander. ) /( ) /( 80 0 ) 58.9 A tan t* h h 9 t* 0.9 sin t* 0.89 cost* ˆ Hmax A/m (9 9 ) 9 ˆ ˆ 7 B 0 Hmax μt B ˆ / BE 5.8 / Ja das maximale Magnetfeld auf der Erdoberfläche ist leiner nämlich nur ein Drittel des Erdmagnetfelds. Aufgabe V: Freileitung Eine Drehstrom-Freileitung der Länge l = 00 m für f = 50 Hz hat die eletrischen Daten: ennspannung = 80 V eatanzbelag X B = 0.5 Ω/m Kapazitätsbelag C B = 4 nf/m. ie wird näherungsweise als verlustfrei angesehen. ) Berechnen ie den ndutivitätsbelag L B je trang in mh/m! Was ist bei gleicher enn- pannungsebene der wesentliche nterschied zwischen den eletrischen Daten L B C B von Freileitung und Kabel? Welche physialischen Gründe hat dieser nterschied? ) Berechnen ie den Wellenwiderstand Z 0 den Phasenoeffizienten (in /m) und die natürliche Leistung P at! ) Am Ende der Freileitung wird nun eine Wirleistung von P = 00 MW bei ennspannung ver (l) = abgenommen. Welchen Wert weist der pannungsbetrag am Anfang der Leitung ver (0) in diesem Fall auf? 4) Welches Verhältnis weisen die pannungen am Leitungsanfang und -ende ver (0)/ ver (l) zueinander auf? Erlären ie das Verhältnis! Welche olle spielt die natürliche Leistung in diesem Zusammenhang? 5) Bestimmen ie den Effetivwert des Betriebsstroms (l) je trang zu )! Aufgabe V (Lösung): Freileitung ) L B X B /( f ) 0.5/( 50) 0.79 mh/m 186 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni Bei gleichem hat das Kabel einen geringeren ndutivitäts- und einen höheren Kapazitätsbelag als die Freileitung: LB Kabel LBLeitung / 5 C B Kabel CBLeitung 0. Begründung: Die Distanz zwischen den Phasenleitern ist beim Kabel viel leiner als bei den luftisolierten Freileitungen da die Kabel-solierstoffe eine deutlich höhere Durchschlagsfeldstäre E D als Luft aufweisen. Weiter ist die relative Permittivität dieser solierstoffe i. A. größer ( r > ) als jene von Luft ( r = ). Daher ist C B Kabel ~ r / größer als C B Leitung. Da die Distanz zwischen den Phasenleitern beim Kabel viel leiner als bei den luftisolierten Freileitungen ist ist der magnetische Fluss ~ zwischen diesen Leitern geringer so dass elbst- und Gegenindutivität der Leiter beim Kabel ausgedrüct durch L BKabel ~ leiner als bei der Freileitung ist. ) 9 0 B B Z L / C /(4 0 ) 8.4 Ω B B c / L C / m/s c / c f ( / P at Z ) Z ( z) (0) Z ( l) (0) 0 ) 9 / c 50 /(.99 0 ) Z cos A Z MW 8 / m 0 Vauumlichtgeschwindigeit 0.0/m l z j Z0 sin l z cos l j Z0 sin l l l j Z0 sin l l Z A (0) cos l j Z sin l Z cos l j Z sin l A cos A Z A 0 A 0 Z Phasenspannung am Leitungsbeginn: (0) ( l) cos l l 00 m : l rad Wirleistung am Leitungsende: P 00 MW ( l) / Z A Z A 5 A j Z 0 A sin l Abschlussimpedanz ist reell: Z. Mit l) / folgt Z / P /(00 0 ) 0. Ω. ( (0) (0) ( l) cos Z Z A l j sin l 0 Z P l 0 ( 0) cos sin l ver (0) (0) 4) ver ver Z P l 0 ( 0) cos sin l (0) 80 0 cos A sin V ver 0) / ver( l) ver(0) / 8045 / ( 187 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni Die Leitung wirt überwiegend indutiv denn die Abgabeleistung ist größer als die natürliche Leistung sodass auf Grund dieses indutiven Längsspannungsfalls die pannung am Leitungsende etwas leiner als am Leitungsanfang ist. P / Pat 00/ m mehrschluss bedeutet dies eine Abschlussimpedanz Z A deren Betrag leiner als der Wellenwiderstand Z 0 ist: Z A 0. Ω Z0 8.4 Ω. 5) P P 00 0 ( l) 8. A ( l) 80 0 Aufgabe V: Drehstrom-Kabel Für ein verlustfrei angenommenes Drehstrom-Kabel für = 0 V 50 Hz mit L B = 0.4 mh/m C B = 00 nf/m = 80 A soll mit Hilfe der Leitungsgleichung die pannungsanhebung bzw. -absenung bei Belastung mit einer gegebenen Leistung P berechnet werden. ) Bestimmen ie den Wellenwiderstand Z 0 und den Phasenoeffizienten! ) Berechnen ie die natürliche Leistung P at des verlustlosen Kabels bei m = 45 V! ) Ein nselnetz soll über eine Entfernung von l = 0 m über ein Kabel dieses Typs angeschlossen werden. Berechnen ie (0) und (0) (effetive Phasenwerte) wenn in dem nselnetz eine Wirleistung von P = 00 MW bei 0 V ennspannung am Kabelende entnommen werden soll! st die pannung (0) am Eingang des Kabels größer als jene am Ausgang (l)? st dieser Betrieb dauernd unter Berücsichtigung der thermischen Belastbareit des Kabels möglich (Vergleiche den Betriebsstrom (0) mit dem Kabelnennstrom!)? Aufgabe V (Lösung): Drehstrom-Kabel ) 0 B B Z L / C /(00 0 ) 44.7 Ω 8 B CB / m/s 0. 7 c / L c0 (c 0 : Vauumlichtgeschwindigeit) 8 / c f / c 50 /(.80 ).80 rad / m 0./m ) ( / ) m P m at 4.84 MW Z0 Z ) ( l) 0 V P ( l) ( l) ( l) ( l) 00 MW ( l) / ZA Z / P 0000 /(00 0 ). Ω Z A / Z0. P A at ( ) Z MW P 00 MW : Das Kabel wird unterhalb seiner 188 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 4 Energietechni natürlichen Leistung betrieben und verhält sich daher apazitiv sodass der Ferranti-Effet auftritt. Z A cos l z j Z0 sin l z ( z) (0) Z cos l j Z sin l (0) Z ( z) Z 0 ( l) (0) Z (0) Z (0) Z Z 0 0 A 0 A Z A cos l z j Z A sin l z cos l j Z sin l A cos 0 0. Mit Z ZA folgt bei z l : Z A Z (0) ( l) cos l j sin l l j Z sin l Z cos( l) cos j Z 0 A sin( l) (0) ( Z / Z A ) cos( l) 0 l j Z sin l Z cos l j ( Z / Z ) sin l ( l) ( 0) ( Z0 / ZA ) cos( l) j sin( l) Z 0 l 0 m : l rad (0) (0) ( l) cos 0 l j sin l Z l 0 ( 0) cos l Z sin A 0 0 (0) cos 0 Z0 ( l) / Z A sin V Ausgangsspannung > Eingangsspannung (Ferranti-Effet): 0 ( 0). V ( l) 7.07 V. ( l) ( 0) (0) ( Z0 / ZA ) cos( l) j sin( l) Z ( l) (0) Z 0 ( Z 00 (0) / Z A ) (44.7 /.) cos ( l) sin ( l) cos (0.084) sin 0 A (0.084) 80.A 0 A A j sin( l) ( 0) 80.A 80 A : Es ist thermischer Dauerbetrieb möglich da der maximale Betriebsstrom (das ist der Eingangsstrom (0)) leiner als der thermisch dauernd zulässige ennstrom ist. Beachten ie dass der trom am Kabelausgang ( l) P /( ( l)) P /( ) 00 0 /( 0 0 ) 787. A leiner als der trom ( 0) 80.A am Kabeleingang ist sodass für die thermische Bemessung (0) relevant ist. 189 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / 5 Energietechni Aufgabe V4: Fehlerstrom-chutzschalter Bei dem Verbraucher in Bild V4. ommt es zu einem Kurzschluss zwischen Leiter und eutralleiter. ) Wird der Fehlerstrom-chutzschalter auslösen also den Fehler erennen? Begründen ie hre Antwort mit einem Beispiel T 0! ) Löst der chalter bei einem Kurzschluss zwischen und PE aus? Begründen ie hre Antwort wieder dem Beispiel 0! T ( L) T ( L) (Mp) ( L) ummenstromwandler Z > Fehlerstromspule PE Verbraucher Bild V4.: Fehlerstromschutzschalter Aufgabe V4 (Lösung): Fehlerstrom-chutzschalter ) ein der chalter löst nicht aus da der Kurzschlussstrom von zu fließt so dass die tromsumme T 0 weiterhin ull bleibt. Beispiel: Alle trombezugspfeile in Bild V4. mögen ZM Verbraucher gerichtet sein und es sei T 0. Dann ist T ) Ein Kurzschlussstrom von zu PE würde den chalter auslösen da dann gilt gemäß dem Beispiel (wieder mit der Annahme T 0 ): PE der chalter löst aus! T Aufgabe V5: Verbrauchernetz chließen ie einen Wechsel- und einen Drehstromverbraucher an ein T--etz gemäß Bild 5. an! Tragen ie dazu alle notwendigen Verbindungen in Bild V5. ein! 190 Aufgabensammlung Eletrische Energieversorgung / Energietechni Aufgabe V5 (Lösung): Verbrauchernetz Bild V5.: Verbrauchernetz ohne Anschlüsse Bild V5.: Verbrauchernetz mit Anschlüssen T--etz: T: Direte Erdung eines Puntes (hier: ternpunt) des speisenden etzes erforderlich : Die Körper müssen mit der Betriebserde PE verbunden sein : eutral- und chutzleiter sind getrennt (PE separated) und münden daher getrennt zur Erde Erde |
400v 50hz drehstromnetz symmetrische drehstromheizung 3 gleiche widerstände
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